资源简介

1.2　有理数及其大小比较
1．2.1　有理数的概念
1．理解并掌握有理数的相关概念．
2．了解有理数的分类标准与分类结果的相关性，培养学生的分类能力．
▲重点
正确理解有理数的概念．
▲难点
正确理解有理数的分类标准，并能按照一定的标准进行正确分类．
◆活动1　新课导入
1．正数：__大于0的数__叫作正数；负数：在正数的前面加上符号__“－”__的数叫作负数；π是__无限不循环__小数．
2．若向南走10 m记作－10 m，则＋5 m表示__向北走5_m__．
3．下列各数：－20，5，－，0.23，－0.04，0，－6，8，.其中，正数有__4__个，负数有__4__个，整数有__5__个．
◆活动2　探究新知
1．教材P7　内容．
提出问题：
(1)到目前为止，我们学过了哪些数？请举例说明；
(2)所有的正整数组成什么数的集合？所有的负整数组成什么数的集合？
(3)任意一个小数都能化成分数吗？
(4)什么叫整数？什么叫分数？什么叫有理数？
学生完成并交流展示．
2．有理数可以如何分类？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．__正整数__、__0__、__负整数__统称为整数；__正分数__、__负分数__统称为分数．
2．可以写成__分数__形式的数称为有理数．
3．有理数的分类：
按符号分：
有理数
◆活动4　例题与练习
例1　在数－5，，0，－0.24，7，4 076，－，－2中，正数有__，7，4_076__，负数有__－5，－0.24，－，－2__，整数有__－5，0，7，4_076，－2__，分数有__，－0.24，－__，有理数有__－5，，0，－0.24，7，4_076，－，－2__．
例2　下列说法不正确的是(A)
A．正整数和负整数统称为整数
B．正有理数、负有理数和零统称为有理数
C．可以写成分数形式的数称为有理数
D．正分数和负分数统称为分数
例3　观察下面一列数，探求其规律：
，－，，－，，－，…
(1)写出第7，8，9项的三个数；
(2)第2 024个数是什么？
(3)如果这一列数无限排列下去，与哪两个数越来越接近？
解：(1)，－，；
(2)－；
(3)如果这一列数无限排列下去，与1和－1越来越接近．
练习
1．教材P8　练习第1，2，3题．
2．有理数：－7，3.5，－，1，0，中，正分数有(C)
　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法正确的是(D)
　A．一个有理数不是正数就是负数
　B．正有理数和负有理数组成有理数
　C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
　D．负整数和负分数统称为负有理数
4．将下面一组数填入相应的集合圈内：
　－0.6，－8，＋2.1，－809，－2，89.9，0，4.
　(1) (2)
　　　　　　
◆活动5　课堂小结
1．有理数的概念．
2．有理数的分类．
1．作业布置
(1)教材P16　习题1.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
1.2.2　数轴
1．掌握数轴的三要素，能正确画出数轴．
2．能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．
3．经历学习数轴形成的过程，让学生初步体会数形结合的思想方法．
▲重点
数轴的概念与应用．
▲难点
从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念，掌握数形结合的思想方法．
◆活动1　新课导入
(多媒体播放)在一个大年夜森林里，一群动物正在玩寻宝游戏，裁判大象介绍游戏规则：寻宝必须按照寻宝图，而寻宝图分成四份，藏在一条路(东西向)旁的四棵树的周围，它们分别是距现场向东300 m的柳树，向东750 m的杨树，向西460 m的槐树和向西800 m的松树．同学们，你们能帮助动物们画图描述这些位置从而快速地找到宝物吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P8　问题．
提出问题：
(1)怎样简明地表示出图中的柳树、槐树、电线杆、交通标志杆与汽车站牌的相对位置关系(方向、距离)
(2)你能说出图1.2－1中各数的实际意义吗？
(3)你还能列举出其他类似的例子，并用图表示出来吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P9　思考．
提出问题：
(1)图1.2－3和图1.2－2有什么相同点和不同点？
(2)什么叫作数轴？一条数轴要具备哪几个要素？
(3)什么叫作原点？数轴上，原点右边的点表示什么数？数轴上，原点左边的点表示什么数？
(4)数轴上每个数表示的点到原点的距离是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．数轴：规定了__原点__、__正方向__和__单位长度__的直线叫作数轴．
2．数轴上点的表示：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的__正__半轴上，与原点的距离是__a__个单位长度；表示数－a的点在数轴的__负__半轴上，与原点的距离是__a__个单位长度．
强调：(1)数轴的三要素：__原点__、__正方向__、__单位长度__；
(2)画数轴时不要忘了用箭头表示方向．
◆活动4　例题与练习
例1　(1)画一条数轴，并表示出如下各点：±0.1，±0.5，±0.75；
(2)画一条数轴，并表示出如下各点：1 000，5 000，－2 000；
(3)画一条数轴，并表示出到原点的距离小于3的整数；
(4)画一条数轴，并表示出－5和＋5之间的所有整数．
解：如图：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2　如图．
(1)数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？
(2)在数轴上表示下列各数：1.5，－，－5，3.
