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第03讲 6.2.2向量的减法运算
课程标准 学习目标
①借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则。 ②掌握向量减法的几何意义。 ③能熟练地进行向量的加、减综合运算。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；
知识点01：向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】答案见解析
【详解】如图，作，则即为，
再作，则向量即为．

知识点02：向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（　　）
A．若，，则
B．若则或
C．对于任意向量，有
D．对于任意向量，有
【答案】D
【详解】对于A，当时，满足，，但不一定平行，故A错误；
对于B，当，时，满足，但，不成立，故B错误；
对于C，若非零向量方向相反，则，故C错误；
对于D，当中有零向量时，；
当为非零向量时，若共线且方向相同时，则，
当为非零向量时，若共线且方向相反时，则，
当为非零向量时，且不共线时，如图所示，，
综上，，故D正确．
故选：D．

题型01 向量减法及其几何意义
【典例1】（2022·高一课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.
【答案】，
【详解】解：由平面向量的减法可得，.
【典例2】（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】/
【详解】如图，设，
因为，即，可知为等边三角形，
所以与的夹角为.
故答案为：.
【变式1】（2022·高一课时练习）已知向量，，如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【答案】作图见解析
【详解】解：如图所示.
（1） （2）
【变式2】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】因为，，，，
所以，
所以是等边三角形．
故选：A．
题型02 利用向量加减法运算化简表达式
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）化简
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
【典例2】（2023·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【详解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
【典例3】（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）
【变式2】（2022·高一课前预习）化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：.
【变式3】（2022·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
题型03 向量的模
【典例1】（2021·高一课时练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图：
（2）
【典例2】（2023·高一课时练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ．
【答案】7
【详解】因为，当且仅当，反向时，等号成立，
所以的最大值为7.
故答案为：7.
【变式1】（2022·高一课时练习）已知菱形ABCD的边长为1.且，求的值.
【答案】
【详解】因为
所以
【变式2】（2022·高一课时练习）证明：当向量不共线时，.
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，
由三角形两边之和大于第三边得：，
由三角形两边之差小于第三边得：，
所以.
题型04 利用已知向量表示其它向量
【典例1】（2022·高一课时练习）如图所示，已知，，，，，，试用表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
（2）
（3）
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．
【答案】；；；；
【详解】解：由四边形ACDE是平行四边形，且，，，
可得，
，
，
，
.
【变式1】（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）.
（2）.
【变式2】（2019·全国·高三专题练习）已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及．
【答案】答案见解析.
【详解】∵四边形为平行四边形．
∴＝＝；
＝－＝；
＝－＝ ；
＝－＝ ；
＝＋＝ ．
题型05 向量加减法运算的实际应用
【典例1】（2021下·高一课时练习）某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意，某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，
根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为.
故选：A.
【典例2】（2023·高一课时练习）在“向北走”，“向西走”，则 ，与的夹角的余弦值为 ．
【答案】 25 /
【详解】如图，在矩形中，设，则，
空1：；
空2：因为，则与的夹角即为，
所以.
故答案为：25；.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：A
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加减运算法则计算出结果.
【详解】.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则，逐一计算即可求得结果.
【详解】①中；
②中；
③；
即①③结果为零向量，
故选：C.
3．（2019下·北京东城·高一统考期末）如图，向量，，，则向量（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得，
故选：C．
4．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.
故选：A
5．（2023·高一课时练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围．
【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；
，当且仅当、的方向相反时，等号成立，
因此，的取值范围是，
故选：A．
6．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】解：因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：D
7．（2022下·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加减法的线性运算，直接判断选项即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确；
故选：A
8．（2022·高一课时练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】因为，所以，，即.
故选：C.
二、多选题
9．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（ ）
A． B．（为平面内任意一点）
C． D．（为平面内任意一点）
【答案】DBC
【分析】根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义判断即可.
【详解】因为，，，四点不共线，
对于A：，所以且，所以为平行四边形，故A正确；
对于B：因为，所以，所以且，
所以为平行四边形，故B正确；
对于C：因为，即，
所以，所以且，
所以为平行四边形，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，所以四边形为平行四边形，故D错误；
故选：ABC
10．（2022·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】DD
【分析】A选项，根据得到点B在线段上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案.
【详解】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；
对于C：，反向共线时，，故，C错误；
选项D：,反向共线时，，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
11．（2023上·广东东莞·高二校考阶段练习）简化 ．
【答案】
【分析】根据向量加减法法则运算即可.
【详解】，
故答案为：
12．（2023下·高一单元测试）任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
【答案】②③
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可判断①；根据向量减法的三角形法则可判断②③④.
【详解】①根据向量加法的平行四边形法则，得，则①不恒成立；
②根据向量减法的三角形法则，得，则②恒成立；
③根据向量减法的三角形法则，得，则③恒成立；
④根据向量减法的三角形法则，得，则④不恒成立.
故答案为：②③.
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．
(1) (2)
(3) (4)
【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量.
【详解】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（2）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（3）解：作，，则，即即为所求作的向量.
（2）要使，由（1）所得图知：平行四边形的两条对角线相等，
所以，当平行四边形为矩形时成立，故，相互垂直.
B能力提升
1．（2022下·河南南阳·高一统考阶段练习）八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相等向量和向量的减法直接求解.
【详解】．
故选：B
2．（2023下·高一课时练习）一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点.
(1)作出位移，，；
(2)求.
【答案】(1)作图见解析
(2)200千米
【分析】（1）在平面直角坐标系中，作出位移，即可得出；
（2）根据已知可得出四边形ABCD为平行四边形，结合图象，即可得出答案.
【详解】（1）作出，，，如图所示.

