资源简介

3 用公式法求解一元二次方程
课题 第1课时 用公式法解一元二次方程 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P41-43
教学目标 1.经历探究一元二次方程求根公式的过程，发展推理能力，积累活动经验。 2.能正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高综合运算能力。 3.会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。 4.进一步发展合作交流的团队意识和能力。
教学重难点 重点：用公式法解一元二次方程。 难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：先让学生尝试用配方法解方程，学生自主动手解答。 用配方法解方程：2x2-4x-6=0。 预设： 方程两边都除以2，得x2-2x-3=0。 移项，得x2-2x=3。 配方，得x2-2x+1=3+1， 即（x-1）2=4。 两边开平方，得x-1=±2。 ∴x1=3，x2=-1。 教师追问：同学们能用能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 学生活动：学生根据上节课所学知识自主交流，教师可随机提问，帮助学生回顾所学知识，也可看一下学生的掌握情况 教师活动：我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多。 那么同学们能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？这节课我们就来学习用公式法解一元二次方程。（教师板书课题： 第1课时 用公式法解一元二次方程） 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习思维和学习积极性,为用公式法解一元二次方程奠定了良好的基础。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请同学们用配方法解此方程。 师生活动：学生在演算纸上自主推导，并针对自己的推导过程中预见的问题在小组内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式。 预设： 方程两边同除以a，得x2+x+=0。 教师活动：引导学生思考：为什么可以两边都除以二项式系数a？ 学生回答：因为a≠0。 配方，得x2+x+-+=0， 即-=0。 移项，得=。 教师活动：此处引导学生思考：现在可以两边开平方吗？ 学生回答：不可以，因为不能保证≥0。 教师活动：引导学生并进一步思考：什么情况下≥0？可以学生讨论。 学生回答：因为a≠0，所以4a2>0。要使≥0，只要使b2-4ac≥0即可。 预设： 当b2-4ac≥0时，两边开平方，得x+=±， 即x=-±， x=。 教师活动：这样我们就得到了一元二次方程的求根公式，并板书写出。 【归纳总结】 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是： x=。 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 【教材例题】 例 解方程： （1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）这里a=1，b=-7，c=-18。 ∵b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0， ∴x==， 即x1=9，x2=-2。 （2）将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 ∵b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0， ∴x==， 即x1=x2=。 （对于第（2）题的解x1=x2=，学生可能不易理解：同一个数为什么算两个根？这里可以作为一种约定告诉学生，不必进一步说明） 【归纳总结】 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）先将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式； （2）确定a，b，c的值；（注意a，b，c的确定应包括各自的符号） （3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根。 【探究2】 议一议： （1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？ 师生活动：鼓励学生独立思考，然后再进行交流，并明确相关结论。可能有学生尝试用公式法解方程x2-2x+3=0，在这一过程中会得到b2-4ac=4-12=-8<0，无法使用求根公式；也可能有学生用配方法解方程x2-2x+3=0，配方后出现（x-1）2 =-2，由于任何实数的平方都不是负数，因此这个方程没有实数根。 （2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流。 师生活动：在第（1）问基础上，引导学生思考。一般地，对一元二次方程ax2+bx+c=0配方后得到=，如果b2-4ac<0，那么原方程没有实数根。 【归纳总结】 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 （实际上，这个结论反过来也是正确的。也就是说，这种判别条件是充分必要条件） 由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定。我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 鼓励学生完成公式的推导过程,一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过互相交流，让学生加深印象，有助于认识和理解求根公式。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 通过探究b2-4ac<0的情况，引出对方程的根的探讨，总结归纳得出Δ=b2-4ac是一元二次方程的根的判别式。
3.学以致用，应用新知 考点1 用公式法解一元二次方程 例1 用公式法解一元二次方程3x2+x=7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（ ） A. a=3，b=-1，c=7 B. a=3，b=1，c=-7 C. a=3，b=-1，c=-7 D. a=3，b=1，c=7 答案：B 变式训练 下列一元二次方程中，根是x=的是（ ） A. 2x2+4x-1=0 B. 3x2+2x-1=0 C. -x2-2x+3=0 D. 3x2-2x-1=0 答案：D 考点2 一元二次方程的根的判别式 例2 一元二次方程x2+5x+1=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 答案：A 变式训练 若关于x的方程2x2+3x+c=0没有实数根，则c的值可能为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：D 通过例题讲解，巩固学生用公式法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程的根的判别式。
4.随堂训练，巩固新知 1. 下列方程，最适合用公式法求解的是（ ） A. （x-1）2=4 B. 2x2=8 C. x2-x-1=0 D. 2（x+1）2-20=0 答案：C 2. 在方程2x2+3x=1中，b2-4ac的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 答案：C 3. 定义运算：m☆n=mn-mn-1。例如4☆2=4×22-4×2-1= 7。则方程1☆x=0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 答案：A 4. 一元二次方程x2-4x-8=0的解是（ ） A. x1=-2+2，x2=-2-2 B. x1=2+2，x2=2-2 C. x1=2+2，x2=2-2 D. x1=2，x2=-2 答案：B 5. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）16y2+9=24y；（2）5（x2+1）-7x=0。 解：（1）将原方程化为一般形式，得16y2-24y+9=0。 这里a=16，b=-24，c=9。 ∵b2-4ac=（-24）2-4×16×9=0， ∴原方程有两个相等的实数根。 （2）将原方程化为一般形式，得5x2-7x+5=0。 这里a=5，b=-7，c=5。 ∵b2-4ac=（-7）2-4×5×5=-51<0， ∴原方程没有实数根。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.一元二次方程的求根公式：x=。 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）先将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式； （2）确定a，b，c的值；（注意a，b，c的确定应包括各自的符号） （3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根。 3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P43习题2.3中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 用公式法解一元二次方程 一、用公式法解一元二次方程 二、一元二次方程的根的判别式 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.要创造性地使用教材 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。 2.要为学生的终身学习奠基 这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生的推理能力和逻辑思维能力，进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度。 反思，更进一步提升。

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