解：(1)点A表示－2.5，点B表示－1，点C表示0，点D表示5；
(2)如图．
例3　一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这时它表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？
解：－2；－1.
练习
1．教材P11　练习第1，2，3，4题．
2．在数轴上，点A表示的数是－4.如果把原点向负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A表示的数是(C)
　A．－5 B．－4 C．－2 D．2
3．在数轴上，表示数－3，2.6，－，0，4，－2，－1的点中，在原点右边的点有__2__个．
◆活动5　课堂小结
1．数轴的概念——三要素．
2．能写出数轴上某点表示的数，能在数轴上表示已知的有理数．
1．作业布置
(1)教材P17　习题1.2第2，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
1.2.3　相反数
1．了解相反数的概念，能求出一个数的相反数．
2．初步运用数形结合的思想方法解决问题，增强应用意识，培养创新精神．
▲重点
理解相反数的意义．
▲难点
根据相反数的意义化简多重符号．
◆活动1　新课导入
演示活动：要一个学生向前走5步，向后走5步．
提出问题：如果向前为正，向后为负，向前走5步，向后走5步各记作什么？
答：向前走5步记作＋5，向后走5步记作－5.
走2步呢？走4步呢？如果将这两个数表示在数轴上会有什么发现？今天我们就一起来探究一下．
◆活动2　探究新知
1．教材P11　探究．
提出问题：
(1)在数轴上，与原点的距离是2的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数有什么相同之处和不同之处？
(2)如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
(3)什么叫作相反数？任何一个数都有相反数吗？
学生完成并交流展示．
2．化简下列各数：
(1)－(－8)＝__8__； (2)－(＋15)＝__－15__；
(3)－[－(＋6)]＝__6__； (4)＋(＋)＝____．
提出问题：
(1)通过化简，你能得出什么结论？
(2)你能解释等式－(－3)＝3为什么成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．只有__符号__不同的两个数，互为相反数．
2．a的相反数为__－a__．特别地，0的相反数是__0__．
3．在任意一个数前面添上“__－__”号，新的数就表示原数的相反数．双重符号化简规则为：同号得__正__，异号得__负__．
◆活动4　例题与练习
例1　写出下列各数的相反数．
(1)7；　(2)＋6.3；　(3)－3；　(4)＋(－)；　(5)－(＋3)；　(6)－(－2.6).
解：(1)－7；(2)－(＋6.3)＝－6.3；(3)－(－3)＝3；(4)－[＋(－)]＝；(5)－[－(＋3)]＝3；(6)－[－(－2.6)]＝－2.6.
例2　写出下列各数的相反数，并把所有的数(包括相反数)在数轴上表示出来．
4，－，－(－)，＋(－4.5)，0，－(＋3).
