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第05讲 6.2.4向量的数量积
课程标准 学习目标
①了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。 ②掌握向量数量积的定义及投影向量。 ③会计算平面向量的数量积。 ④会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。 1.通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础； 4.平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用； 5.熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用.
知识点01：平面向量数列积的物理背景
如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.
其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.
从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.
知识点02：向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.
(2)向量的夹角范围.
(3)特殊情况：
①，与同向；
②，与垂直，记作；
③，与反向.
【即学即练1】（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
知识点03：平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
特别提醒:
（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量,不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.
【即学即练2】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）在中，，，则 .
【答案】
【详解】根据题意易得为等腰直角三角形，
,
则，
故答案为：
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特别提醒:
①为向量在上的投影的数量；
②为向量在上的投影的数量；
③投影的数量（）是一个值，不是向量.
【即学即练3】（2023下·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，
所以向量在向量上的投影数量为，
故答案为：.
知识点4：平面向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则
①.
②.
③当与同向时,；
④当与反向时,；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
知识点5：向量数量积的运算律
①交换律：
②对数乘的结合律：
③分配律：
④
⑤
题型01 平面向量数量积有关的定义及辨析
【典例1】（2022上·河北邯郸·高二校考期中）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【详解】一方面：由，可得，此时与共线;
另一方面：由与共线，可得或，此时有或，
即此时不一定成立.
结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件.
故选：A.
【典例2】（多选）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
【答案】DD
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
【变式1】（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，，
从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件，
当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形，
从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件.
故选：A
【变式2】（多选）（2023下·四川乐山·高一期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．，则
【答案】BD
【详解】对于A：表示与共线的一个向量，
表示与共线的一个向量，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，即，
又，所以，
即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误；
对于D：若，则，
即，
所以，则，故D正确；
故选：BD
题型02 平面向量数量积的几何意义
【典例1】（2022下·河南南阳·高一校考阶段练习）已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影数量是 ．
【答案】
【详解】向量在上的投影数量为 ，
故答案为：
【典例2】（2023·山西·校考模拟预测）美术课对于陶冶人的情操 发展学生的艺术兴趣和爱好 培养学生的艺术特长 提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切，
切点为与右半圆相切，切点为.
，其中为在上的投影，
因为，所以.
当与重合时，最大，最大值为，
此时取得最大值，最大值为；
当与重合时，最小，最小值为，
此时取得最小值，最小值为；
故的取值范围是，
故选：B
【变式1】（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，
由图象知：，
所以，
故选；C
题型03 用定义法求向量数量积
【典例1】（2023上·山西·高二统考学业考试）已知等边三角形的边长为1，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且向量与的夹角为，所以，
故选：C．
【典例2】（2023上·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 .

【答案】
【详解】根据题意可知，，；
所以可得
，
即的值为.
故答案为：
【变式1】（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知，则（ ）
A． B．-24 C． D．16
【答案】D
【详解】解：因为，
所以.
故选：.
【变式2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知，，，则 .
【答案】0
【详解】由题意.
故答案为：0.
题型04 已知数量积求模
【典例1】（2023·四川凉山·统考一模）已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
即.
故选：C
【典例2】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知向量，满足，，与的夹角为，则 ．
【答案】/
【详解】由题意得，
故，
故答案为：
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知，，，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为，，，的夹角为，
所以，
解得，
，
故选：C.
【变式2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，
解得，
.
故选：D
题型05 向量夹角问题
【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知向量，，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，
因为，，
可知三点不共线，且既是的重心也是的外心，
所以为等边三角形，
则，
所以.
故选：C.
【典例2】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知向量，，，则 .
【答案】
【详解】由可得，
即，即，
所以，又，
所以.
故答案为：
【典例3】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为与的夹角为锐角，又，
所以，
又，，，所以，
解得，又因，
当时，也满足，此时不合题意，
当与共线同向时，有，从而得到，解得，
又，所以实数t的取值范围是，
故答案为：.
【变式1】（2024上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
设与的夹角为，则，因为，
所以，即与的夹角为.
故选：D
【变式2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】因为且为非零向量，设，则，
又，所以，则，
解得，
设向量的夹角为，则，
即向量夹角的余弦值为.
故答案为：
【变式3】（2023上·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
因为与的夹角为钝角，
所以且这两个向量不共线，
，解得，
当时，
存在唯一实数，使得，
所以，所以，
又不共线，所以，
综上所述，，
所以满足条件的的值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）
题型06 向量垂直关系
【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，与的夹角为，所以.
由，
得，
解得.
故选:C.
【典例2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
【变式1】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】由题意可知，，
因为，
所以，解得，
则则在方向上的投影向量的坐标为，
故答案为：
【变式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量为，则 ．
【答案】
【详解】已知是非零向量，，
由，有，可得，
在方向上的投影向量为，则有，得，
由，所以．
故答案为：
题型07 已知模求数量积
【典例1】（2022上·陕西安康·高二校考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【详解】由，得，
由，得，两式相减得，
所以.
故选：A
【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】D
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
【变式1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】因为
所以，即，
则
，
.
故选：B．
【变式2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）设向量和满足，，则的值为 .
【答案】2
【详解】因为，
所以，，
所以.
故答案为：2
题型08 已知模求参数
【典例1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
即，解得.
故选：A.
【典例2】（2022·福建·高三专题练习）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为关于的方程有实根，
所以，
所以，，
所以，
即与的夹角的取值范围是.
故选：B.
【变式1】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】与的夹角为钝角，
，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，
所以取值范围为.
故选：D
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
【答案】1或
【详解】将两边平方，得，
得，即，解得或．
故答案为：或.
题型09 向量的投影
【典例1】（2023上·陕西西安·高二高新一中校考阶段练习）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，即，得，
则在方向上的投影向量为.
故选：D
【典例2】（2023上·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则 .
【答案】
【详解】因为在方向上的投影向量为，，
所以，即，所以.
故答案为：.
【典例3】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：B．
【变式1】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：D.
【变式2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）若向量，满足，，且在上的投影向量为，则 .
【答案】3
【详解】在上的投影向量为，因为，所以，
所以，
故答案为：3.
【变式3】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为是相互垂直的单位向量，
所以，.
又，，所以，
所以，
又，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
题型10 利用平面向量数量积求最值
【典例1】（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：B
【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接,
则
,
当时，最小，可求得，
结合，得的最小值为，
故选：
【典例3】（2023上·天津·高三校联考期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设是的中点，连接，
由于，所以三角形和三角形是等边三角形，
则四边形是菱形，则，
，
由于，所以，
所以，
所以的取值范围是
故答案为：
【典例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【答案】
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
【变式1】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知向量满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为
【答案】2
【详解】由题意得，即，
由于，设之间的夹角为，
即，
故，
则，当时，等号成立，
故最小值为2.
故答案为：2
【变式2】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，，则，
故
，
因为，所以，
故，.
故答案为：
【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数x的值为 ．
【答案】
【详解】由向量，满足，，且与的夹角为，可得，
则，
又由，
根据二次函数性质，可得当时，取得最小值.
故答案为：；.
【变式4】（2023上·福建·高三校联考期中）如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，．点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，连接，为的中点，则，，
所以，
又，
所以圆心O到直线CD的距离为，
又点P在线段CD上，所以，则，
所以，即的取值范围为.
故选：D.

