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第06讲 6.3.1平面向量基本定理
课程标准 学习目标
①理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。 ②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 ③会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量； 3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
知识点01：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
（2）对平面向量基本定理的理解
(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.
(2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.
知识点02：平面向量基本定理的有关结论
（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，.
（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.
题型01 基底的概念及辨析
【典例1】（2023下·高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】A选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组基底，A错误；
B选项，∵，
∴和共线，不能作为一组基底，故B正确；
C选项，设，则，无解，故和不共线，故可作为一组基底，C错误；
D选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，D错误..
故选：B
【典例2】（多选）（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】DBD
【详解】不能用表示，故不共线，所以A符合；
不能用表示，所以不共线，故B符合；
，故共线，所以C不符合；
不能用表示，故不共线，所以D符合.
故选：ABD.
【变式1】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【详解】依题意，不共线，
A选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
B选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
C选项，，
所以和不能构成基底.
D选项，不存在使，
所以和可以组成基底.
故选：C
【变式2】（多选）（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】BC
【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，
故选：BC
题型02 用基底表示向量
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，．
两式相减，得，所以．
故选：D．
【典例2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，，
故选：C.
【典例3】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
【变式1】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
【变式2】（2023上·河北保定·高三统考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在平行四边形中，和相交于点，
所以，又是的中点，
所以，所以，
所以.
故选：A
【变式3】（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）如图，在中，设，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意,
故选：D．
题型03 用平面向量基本定理求参数
【典例1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设
，
所以，即，
又，故.
故选：A
【典例2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，
因为与的面积之比为2，则，
当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；
当点与点重合时，可得，
此时，即，此时为最大值为，
所以的取值范围为.
故选：C.

【典例3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴；
（2）因为E，O，C三点共线，不妨设,
所以，
再设，所以，
所以，
所以，，
因为，
∴得，即．
【变式1】（2023·广东汕头·校考一模）在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，

可得为的中点，，
所以
，
因为，
所以，则.
故选：A.
【变式2】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由已知，
则
同理可得，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以设
即
解得.
故选：C.

【变式3】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知中，D为的中点，，若，则 .
【答案】
【详解】因为,
所以,故;
故答案为：.
题型04 平面向量基本定理的综合应用
【典例1】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】设，则，
因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，
故，
因为∽，所以，
设，则，，
故，故，
同理可得，，
因为∽，所以，
设，则，
，，
故，，
则
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故选：C
【典例2】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
所以.
又因为，所以三点共线，所以，即.
因为均为正数，所以，即，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为，
故选：B
【典例3】（2023·陕西·校联考模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）设是的中点，则，且三点共线，
若为弧中点，则四点共线，
由于，
所以三角形和三角形是等边三角形，所以，
所以四边形是菱形，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，，
，
所以当同向时，取得最大值为.
【变式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【答案】D
【详解】AB选项，因为，所以，
故，
因为三点共线，设，即，
故，
令，故，
为正实数，由基本不等式得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误；
CD选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确.
故选：D
【变式2】（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【详解】如图所示：
不妨设，则，
同理设，则，
所以
又由题意，
所以，
从而，
当时，由基本不等式可得，
等号成立当且仅当.
综上所述：的最小值为2.
故选：C.
【变式3】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，在中，，是正三角形，点是的中心，若， 则
【答案】
【详解】如图，MC交AB于点E，
， 设，则，
因为AB是的角平分线，所以，
所以， ，
因为，，三点共线，所以，
，
由题干可知，即
所以，

故答案为：.
题型05 运用平面向量基本定理解决证明问题
【典例1】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

【典例2】（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，
因为点为的中点，所以
，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为4.
（2）
由，则，即，
，
所以，又三点不共线，所以．
【变式1】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，在中，，点是的中点，设，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【详解】（1）解：因为，所以，
因为是的中点，
可得
（2）解：.
因为，
则
以，所以.
【变式2】（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，可知，
所以.
故选：A
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】依题意可得，设，根据平面向量基本定理得到方程组，即可得解.
【详解】∵向量与不共线，∴向量与可以作为平面内的一组基底，
∵，，三点共线，∴，设，即，
则，∴.
故选C.
3．（2023下·陕西榆林·高二校联考期中）已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】由，得，
所以，
则，解得.
故选：D
4．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以 ，
故选：A
5．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】将，设为基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.
【详解】解：
.
故答案选：A.