解：它们的相反数分别是－4，，－，4.5，0，3.在数轴上表示如图所示．
例3　数轴上，点A表示＋4，点B和点C关于原点对称，且点C到点A的距离为2，则点B和点C各对应的是什么数？
解：点B对应的数是－2或－6，点C对应的数是2或6.
练习
1．教材P12　练习第1，2，3，4题．
2．如图，点A，B，C，D表示的数中，表示互为相反数的两个点是(C)
　A．点A与点B B．点B与点C
　C．点A与点D D．点B与点D
3．如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数为(C)
　A．2 B．－4 C．－1 D．0
4．数轴上，点A表示的数为－5，B，C两点所表示的数互为相反数，且点B到点A的距离为4，求B，C两点对应的数分别是什么？
解：因为点A表示的数为－5，点B到点A的距离为4，所以点B表示的数为－9或－1.又因为B，C两点所表示的数互为相反数，所以点C表示的数为9或1.
◆活动5　课堂小结
1．掌握相反数的概念以及求一个数的相反数．
2．多重符号的化简．
3．运用相反数解决问题．
1．作业布置
(1)教材P17　习题1.2第3，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
1.2.4　绝对值
1．理解绝对值的意义，使学生学会求一个数的绝对值．
2．通过观察、比较、归纳得出绝对值的概念，让学生感受数形结合的思想．
▲重点
理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值．
▲难点
对绝对值概念的理解．
◆活动1　新课导入
1．－10的绝对值是__10__．
2．－2，4，－，0，2 024的绝对值分别是什么？
答：－2的绝对值是2；4的绝对值是4；－的绝对值是；0的绝对值是0；2 024的绝对值是2 024.
◆活动2　探究新知
1．教材P13　内容．
(1)互为相反数的两个数(0除外)在数轴上表示，各在数轴的哪一部分？
(2)＋10，－10在数轴上表示它们到原点的距离是多少？
2．思考并回答下列问题：
(1)在数轴上，表示＋2的点与原点的距离是多少？
(2)在数轴上，表示－2的点与原点的距离是多少？
(3)由此你能发现什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，数轴上表示数a的点与__原点__的距离叫作数a的绝对值，记作__|a|__，读作__a的绝对值__．
2．一个正数的绝对值是__它本身__；一个负数的绝对值是__它的相反数__；0的绝对值是__0__．即
(1)如果a＞0，那么|a|＝a；
(2)如果a＝0，那么|a|＝0；
(3)如果a＜0，那么|a|＝－a.
3．(1)一个数的绝对值是__非负数__；
(2)绝对值等于它本身的数是__非负数__；
(3)绝对值等于它的相反数的数是__非正数__．
◆活动4　例题与练习
例1　求下列各数的绝对值．
(1)＋8； (2)－7.2; (3)0.
解：(1)＝8；(2)|－7.2|＝7.2；(3)|0|＝0.
例2　计算：
(1)|－18|＋|－6|；
(2)×.
解：(1)原式＝18＋6＝24；
(2)原式＝×＝.
练习
1．教材P14　练习第1，2，3，4题．
2．下列说法正确的是(B)
　A．一个数的绝对值一定是正数
　B．负数的绝对值等于它的相反数
　C．一个数的绝对值一定是非正数
　D．绝对值等于它本身的数有两个，分别是0和1
3．下列各式中，不成立的是(D)
　A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5|
　C．|＋5|＝5 D．－|－5|＝5
4．若|a|＝8，则a＝__±8__；若|－a|＝8，则a＝__±8__；若|a|＝|－8|，则a＝__±8__．
5．蜗牛从点O开始沿东西方向直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为(单位：cm)：＋5，－3，＋10，－8，＋12，－6，－10.在爬行过程中，如果每爬1 cm奖励一粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻？
解：1×(|＋5|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|＋12|＋|－6|＋|－10|)＝1×(5＋3＋10＋8＋12＋6＋10)＝54(粒).
答：蜗牛一共得到54粒芝麻．
◆活动5　课堂小结
1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记做|a|.
