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第04讲 6.2.3向量的数乘运算
课程标准 学习目标
①了解向量数乘的概念。 ②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算。 ③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念； 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法；
知识点01：向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）任作一向量，再作向量，.
【答案】答案见解析
【详解】由知，与同向，模长为模长的2倍，由此作出；
由知，与方向相反，模长为模长的，由此作出；

（2）向量数乘的几何意义
对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
（3）向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
①结合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知识点02：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.
知识点03：向量共线定理
（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．
特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
，
所以与共线．
又因为与有公共的起点A，所以A，B，D三点共线．
题型01 几何图形中用已知向量表示未知向量
【典例1】（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示）
【变式2】（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·四川攀枝花·高一统考期末）在中，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型02 平面向量的混合运算
【典例1】（2023·高一课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【变式2】（2023下·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
题型03 向量共线的判定
【典例1】（2022·河南·校联考三模）已知、、均为非零向量，且，，则（ ）
A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向
【典例2】（2023·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号）
【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）对于非零向量， “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2023·高一课时练习）已知、是两非零向量，且与共线，若非零向量与共线，则与必定 ．
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
题型04 利用向量共线证明线线平行
【典例1】（2023下·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．矩形
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
【变式1】（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
【变式2】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行 B．与同向平行
C．与反向平行 D．与不共线
题型05 已知向量共线（平行）求参数
【典例1】（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【典例2】（2023上·江西·高一统考期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 .
【典例3】（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值．
【变式1】（2023上·山东泰安·高三统考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知向量、不共线，且向量与平行，则实数 .
题型06 三点共线问题
【典例1】（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【典例2】（2023下·安徽合肥·高一统考期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 .
【典例3】（2023上·江西·高二校联考开学考试）已知是平面内不共线的单位向量，是该平面内的点，且，，.
(1)若，求；
(2)若三点共线，求实数的值.
【变式1】（2023下·上海浦东新·高一校考期中）设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为 ．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
【变式3】（2023下·山东泰安·高一校考阶段练习）如图，在中，.设.

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.
题型07 利用向量共线定理求参数
【典例1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ．
【典例3】（2023下·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，.
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
【变式1】（2023下·江苏南通·高一校考期中）已知是两个不共线的向量，向量．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
【变式3】（2023下·山东日照·高一校考阶段练习）已知不共线，向量，，且，则的值为 .
题型08 平面向量共线定理的推论
【典例1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C． D．5
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，.
(1)证明：为定值；
(2)求m＋n的最小值.
【变式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【变式2】（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）在中，，E是线段AD上的动点，设，则 ．
【变式3】（2023下·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·云南大理·统考一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
4．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）设是平面内的一组基底，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
6．（2023下·陕西榆林·高二校联考期中）已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2022下·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
8．（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA
(1)；
(2)；
(3)．
B能力提升
1．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
3．（2023下·四川眉山·高一校考阶段练习）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ．
4．（2023·全国·高一随堂练习）已知非零向量，，，，画图并说明是的平分线．
C综合素养
1．（2023下·云南保山·高一统考期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .

2．（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
3．（2023上·陕西宝鸡·高三校联考阶段练习）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
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课程标准 学习目标
①了解向量数乘的概念。 ②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算。 ③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念； 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法；
知识点01：向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）任作一向量，再作向量，.
【答案】答案见解析
【详解】由知，与同向，模长为模长的2倍，由此作出；
由知，与方向相反，模长为模长的，由此作出；

（2）向量数乘的几何意义
对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
（3）向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
①结合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知识点02：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.
知识点03：向量共线定理
（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．
特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为
，
所以与共线．
又因为与有公共的起点A，所以A，B，D三点共线．
题型01 几何图形中用已知向量表示未知向量
【典例1】（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以
.
故选：C
【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在中，，
∴.
故选：A．
【典例3】（2022下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】,
故选：A

【变式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示）
【答案】
【详解】由题意知：.

