资源简介

3 一元一次方程的应用
第3课时 行程问题
课题 第3课时 行程问题 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P151-152
教学目标 1.能分析行程问题中已知数和未知数之间的相等关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程解应用题。 2.会区分行程问题中的相遇问题与追击问题，正确地找出相等关系并列出相应的方程。 3.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力。
教学重难点 重点： 能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题。 难点： 利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 同学们，你有早上上学忘记带课本的时候吗？忘记带了怎么办呢？请看下面的小品。 学生们以小品的形式演绎了一位同学早晨忘记带作业后路上发生的一系列事，他刚出门不久，父母就发现他忘带作业，于是赶快加速赶往学校给他送作业，最终在去学校的路上追上了他。 教师活动：通过小品的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题，从而引出课题及例题。 这节课我们就来学习一元一次方程的应用。（教师板书课题： 第3课时 行程问题） 采用生动活泼的小品，让学生感受生活中我们常常会遇到类似的问题，从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边的、感兴趣的“能否追上小明”这一事件，激发学生的好奇心，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题、便于引起每位同学的兴趣。
2.实践探究，学习新知 【探究】 小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000 m的学校上学。一天，小明以80 m/min的速度出发，出发后5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 教师活动：同学们这是一个什么类型的问题呢？对于路程、时间、速度问题我们在小学已经学习过，通常画出线段来表示路程，请同学们根据问题画出表示路程的线段好，指导学生画图。提示学生，爸爸追上小明，说明路程一样，速度不一样，时间不一样。 学生活动：阅读题目，理解分析，画图表示出路程，并与同学讨论交流。 提出问题：（1）问题中有哪些已知量和未知量？ 想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 你是怎样列出方程的？ 学生活动：仔细分析问题，根据图形，找出等量关系，列出方程并讨论。 分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等。在解决这个问题时，要抓住这个等量关系。 解：设爸爸追上小明用了x min。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示。 根据等量关系，可列出方程：180x=80x+80×5。 解这个方程，得 x= 4 。 因此，爸爸追上小明用了 4 min，此时距离学校还有 280 m。 教师活动：请你根据列出的方程解答完整，并体会画图在解答本题中的作用，以后遇到路程、时间、速度问题你将怎么解答？请同学们结合本题展开讨论。 学生活动：写出完整的解答过程，并进行分组讨论，与同学交流。 【教材例题】 例3 小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1 min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1 min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和问题（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 解：（1）设小华用x min追上小明，根据等量关系，可列出方程260+260x=300x。 解这个方程，得x=6.5。 因此，小华用6.5 min追上小明。 （2）设小华起跑后x min两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程260x+300x=400-260。 解这个方程，得x=0.25。 因此，小华起跑后0.25 min两人首次相遇。 【归纳总结】 1.行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但列表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间这三个量中，已知量是一致的，设的未知量不同，所列方程也不同。 2.解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行程问题三个基本量（路程、速度、时间）中：①如果速度已知，若从时间设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从时间找等量关系列方程；②如果时间已知，若从速度设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从速度找等量关系列方程；③如果路程已知，若从时间（速度）设元，则从速度（时间）找等量关系列方程。 让学生学会用线段表示出路程,学会分析路程、时间、速度问题,更主要的是通过画图直观地找出题目中的等量关系。 通过分析提示,找出等量关系,列出方程。通过解答本例题,学会找出有关路程、时间、速度问题的解答方法,形成数形结合思想。 给学生广阔的思考空间和自主权,让学生学会提出问题,并能够表述清楚,再运用所学的知识进行解答。
3.学以致用，应用新知 考点1 相遇问题 例1 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲仍发长安，问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安。现乙先出发2日，甲才从长安出发，问多久后甲、乙相逢？设乙出发x日后甲、乙相逢，则可列方程为（ ） A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 答案：D 变式训练1 我国出口印尼、用于雅万高铁的高速动车组在中国中车青岛基地下线，这标志着最高运行时速350千米、中国出口国外的首列高速动车组正式诞生。已知甲、乙两地相距900千米，两列动车同时从两地相向开出，1.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是 7∶5，这两列动车的速度分别是多少？ 解：设快车的速度是7x千米/时，则慢车的速度是5x 千米/时， 依题意得1.5（7x+5x）=900，解得x=50， 则7x=7×50=350，5x=5×50=250. 所以快车的速度是350千米/时，慢车的速度是250 千米/时。 考点2 追及问题 例2 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里 . 驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（ ） A. 150（12+x）=240x B. 240（12+x）=150x C. 150（x-12）=240x D. 240（x-12）=150x 答案：A 变式训练2 甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/时，乙的速度为 5 千米/时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要的时间是（ ） A. 5小时 B. 1小时 C. 6小时 D. 2.4小时 答案：C 考点3 航行问题 例3 轮船在静水中的速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5 h（不计停留时间），则甲、乙两码头的距离是 km. 答案：48 变式训练3 一架飞机在两个城市间飞行，无风时每小时飞行552千米，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用了5.5小时，逆风飞行用了6小时，求这次飞行的风速。 解：设这次飞行的风速为每小时x千米， 依题意，得5.5（552+x）=6（552-x），解得x=24. 所以这次飞行的风速为每小时24千米。
4.随堂训练，巩固新知 1.汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4 s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为（ ） A．2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×72＝4×340 C．2x＋4×72＝4×340 D．2x－4×20＝4×340 答案：A 2.A，B两地相距900 km，一列快车以200 km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75 km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200 km的次数是（ ） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 答案：D 3..甲、乙两人相约晨跑，乙出发时，甲跑在乙前方50米处，已知甲跑步速度为每分钟200米，乙跑步速度为每分钟220米，问当两人相距10米时，乙跑了_____________米。 答案：440或660 4.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？ 解：设飞机顺风飞行的时间为t h. 依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)． 解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320. 因此，这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回． 5.小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步．小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等．两人同时同地同向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇， 若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？ 解：设小明的速度为x m/s， 则他的哥哥的速度为x m/s， 由题意得160x＝160×(x)-400. 解得x＝5. 则小明的哥哥的速度为5×=7.5(m/s)． 设经过y s他们第一次相遇， 由题意，得(5+7.5)y＝400. 解得y＝32. 因此，经过32 s他们第一次相遇． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.解决行程问题的基本步骤： 2.行程问题中的常见类型 （1）同向相遇问题 甲走的路程+乙走的路程=两地距离； （2）同向追及问题 ①同时不同地：快者走的路程=慢者走的路程+两地距离； ②同地不同时：快者走的路程=慢者走的路程（两者时间不同）. 3.航行问题的几个公式 （1）船在静水中速度+水速=船的顺水速度； （2）船在静水中速度-水速=船的逆水速度； （3）船的顺水速度=船的逆水速度+水速×2. 4.环形跑道问题 （1）两人同地同向出发，第n次相遇：s快 s满=ns一圈； （2）两人同地背向出发，第n次相遇：s快+s满=ns一圈； 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P155习题5.3中的T8。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3课时 行程问题行程问题追及问题投影区相遇问题航行问题学生活动区
提纲挈领，重点突出。
教后反思 本节课研究的是时间、速度、路程问题，对学生来说比较熟悉，就是在涉及两个人的时间、速度问题上往往就不能马上找出题目中的等量关系，这个时候教师不要急于求成，要结合图形，甚至可以让学生演示追赶问题和相遇问题，让学生慢慢理解，只有学生理解了，才能解决这一类问题达到以点带面的目的。 反思，更进一步提升。

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