2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：
|a|＝或|a|＝
1．作业布置
(1)教材P17　习题1.2第4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
1.2.5　有理数的大小比较
1．理解并掌握两个负数大小比较的方法．
2．掌握有理数大小比较的方法．
3．通过对有理数大小比较方法的推理，培养学生的数学推理能力．
▲重点
运用绝对值的知识比较两个负数的大小．
▲难点
掌握有理数大小比较的方法．
◆活动1　新课导入
1．想一想：
天气预报显示哈尔滨、北京、广州、武汉、上海5个城市和它们对应的这一天的最低气温分别为－20 ℃，－10 ℃，10 ℃，5 ℃，0 ℃.
你从中获得了哪些信息？
2．填空：比较这一天下列两个城市间最低气温的高低(选填“高于”或“低于”)和所对应的数的大小(选填“>”或“<”)．
广州__高于__武汉，广州__高于__上海，上海__高于__北京，武汉__高于__哈尔滨，北京__高于__哈尔滨．
10__>__5，10__>__0，0__>__－10，5__>__－20，－10__>__－20.
◆活动2　探究新知
1．教材P14　思考．
提出问题：
(1)这14个温度中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(2)你能将这7天的最低温度在数轴上表示出来吗？并把它们按照从低到高的顺序排列；
(3)观察你所排列的顺序和它们在数轴上的位置有什么关系？
(4)除了用数轴比较两个负数的大小外，你还能想到其他比较大小的方法吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P15　思考．
提出问题：
(1)正数与0，正数与负数，0与负数的大小关系如何比较？
(2)两个负数，如何比较大小？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是__从小到大__的顺序．
注意：在数轴上表示的有理数，左边的数__小于__右边的数．
2．一般地，
(1)正数__大于__0，0__大于__负数，正数__大于__负数；
(2)两个负数，绝对值大的__反而小__．
◆活动4　例题与练习
例1　画一条数轴表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来．
，2，－4.5，0，，－0.5，－.
解：在数轴上表示如图所示：
用“＜”把这些数连接起来：－4.5＜－0.5＜－＜0＜＜2＜.
例2　有理数x，y在数轴上的位置如图所示：
(1)在数轴上表示－x，－y；
(2)试把x，y，0，－x，－y这五个数用“＞”连接起来．
解：(1)如图所示；
(2)x＞－y＞0＞y＞－x.
例3　如果|a|＝4，|b|＝3，且a＞b，求a，b的值．
解：因为|a|＝4，所以a＝4，或a＝－4.
因为|b|＝3，所以b＝3，或b＝－3.
因为a＞b，所以a＝4，b＝3，或b＝－3.
练习
1．教材P16　练习第1，2，3题．
2．下列说法正确的是(D)
　A．有最小的正数，没有最小的负数
　B．有最大的负数，没有最小的负数
　C．有最小的正数，也有最大的负数
　D．既没有最大的负数，也没有最小的正数
3．比较－，－，的大小，结果正确的是(A)
　A．－＜－＜ B．－＜＜－
　C．＜－＜－ D．－＜－＜
4．已知a，b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小关系是(A)
　A．b＜－a＜a＜－b B．－a＜a＜b＜－b
　C．－a＜b＜a＜－b D．－b＜－a＜a＜b
5．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，设点A，B，C对应的数分别为a，b，c.
(1)点C在什么位置时，a＞c＞0
(2)点C在什么位置时，a＞c＞b
(3)点C在什么位置时，a＞b＞c
(4)点C在什么位置时，c＞a＞b
解：(1)点C在原点和点A之间时，a＞c＞0；
(2)点C在A，B两点之间时，a＞c＞b；
(3)点C在点B的左侧时，a＞b＞c；
(4)点C在点A的右侧时，c＞a＞b.
◆活动5　课堂小结
1．借助数轴比较有理数的大小：在数轴上右边的数总比左边的数大．
2．运用法则比较有理数的大小：(1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．
1．作业布置
(1)教材P17　习题1.2第5，7，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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