故答案为：
【变式2】（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，.
故选：C
【变式3】（2023下·四川攀枝花·高一统考期末）在中，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意知，，因为，且，
所以，故答案为C.
故选：C
题型02 平面向量的混合运算
【典例1】（2023·高一课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【典例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据向量的四则运算可知，
.
故选：D
【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式．
（2）原式.
【变式2】（2023下·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
．
（2）原式
题型03 向量共线的判定
【典例1】（2022·河南·校联考三模）已知、、均为非零向量，且，，则（ ）
A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向
【答案】C
【详解】因为，，所以与同向，与反向，所以与反向．
故选：C.
【典例2】（2023·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【详解】①，共线；
②，共线；
③，共线；
④和无法表示成，所以不共线.
故答案为：①②③
【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)共线(2)共线 3)不共线
【详解】（1），则有，即共线；
（2），则有，即共线；
（3）设，共线，则由共线向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共线，
这与已知条件不共线矛盾，不共线.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）对于非零向量， “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立；
当时，，不一定满足，即必要性不成立.
所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2】（2023·高一课时练习）已知、是两非零向量，且与共线，若非零向量与共线，则与必定 ．
【答案】共线
【详解】因为、是两非零向量，且与共线，所以，使得.
又因为非零向量与共线，所以，使得.
所以，.
所以，与必定共线.
故答案为：共线.
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.
【详解】（1），，所以，
所以，共线.
（2），,
所以，所以，共线.
（3）因为，，
所以，
所以.
所以，共线.
题型04 利用向量共线证明线线平行
【典例1】（2023下·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．矩形
【答案】D
【详解】因为，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四边形为梯形..
故选：A
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）分别为中点，，，
；
，可设，
，又，，.
【变式1】（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
【答案】四边形ABCD为梯形．
【详解】，，
∴，
所以四边形ABCD为梯形．
【变式2】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行 B．与同向平行
C．与反向平行 D．与不共线
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
，
所以，
所以与反向平行，故A正确，B错误；
，
所以与同向平行，故CD错误.
故选：A
题型05 已知向量共线（平行）求参数
【典例1】（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【详解】因为向量与方向相同，
所以存在唯一实数，使，
因为向量，不共线，
所以，解得或（舍去），
故选：A
【典例2】（2023上·江西·高一统考期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 .
【答案】
【详解】由得，，解得.
故答案为：.
【典例3】（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值．
【答案】或．
【详解】因为与共线，
所以存在实数，使，
即．
由于不共线，所以．
即实数k的值为或．
【变式1】（2023上·山东泰安·高三统考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为向量与共线，
所以存在唯一实数，使，即，
所以，
因为向量是平面内的一组基底，所以，
解得，，
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以设，
因为，，
所以，可得，
所以，
故选：C．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知向量、不共线，且向量与平行，则实数 .
【答案】
【详解】因为向量与平行，设，其中，
因为向量、不共线，则，解得.
故答案为：.
题型06 三点共线问题
【典例1】（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】D
【详解】对A，,
所以，则三点共线，A正确；
对B，,
则不存在任何，使得，所以不共线,B错误；
对C，,
则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；
对D，,
则不存在任何，使得，所以不共线，D错误；
故选:A.
【典例2】（2023下·安徽合肥·高一统考期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 .
【答案】
【详解】因为三点共线，故,
则，使得，
又，
故，则，解得，
故答案为：
【典例3】（2023上·江西·高二校联考开学考试）已知是平面内不共线的单位向量，是该平面内的点，且，，.
(1)若，求；
(2)若三点共线，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
.
（2），，
又三点共线，即共线，
，解得：.
【变式1】（2023下·上海浦东新·高一校考期中）设，是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数p的值为 ．
【答案】
【详解】由题意，因为三点共线，所以共线，
所以存在实数，使得，
所以，，所以．
故答案为：．
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
【答案】证明见解析
【详解】设，
则
所以，
又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线.
【变式3】（2023下·山东泰安·高一校考阶段练习）如图，在中，.设.

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，是的中点
【详解】（1）依题意，，
.-
（2）由，
又，所以，
，故三点共线，且是的中点.

