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第02讲 6.2.1向量的加法运算
课程标准 学习目标
①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。 ③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。 1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；
知识点01：向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

（4）多个向量相加
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.
知识点02：向量加法的运算律
（1）交换律
（2）结合律
题型01 求向量的和
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1) (2) (3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，，则即为所求作的向量.

（3）解：作，，，则即为所求作的向量.

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中， .
【答案】
【详解】将平移到，平移到，
故.
故答案为:.
【典例3】（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知.
【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）填空：
（1） ；
【答案】
【详解】（1）；
故答案为：（1）；
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1) (2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

（2）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

【变式3】（2022·高一课前预习）如图，已知，求作.
(1)(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）在平面内任取一点，如图所示
作则.
题型02 向量的加法运算
【典例1】（2022下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
【典例2】（2022·高一课时练习）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号)
【答案】①④/④①
【详解】①;
②;
③;
④.
故答案为：①④.
【变式1】（2022下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】连接OB.
由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，
∴四边形OABC是平行四边形，
，
，
故选:A.
【变式2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期中）向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由,
故选：A
题型03 向量加法的运用
【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，且，则 ．

【答案】
【详解】因为，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为，所以四边形ABCD是菱形，
且，所以．
故答案为：
【典例2】（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，当，同向时，；当，反向时，；
当，不共线时， ；
故选：C.
【变式1】（2023·高一单元测试）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； .
【答案】
【详解】因为，
所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
；
.
故答案为：；.
【变式2】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）
（2）由向量的平行四边形法则与三角形法则，
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由向量的加法法则，得.
故选：A.
3．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】,
故选：B
4．（2013下·山西晋中·高一统考期中）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】D
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.
故选：A
5．（2022下·云南·高一统考期末）如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意,
故这个人由A地到C地位移的结果为，
故选：C
6．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】在矩形中，由，可得，
又因为，故，故．
故选：A.
7．（2023·高一课时练习）、为非零向量，且，则（ ）
A．与方向相同 B． C． D．与方向相反
【答案】D
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立，
因为，所以与方向相同，
故选：A．
8．（2023下·甘肃天水·高一天水市第二中学校考阶段练习）在矩形中，设，，则的模为（ ）
A． B． C．12 D．6
【答案】D
【详解】已知在矩形中，，，
因为，
根据勾股定理．，
所以的模为.
故选：A.
二、多选题
9．（2022下·高一单元测试）下列结论中正确的是（ ）
A．
B．对任一向量，
C．对于任意向量，
D．对于任意向量，
【答案】BC
【详解】对A，，故A不正确；
对B，根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正确；
对C，根据向量加法交换律，C正确；
对D，时，，D不正确.
故选：BC.
10．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【详解】解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误；
当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．
故选：AD.
三、填空题
11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简 .
【答案】
【详解】.
故答案为：
12．（2023下·高一单元测试）若有以下命题：
①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则；
③相等的两个向量一定是共线向量； ④，，则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量； ⑥两个非零向量的和可以是零．
其中正确的命题序号是 ．
【答案】①③
【详解】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，故①正确；
②单位向量为长度为1的向量，方向不确定，故②错误；
③相等向量的方向相同，所以一定是共线向量，故③正确；
④若，则和不一定平行，故④错误；
⑤零向量的长度为0，方向为任意方向，即零向量有方向，故⑤错误；
⑥向量的和仍然是向量，不会是一个数，故⑥错误.
故答案为：①③.
13．（2021下·高一课时练习）已知，，，则等于 ．
【答案】
【详解】如图，由，∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则，设垂足为D．
∵ ，，∴在中， ．
∴
故答案为：
14．（2017上·山东济南·高三济南外国语学校阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则 ．
【答案】
【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．
因为，所以，
所以为等边三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案为:
四、解答题
15．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【答案】分析答案见解析，OA受力最大
【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则.
因为，的合力为，所以.
如图在平行四边形中，

因为，，
所以，，即，.
故细绳OA受力最大.
16．（2022·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）；
（2）.
B能力提升
1．（2022下·高一课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【详解】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；
（2）解：根据题意，，所以；
（3）解：因为，所以；
（4）解：因为，所以，
所以
2．（2020·高一课时练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
利用图示的向量和勾股定理可知，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 6.2.1向量的加法运算
课程标准 学习目标
①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。 ③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。 1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；
知识点01：向量的加法
（1）向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

（4）多个向量相加
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.
知识点02：向量加法的运算律
（1）交换律
（2）结合律
题型01 求向量的和
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1) (2) (3)
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中， .
【典例3】（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）填空：
（1） ；
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1) (2)
【变式3】（2022·高一课前预习）如图，已知，求作.
(1)(2)
题型02 向量的加法运算
【典例1】（2022下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2022·高一课时练习）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号)
【变式1】（2022下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ）
A． B．0 C． D．
【变式2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期中）向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
题型03 向量加法的运用
【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，且，则 ．

【典例2】（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·高一单元测试）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么 ； .
【变式2】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
3．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
4．（2013下·山西晋中·高一统考期中）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．（2022下·云南·高一统考期末）如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（2023·高一课时练习）、为非零向量，且，则（ ）
A．与方向相同 B． C． D．与方向相反
8．（2023下·甘肃天水·高一天水市第二中学校考阶段练习）在矩形中，设，，则的模为（ ）
A． B． C．12 D．6
二、多选题
9．（2022下·高一单元测试）下列结论中正确的是（ ）
A．
B．对任一向量，
C．对于任意向量，
D．对于任意向量，
10．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简 .
12．（2023下·高一单元测试）若有以下命题：
①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则；
③相等的两个向量一定是共线向量； ④，，则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量； ⑥两个非零向量的和可以是零．
其中正确的命题序号是 ．
1．（2022下·高一课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
2．（2020·高一课时练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
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