资源简介

6 应用一元二次方程
课题 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P54
教学目标 1.利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题。 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程。 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。
教学重难点 重点：利用一元二次方程解决决平均变化率问题和销售问题。 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们能回忆并回答与利润相关的知识吗？（教师可以给出填空帮助学生回忆） 利润=________-进价 利润率=________ 总利润=________ 售价=标价×________ 教师追问：9折要乘90%或0.9或，那么x折呢？ 学生回答：x折要乘。 这节课，我们继续来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2）） 通过回顾前面所学知识，使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系，同时也是为新课的学习做准备。
2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平时每天能售出8台；而当销售价降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系。 等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000元。 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为_______元。 每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前降价后
解：设每台冰箱降价x元。 根据题意，得（2 900-x-2 500）=5 000。 解这个方程，得x1=x2=150。 2 900-150=2750。 所以，每台冰箱应定价为2 750元。 做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 分析：学生寻找问题中的等量关系：每个台灯的销售利润×平均每天的销售数量=10 000元。 如果设每个台灯涨价x元，那么每件商品的定价应为_______元。 每个台灯的销售利润/元每天的销售量/件总销售利润/元涨价前涨价后
教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：设这种台灯售价上涨x元，根据题意，得 （40+x-30）（600-10x）=10 000。 解这个方程，得x1=10，x2=40（舍）。 售价为40+x=40+10=50（元）。 应购置台灯600-10x=600-10×10=500（个）。 所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个。 议一议： 教师提问：利用方程解决实际问题的关键是什么？ 学生回答：寻找等量关系。 【归纳总结】 列方程解决实际问题的关键和步骤： 关键：寻找等量关系。 步骤：（1）是整体地、系统地审清问题； （2）是把握问题中的“相等关系”； （3）是正确求解方程并检验解的合理性。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 解题思路不应拘泥于这一种，利用此方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。 此处“做一做”是在例题基础上，让学生能够利用所学知识进行自主练习，采取一讲一练的策略加强巩固学生所学内容。
3.学以致用，应用新知 考点1 平均变化率问题 例1 2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为（ ） A. 22% B. 10% C. 20% D. 11% 答案：C 变式训练 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件。如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到_______万件。 答案：13.31 考点2 “传播”问题 例2 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1 641人参与了传播活动，则方程列为（ ） A. （n+1）2=1 641 B. （n-1）2=1 641 C. n（n+1）=1 641 D. 1+n+n2=1 641 答案：D 变式训练 春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防。如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了_______人。 答案：15 考点3 销售问题 例3 中秋节又称月亮节，团圆节等，是中华民族的传统节日，我国各地都有吃月饼的习俗。某超市以40元每盒的价格购进一批月饼，根据市场调查，售价定为每盒64元，每天可售出200盒；若售价每降低1元，则可多售出20盒，问此种月饼每盆售价降低多少元时，超市每天售出此种月饼的利润可达到5 700元？若设每盆月饼售价降低x元，则可列方程为（ ） A. （64-x）（200+20x）=5 700 B. （64-x-40）（200+20）=5 700 C. （40-x）（200+20x）=5 700 D. （64-x-40）（200+20x）=5 700 答案：D 变式训练 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场。与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 003 kg，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%。已知去年这种水果批发销售总额为10 000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是_______元。 答案：4 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40 kg。售价每上涨1元，每天的销量将减少3 kg。如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ） A. （x-10）[40-3（x-20）]=408 B. （20+2x）（40-3x）-10×40=408 C. （20+2x）（40-3x）=408 D. （20+x-10）（40-3x）=408 答案：D 2. 两个相邻自然数的积是132.则这两个数中，较大的数是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 答案：B 3. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x个球队参加比赛，可得到 x（x-1）=15。 方程可化为x2-x-30=0。 解得x1=6，x2=-5（舍去）。 所以，应邀请6个球队参加比赛。 4. 前年生产1 t甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x。 根据题意，得5 000（1-x）2=3 000。 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775。 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％。 5. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-3。例如把（2，-5）放入其中，就会得到22+2×（-5）-3=-9，现将实数（m，-3m)放入其中，得到实数4，则m的值是多少？ 解：根据题意，得m2+2×（-3m）-3=4。 解得m1=7，m2=-1。 所以m的值是7或-1。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.解决利润问题常用的关系有： （1）利润=售价-进价。 （2）利润率=×100%＝×100%。 （3）售价=进价（1+利润率）。 （4）总利润=单个利润×销售量=总收入-总支出。 2.平均变化率问题 （1）a（1+x）2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量。 （2）a（1-x）2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量。注意1与x位置不可调换。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P55习题2.10中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2） 1.列方程解决实际问题的关键和步骤 2.平均变化率问题 3.“传播”问题 4.销售问题 提纲掣领，重点突出。
教后反思 无论是例题还是练习题，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更便于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，帮助学生形成积极主动的求知态度。 反思，更进一步提升。

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