题型07 利用向量共线定理求参数
【典例1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
又是直线上的一点，所以，
又，
所以，所以.
故选：B
【典例2】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ．
【答案】
【详解】因为，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案为：.
【典例3】（2023下·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，.
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以；
（2）因为，，，
所以，即，
又向量，不共线，所以，
解得，即的值为.
【变式1】（2023下·江苏南通·高一校考期中）已知是两个不共线的向量，向量．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】由题设且，故，则，可得.
故选：A
【变式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
【答案】4
【详解】由题意可得：
,
故答案为：4.
【变式3】（2023下·山东日照·高一校考阶段练习）已知不共线，向量，，且，则的值为 .
【答案】
【详解】由可设：，则，
，解得：.
故答案为：.
题型08 平面向量共线定理的推论
【典例1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，
又，∴，
∵B，P，D三点共线，∴，∴.
故选：A.
【典例2】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C． D．5
【答案】D
【详解】因为点是的中点，
所以，
又因为
所以，
因为三点共线，
所以，
所以.
故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，.
(1)证明：为定值；
(2)求m＋n的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，
因为的重心是G点，
所以，
，
，
因为G， P，Q三点共线，
所以存在，使得，即，
所以有；
（2）因为，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以m＋n的最小值为.
【变式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【答案】D
【详解】AB选项，因为，所以，
故，
因为三点共线，设，即，
故，
令，故，
为正实数，由基本不等式得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误；
CD选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确.
故选：D
【变式2】（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）在中，，E是线段AD上的动点，设，则 ．
【答案】2
【详解】如图所示，由题意知，
因为A，E，D三点共线，所以，
所以．

故答案为：2.
【变式3】（2023下·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
【答案】
【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三点共线，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·云南大理·统考一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】∵，∴，
故选：C.
2．（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.
【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；
对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
故选：B
4．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以 ，
故选：A
5．（2023下·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）设是平面内的一组基底，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确.
【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误；
B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误；
C选项，，
，
故，故三点共线，C正确；
D选项，，
设，则，无解，故三点不共线，D错误.
故选：C
6．（2023下·陕西榆林·高二校联考期中）已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】由，得，
所以，
则，解得.
故选：D
7．（2022下·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
【答案】D
【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等
【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.
故选:A.
8．（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量共线设，，从而得到，得到方程组，求出.
【详解】因为三点共线，所以设，
即，整理得：，
因为，所以，解得：
故选：C
二、多选题
9．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
10．（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
【答案】DCD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，
若，可得M为BC的中点，所以A正确；

对于B中，若M为的重心，则满足，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三点共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，由，

可得，所以D正确．
故选：ACD
三、填空题
11．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】
，
所以，，.
故答案为：.
12．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）设是内部一点，且，则 ．
【答案】
【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.
【详解】设为的中点，如图所示，连接，则.
又，所以，即为的中点，
则，，
即.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

14．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)在
(2)不在
(3)不在
【详解】（1）因为向量，（三点不共线），则，可作为该平面的一个基底，
所以存在，使得任一向量满足，
当时，，则，
所以，则，
故点在直线上；
当点在直线上时，则存在，使得，
所以，则，
又，所以，则；
所以是点在直线上的充要条件.
对于，显然，所以点在直线上.
（2）对于，显然，
所以点不在直线上
（3）对于，显然，
所以点不在直线上
B能力提升
1．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设
，
所以，即，
又，故.
故选：A
2．（2023上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【详解】记为的中点，连接，作，如图，
则，，
因为，
所以，
所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心.
故选：D.
3．（2023下·四川眉山·高一校考阶段练习）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】由题设，
又共线，如下图，则，即，故，
而，则，

所以，
仅当，即时等号成立，
所以目标式最小值为4.
故答案为：4
4．（2023·全国·高一随堂练习）已知非零向量，，，，画图并说明是的平分线．
【答案】答案见解析
【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
如图，设，
则，，
以为邻边作平行四边形，
则，且平行四边形为菱形，
所以平分，
所以，
又为公共端点，所以三点共线，
所以是的平分线．
C综合素养
1．（2023下·云南保山·高一统考期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .

得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
3．（2023上·陕西宝鸡·高三校联考阶段练习）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，
所以
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以，所以.
（2）解：因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
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