6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作，交于点，连接，则为的中点，，由，又，即可得出，进而求出结果.
【详解】
如图所示，过点作，交于点，连接，
则为的中点，，
所以，
又，
则
.
故选：D
7．（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知，是两个不共线的向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，是两个不共线的向量，设，
则，
即，解得，
所以.
故选：C
8．（2023上·广东东莞·高二校考期中）在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量为基底表示向量，再根据投影向量公式，即可求解.
【详解】如图，，
，
则，得，，
即,
则在上的投影向量为，
，
所以在上的投影向量为.
故选：C
二、多选题
9．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．与向量共线的单位向量是
C．“”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件
D．若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底
【答案】DD
【分析】利用向量共线定理判断A；求出与向量共线的单位向量判断B；举例说明判断C；利用平面的一个基底的意义判断D.
【详解】对于A，非零向量，由，得存在非零实数，使得，则，即，A正确；
对于B，与共线的单位向量是，B错误；
对于C，当与同向共线时，满足，而与的夹角为0，不是锐角，C错误；
对于D，是平面的一组基底，则不共线，假设向量共线，
则存在实数，使得，即，显然不同时为0，
于是共线，与不共线矛盾，即假设是错的，因此向量不共线，D正确.
故选：AD
10．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由B知：，D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析可得结果.
【详解】由题意可得：
,
故答案为：4.
12．（2023上·天津红桥·高三统考期中）如图，在中，，且，点满足，则 .

【答案】
【分析】先利用基底法求出，再利用数量积的运算法则即可得解.
【详解】因为，所以，
因为， ，
所以，
则.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023上·四川成都·高二校考开学考试）在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由题得；
（2）由已知得，
．
14．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）如图1，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，其中O为正六边形ABCDEF的中心.

(1)用，表示，；
(2)若，求.
【答案】(1)，
(2)-2
【详解】（1）解：如图，

连接OB，OF，由正六边形性质，得四边形ABOF为平行四边形，
所以.
，
.
（2）由正六边形性质，得.
因为，
所以，
.
B能力提升
1．（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比.
【详解】由D为上一点，则，则
，
当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值.
则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点，
则，则.
故选：B
2．（2023上·广东湛江·高二统考期中）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．6
【答案】D
【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可.
【详解】因为点为的重心，所以，则.
因为三点共线，，
所以，.
所以.
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.
故选：D
3．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案.
【详解】由题意知，而，
故,
则，
又点为的延长线上一点，故,
故答案为：；
2．（2023·陕西·校联考模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）设是的中点，则，且三点共线，
若为弧中点，则四点共线，
由于，
所以三角形和三角形是等边三角形，所以，
所以四边形是菱形，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，，
，
所以当同向时，取得最大值为.
3．（2023上·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；
（2） 在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意知，
得，于是.
取的中点，连接DE，如图所示，
根据极化恒等式有，
因此要求的最小值，就是要求的最小值，
当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为，如图所示，
则.
所以的最小值为；
（2）设，
因为，则，
由图可得，，
所以，
即，即.
因为点为的中点，
所以，
于是.
记，
则
，
在中，由余弦定理得，，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值；
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 6.3.1平面向量基本定理
课程标准 学习目标
①理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。 ②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 ③会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量； 3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
知识点01：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
（2）对平面向量基本定理的理解
(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.
(2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.
知识点02：平面向量基本定理的有关结论
（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，.
（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.
题型01 基底的概念及辨析
【典例1】（2023下·高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（多选）（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2】（多选）（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
题型02 用基底表示向量
【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·河北保定·高三统考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）如图，在中，设，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
题型03 用平面向量基本定理求参数
【典例1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【典例3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
【变式1】（2023·广东汕头·校考一模）在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【变式2】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知中，D为的中点，，若，则 .
题型04 平面向量基本定理的综合应用
【典例1】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【典例2】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【典例3】（2023·陕西·校联考模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．
【变式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【变式2】（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
【变式3】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，在中，，是正三角形，点是的中心，若， 则
题型05 运用平面向量基本定理解决证明问题
【典例1】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【典例2】（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．
【变式1】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，在中，，点是的中点，设，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.
【变式2】（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　）
A． B．2 C．1 D．
3．（2023下·陕西榆林·高二校联考期中）已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
4．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
三、填空题
11．（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
12．（2023上·天津红桥·高三统考期中）如图，在中，，且，点满足，则 .

四、解答题
13．（2023上·四川成都·高二校考开学考试）在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
14．（2023下·河北邯郸·高一统考期中）如图1，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，其中O为正六边形ABCDEF的中心.

(1)用，表示，；
(2)若，求.
B能力提升
1．（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·广东湛江·高二统考期中）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．6
3．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．

C综合素养
1．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为 .
2．（2023·陕西·校联考模拟预测）等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．
3．（2023上·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值；
（2） 在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值；
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