A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知单位向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以．
故选：C
2．（2023上·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
3．（2023上·陕西榆林·高三校考期中）若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设向量与的夹角是，
则．
又因为，所以．
故选：A．
4．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:
.
故选:B.
5．（2023·安徽·校联考一模）在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】记，则，，
，
．
故选：A.
6．（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得，即，
又因为，所以，
所以夹角为.
故选：C
7．（2024·全国·高三专题练习）设点，，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，
因为，
所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以，
同理可得，
是等边三角形，所以，
故选：C
8．（2023·江西景德镇·统考一模）人们把蜂房誉为自然界最奇异的建筑，蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形.1943年，匈牙利数学家陶斯（Laszlo Fejes Toth）证明了，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.1999年，黑尔斯证明了周边是曲线时，无论曲线是向外凸还是向内凹，由正六边形组成的图形周长都是最小的.如图是一个边长为2的正六边形ABCDEF，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是边长为的正六边形，所以，，，
则.
故选：A
二、多选题
9．（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
【答案】DD
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则的夹角为45°.
B．由可得或.
C．向量在向量上的投影向量是一个向量，而向量在向量上的投影是一个数量.
D．对于非零向量，， “”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件．
【答案】DBD
【详解】A选项，角B为45°，的夹角为B的补角，为135°，故A错误；
B选项，当时，，故B错误；
C选项，“投影向量”是向量，“投影”是数量，故C正确；
D选项，当向量同向时，，与的夹角为锐角不成立；当与的夹角为锐角时，.所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误；
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023上·北京海淀·高三中关村中学校考阶段练习）已知向量满足与的夹角为，则 ，若，则实数 ．
【答案】 3 3
【详解】因为与的夹角为，
所以；
因为，所以，即，
故，得
故答案为：；
12．（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 .
【答案】/0.2
【详解】，
由于，
故当时，此时取最小值，
故答案为：
四、解答题
13．（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1），
；
（2）因为，所以，
因为，，
所以，
把代入式，得，
.
14．（2023上·天津河西·高三统考期中）如图，中，是的中点，与交于点.

(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【详解】（1）.
（2）因为三点共线，所以，解得.
（3），由（1）可知，
所以，得，
则，
所以
所以的最大值为.
B能力提升
1．（2023·全国·模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故选：C．
2．（2023上·山东淄博·高三统考期中）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，即，
又O为的外心，则,
,
则
即，且O为斜边的中点，过作的垂线，垂足为，
向量在向量上的投影向量为，
，
.
故选：D.
3．（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，点集，
当时，过作于,延长于,使得,
则可知点在线段上运动.