（2）由题意，知与方向相反，且长度相等，所以四边形ABCD为平行四边形，
所以千米.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 6.2.2向量的减法运算
课程标准 学习目标
①借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则。 ②掌握向量减法的几何意义。 ③能熟练地进行向量的加、减综合运算。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；
知识点01：向量的减法
（1）相反向量
与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:
③若,互为相反向量,则，，.
（2）向量减法定义
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.
（3）向量减法的几何意义
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】答案见解析
【详解】如图，作，则即为，
再作，则向量即为．

知识点02：向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（　　）
A．若，，则
B．若则或
C．对于任意向量，有
D．对于任意向量，有
题型01 向量减法及其几何意义
【典例1】（2022·高一课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.
【典例2】（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量满足，则与的夹角为 ．
【变式1】（2022·高一课时练习）已知向量，，如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【变式2】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
题型02 利用向量加减法运算化简表达式
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）化简
(1)；
(2)．
【典例2】（2023·高一课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【典例3】（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【变式2】（2022·高一课前预习）化简：
(1)；
(2).
【变式3】（2022·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
题型03 向量的模
【典例1】（2021·高一课时练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)．
【典例2】（2023·高一课时练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ．
【变式1】（2022·高一课时练习）已知菱形ABCD的边长为1.且，求的值.
【变式2】（2022·高一课时练习）证明：当向量不共线时，.
题型04 利用已知向量表示其它向量
【典例1】（2022·高一课时练习）如图所示，已知，，，，，，试用表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．
【变式1】（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【变式2】（2019·全国·高三专题练习）已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及．
题型05 向量加减法运算的实际应用
【典例1】（2021下·高一课时练习）某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高一课时练习）在“向北走”，“向西走”，则 ，与的夹角的余弦值为 ．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019下·北京东城·高一统考期末）如图，向量，，，则向量（ ）

A． B． C． D．
4．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
11．（2023上·广东东莞·高二校考阶段练习）简化 ．
12．（2023下·高一单元测试）任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．
(1) (2)
(3) (4)
14．（2023·高一课时练习）已知，，，求的值．

15．（2020·高一课时练习）如图，已知，为两个非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量，成什么位置关系时，？（不要求证明）
B能力提升
1．（2022下·河南南阳·高一统考阶段练习）八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·高一课时练习）一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点.
(1)作出位移，，；
(2)求.
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