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4.2.1 等差数列的概念(1)
模型1 等差数列的概念 2
模型2 等差数列的通项公式 5
模型3 等差中项及应用 8
模型4 等差数列的判定与证明 10
知识点一　等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
知识点二　等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时， A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．
知识点三　等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表：
递推公式 通项公式
an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d
知识点四　等差数列与函数的关系
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一群孤立的点，结合一次函数的单调性可知：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d＝0时，{an}为常数列．
模型1 等差数列的概念
（2024秋 阿勒泰地区期末）下列数列是等差数列的是　　
A．0，0，0，0，0， B．1，1，111，1111，
C．，，，1，3， D．1，2，3，5，8，
【答案】
【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可．
【解答】解：对于：易知该数列是以0为首项，以0为公差的等差数列，故选项正确；
对于：由，得该数列不是等差数列，故选项错误；
低于：易知该数列是以为首项，2为公差的等差数列，选项正确；
对于：由，得该数列不是等差数列，选项错误．
故选：．
点拨 等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)． (3)公差可以是正数、负数、零．
【变式练1】　（2022春 汉滨区期末）下列数列不是等差数列的是　　
A．0，0，0，，0， B．，，0，，，
C．1，3，5，，， D．0，1，3，，，
【答案】
【分析】根据等差数列的定义判断即可．
【解答】解：对于，由等差数列的定义可知，该数列是首项为0，公差为0的等差数列，故正确，
对于，由等差数列的定义可知，该数列是首项为，公差为1的等差数列，故正确，
对于，由等差数列的定义可知，该数列是首项为1，公差为2的等差数列，故正确，
对于，，该数列不是等差数列，故错误，
故选：．
【变式练2】　（2024秋 白银区期中）下列数列中，是等差数列的是　　
A．1，4，7，10 B．，，，
C．，，， D．10，8，6，4，2
【答案】
【分析】对选项进行逐一判断，满足等差数列的定义的即为正确选项．
【解答】解：由，得数列1，4，7，10是等差数列，选项正确；
由，得数列，，，是等差数列，选项正确；
因为，所以数列，，，不是等差数列，选项错误；
由，得数列10，8，6，4，2是等差数列，选项正确．
故选：．
【变式练3】　下列数列不是等差数列的是　　
A．6，6，6，，6， B．，，0，，，
C．5，8，11，，， D．0，1，3，，，
【答案】
【分析】直接由题意结合等差数列的概念得答案．
【解答】解：数列6，6，6，，6，是公差为0的等差数列；
数列，，0，，，是公差为1的等差数列；
为常数，故数列5，8，11，，，是等差数列；
，故数列0，1，3，，，不是等差数列．
故选：．
模型2 等差数列的通项公式
（2024春 玉溪月考）已知数列为等差数列，，，则的公差为　　
A．2 B．6 C．1 D．14
【答案】
【分析】直接根据进行求解即可．
【解答】解：设等差数列的公差为，
等差数列中，，，
．
故选．
点拨 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
【变式练1】　（2024秋 巴宜区期末）在等差数列中：
（1）已知，，求与公差；
（2）已知，．求．
【分析】（1）在等差数列中，利用等差数列通项公式列出方程组，能求出与公差．
（2）在等差数列中，利用等差数列通项公式列出方程组，能求出与公差，由此能求出．
【解答】解：（1）在等差数列中，
，，
，解得，．
（2）在等差数列中，
，．
，，，
．
【变式练2】　（2023春 平果市期中）在等差数列中，
（1）已知，，求；
（2）已知，，求和；
（3）已知，，求．
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得即可得出．
（2）由，，解得，，即可得出．
（3）由，，可得，，解得，即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，，，
联立解得：，，
．
（2），，解得，；
（3），，
，，
解得或25．
【变式练3】　（2023 镇江二模）已知等差数列的公差不为零，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的集合．
【分析】（1）由，．利用等差数列的通项公式建立关于，，的方程，解方程可求，，进而可求
（2）由等差数列的求和公式可求，代入已知不等式可求的范围，进而可求
【解答】解（1）由，．
可得
联立可得，
，
（2）
整理可得，
则
即
所求的的集合，4，
模型3 等差中项及应用
（2024春 晋城期末）已知等差数列满足，则　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】根据等差数列的性质求解即可．
【解答】解：因为，
所以，所以．
故选：．
点拨 等差中项的应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，根据等差中项的定义得A＝. (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．
【变式练1】　（2024春 赤峰期末）在等差数列中，，则　　
A．9 B．10 C．11 D．14
【答案】
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：，
则，解得．
故选：．
【变式练2】　（2024春 厦门期末）在等差数列中，，，则　　
A． B． C．1 D．4
【答案】
【分析】根据等差数列的性质即可求值．
【解答】解：等差数列中，，又，，则．
故选：．
【变式练3】　（2024春 宝山区期末）若等差数列的前三项依次为1，，，则实数的值为 　2　．
【答案】2．
【分析】根据等差中项的性质计算可得．
【解答】解：因为1，，为等差数列的前三项，
所以，解得．
故答案为：2．
模型4 等差数列的判定与证明
（2024秋 万州区月考）已知是等差数列，若，．
（1）求的通项公式；
（2）证明是等差数列．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】（1）设等差数列的公差为，得，结合等差数列的通项公式即得；
（2）根据等差数列的定义可证．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，，
所以，；
（2）证明：因为
所以是公差为的等差数列．
点拨 1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) {an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列． (3)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*) {an}是等差数列． 若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可． 2．用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则当n＝1时，a0无定义．
【变式练1】　（2022秋 漳平市月考）已知等差数列中，，．
（1）求的值；
（2）若数列满足：，证明：数列是等差数列．
【答案】（1）12；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论；
（2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论．
【解答】解：（1），，
，
，
，
；
证明：（2）由（1）可知，
，
，
数列是等差数列，首项是1，公差是2．
【变式练2】 （2022秋 龙山区期中）已知：数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式．
（2）判断数列是否是等差数列，并证明．
【分析】（1）根据题意得，当时，当时，求出；
（2）先判断数列是等差数列，利用等差数列的定义进行证明．
【解答】解：（1）当时，，
则，
当时，，满足上式．
所以数列的通项公式为；
（2）数列是等差数列，
证明：由（1）知，，
当时，，
则当时，是一个与无关的常数，
所以数列是以3为首项，以2为公差的等差数列．
【变式练3】　（2023 乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【分析】（1）由题意当时，，代入已知等式可得的值，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列；
（2）由，可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式．
【解答】解：（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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