因为，根据数量积的几何含义可知，在上的投影为3，即，
又因为M，，则为线段上的两个点，
所以、夹角最小为，最大为的二倍，
所以、夹角为，则最大为1，最小为
所以范围为.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由题意知，，
∵与的夹角为锐角，∴且，不共线，
假设，共线，则存在实数，使得，
由题知，，不共线，∴，∴，
∴若，不共线，则．
，即，∴，
即，得．
综上，且，
∴的取值范围为．
C综合素养
1．（2023上·安徽·高三校联考期中）已知在中，，分别为边，上的点，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，则，，
设，，其中，，
则，，
因为，
所以，
即，
因为，，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：A.
2．（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）设平面向量，，其中为单位向量，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，即，可得.
故答案为：8
4．（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）已知为等边三角形，且边长为2，则 ；若，，则的最大值为 .
【答案】
【详解】因为为等边三角形，所以，所以；
因为，所以为中点，所以
，
设，则，
所以，
又，
所以当时有最大值.
故答案为：；.
5．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知在中，，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若线段BE上一点D满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在中，，，，，
所以，
当时，则取得最小值为，当时，则取得最大值，
所以，所以的取值范围为；
（2）因为且，，
所以，又，所以，
因为B、E、D三点共线，所以，所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 6.2.4向量的数量积
课程标准 学习目标
①了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。 ②掌握向量数量积的定义及投影向量。 ③会计算平面向量的数量积。 ④会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。 1.通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础； 4.平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用； 5.熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用.
知识点01：平面向量数列积的物理背景
如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.
其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.
从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.
知识点02：向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.
(2)向量的夹角范围.
(3)特殊情况：
①，与同向；
②，与垂直，记作；
③，与反向.
【即学即练1】（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
知识点03：平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
特别提醒:
（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量,不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.
【即学即练2】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）在中，，，则 .
【答案】
【详解】根据题意易得为等腰直角三角形，
,
则，
故答案为：
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特别提醒:
①为向量在上的投影的数量；
②为向量在上的投影的数量；
③投影的数量（）是一个值，不是向量.
【即学即练3】（2023下·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，
所以向量在向量上的投影数量为，
故答案为：.
知识点4：平面向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则
①.
②.
③当与同向时,；
④当与反向时,；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
知识点5：向量数量积的运算律
①交换律：
②对数乘的结合律：
③分配律：
④
⑤
题型01 平面向量数量积有关的定义及辨析
【典例1】（2022上·河北邯郸·高二校考期中）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【典例2】（多选）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
【变式1】（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2023下·四川乐山·高一期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．，则
题型02 平面向量数量积的几何意义
【典例1】（2022下·河南南阳·高一校考阶段练习）已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影数量是 ．
【典例2】（2023·山西·校考模拟预测）美术课对于陶冶人的情操 发展学生的艺术兴趣和爱好 培养学生的艺术特长 提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型03 用定义法求向量数量积
【典例1】（2023上·山西·高二统考学业考试）已知等边三角形的边长为1，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 .

【变式1】（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知，则（ ）
A． B．-24 C． D．16
【变式2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知，，，则 .
题型04 已知数量积求模
【典例1】（2023·四川凉山·统考一模）已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知向量，满足，，与的夹角为，则 ．
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知，，，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【变式2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型05 向量夹角问题
【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知向量，，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知向量，，，则 .
【典例3】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ．
【变式1】（2024上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 ．
【变式3】（2023上·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
题型06 向量垂直关系
【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【变式1】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【变式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量为，则 ．
题型07 已知模求数量积
【典例1】（2022上·陕西安康·高二校考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
【变式1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）设向量和满足，，则的值为 .
题型08 已知模求参数
【典例1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【典例2】（2022·福建·高三专题练习）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
题型09 向量的投影
【典例1】（2023上·陕西西安·高二高新一中校考阶段练习）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则 .
【典例3】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）若向量，满足，，且在上的投影向量为，则 .
【变式3】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
题型10 利用平面向量数量积求最值
【典例1】（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　 ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023上·天津·高三校联考期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则的取值范围是 ．
【典例4】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【变式1】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知向量满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为
【变式2】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是 ．
【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数x的值为 ．
【变式4】（2023上·福建·高三校联考期中）如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，．点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知单位向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2023上·陕西榆林·高三校考期中）若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·校联考一模）在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
6．（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·高三专题练习）设点，，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西景德镇·统考一模）人们把蜂房誉为自然界最奇异的建筑，蜂房是由许许多多的正六棱柱组成，一个挨着一个，紧密地排列，没有一点空隙.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形.1943年，匈牙利数学家陶斯（Laszlo Fejes Toth）证明了，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.1999年，黑尔斯证明了周边是曲线时，无论曲线是向外凸还是向内凹，由正六边形组成的图形周长都是最小的.如图是一个边长为2的正六边形ABCDEF，则（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9．（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
10．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则的夹角为45°.
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
B能力提升
1．（2023·全国·模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023上·山东淄博·高三统考期中）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
C综合素养
1．（2023上·安徽·高三校联考期中）已知在中，，分别为边，上的点，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）设平面向量，，其中为单位向量，且满足，则的最小值为 .
3．（2023上·北京·高三北京市第一六六中学校考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为

4．（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）已知为等边三角形，且边长为2，则 ；若，，则的最大值为 .
5．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知在中，，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若线段BE上一点D满足，求的最小值.
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