资源简介

第十三章 全等三角形
回顾与反思
课题 回顾与反思 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P55—58
教学目标 1. 从整体的角度，回顾本章所学过的内容，找出知识之间的联系，形成知识网络. 2. 梳理、归纳本章知识，使学生加深对所学知识的认识和理解. 3. 进一步理解证明的意义，理解基本事实、定义、定理在证明中的作用.
教学重难点 重点：全等三角形的判定和性质. 难点：三角形相关知识的综合应用.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
知识结构 总结反思知识结构，培养学生善于归纳、总结的能力.
二.总结与反思 本章的主要内容是命题与证明、全等三角形的性质及判定、三角形的尺规作图. 推理是数学的基本思维方式，也是一种基本的数学思想方法，在本章中，我们主要进行演绎推理，即证明.证明是说明一个命题正确性的重要方法.证明的依据是已学过的定义、基本事实、法则和定理等.证明要合乎逻辑，证明过程中要做到步步有据. 命题、逆命题、证明. 一般地，命题是有条件和结论两部分组成.将一个命题的条件和结论互换，就得到这个原命题的逆命题.原命题和它的逆命题的真假没有必然的联系.若要说明一个命题是假命题，只要举反例即可；若要说明一个命题是真命题，则需要证明. 2.全等三角形. 全等三角形是能够完全重合的两个图形，而全等三角形是全等图形之一.两个图形全等包括两个方面：一是形状相同，二是大小相等.两者缺一不可. 全等三角形的性质是：对应边相等、对应角相等. 判定两个三角形全等的三个基本事实是： （1）如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等； （2）如果两个三角形的两边和他们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； （3）如果两个三角形的两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等. 全等三角形的判定定理：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等. 3.三角形的尺规作图. 已知三条边、两边、及其夹角或两角及其夹边，都可以用尺规作三角形.
专题复习 专题一　三角形全等的判定与性质的综合应用 【专题分析】 三角形全等的判定要根据具体题目的具体情况确定采用“SAS"“ASA"“AAS"“SSS”中的哪个,而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题. 【例1】如图所示,AC，BD相交于点O，且OA=OC,OB=OD. 求证AD∥BC. 证明:在ΔAOD和ΔCOB中, ∵ ∴ΔAOD≌ΔCOB(SAS). ∴∠A=∠C，∴AD∥BC. 专题二　全等三角形的性质及判定的实际应用 【专题分析】 全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题,解题的关键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大. 【例2】如图所示，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走40米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到D处,在D处转90°沿DE方向再走28米，到达E处,此时A,C与E在同一直线上,求点A，B之间的距离. 解:∵从B处与AB成90°角的方向出发， ∴∠ABC=90°， ∵BC=40米，CD=40米，∠EDC=90°, ∴在ΔABC与ΔEDC中， ∴ΔABC≌ΔEDC，∴AB=DE， ∵沿DE方向再走28米，到达E处，即DE=28米, ∴AB=28米. 答:点A,B之间的距离为28米. 专题三　利用尺规作图-—作三角形 【专题分析】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的. 【例3】如图所示，已知ΔABC. (1)请用直尺和圆规作一个三角形,使所作三角形与ΔABC全等; （2)请简要说明你所作的三角形与ΔABC全等的依据. 解:（1)如图所示，ΔEDF即为所求.（作法不唯一) （2)在ΔEDF和ΔABC中， ∴ΔEDF≌ΔABC(SSS）. 专题四　分类讨论思想 【专题分析】 对于三角形全等的性质和判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题，常用到分类讨论的思想. 【例4】如图所示,点F,C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF,若使ΔABC≌ΔDEF,则需补充一个条件是　　　　或　　　　或　　　　. 答案：BC=FE　∠A=∠D　∠B=∠E 专题五　转化思想 【专题分析】 证三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法，证线段（或角)相等,往往转化为证线段(或角)所在的两个三角形全等.当需要证的两个全等的三角形不明显时,还要添加辅助线,构造全等三角形. 【例5】如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点,且CD=AE,连接AD，BE,求证AD=BE.（提示：等边三角形的三个内角均为60°) 证明:∵ΔABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB, ∴∠EAB=∠ACD=120°, ∵在ΔABE和ΔCAD中, ∴ΔABE≌ΔCAD(SAS），∴AD=BE. 专题六　数学建模思想 【专题分析】 全等三角形在实际生活中有很多的应用.比如，测量工具内槽宽的工具——卡钳,测量不能直接测量的两点间的距离等.对于这些实际问题,往往是根据实际情况建立数学模型,利用数学原理解决问题. 【例6】如图所示，有一座小山，现要在小山A,B的两端开一条隧道，施工队要知道A,B两端的距离,但A,B间的距离不能直接测量，请你用已学过的知识按以下要求设计测量方案： (1）画出测量图; (2)写出测量方案; (3）写出推理过程. 解:（1）如图所示. （2）①找个能同时看见A点和B点的C点, 然后连接AC并延长到D,使AC=DC; ②连接BC并延长到E,使BC=EC,测量DE的长度,即为A,B间的距离. (3)在ΔACB和ΔDCE中， ∴ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴AB=DE. 专题七　类比思想 【专题分析】 对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题,常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单,而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论,类比基本图形，可以解决复杂图形的问题,主要考查观察、推理、猜测的能力. 【例7】如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E是BC上的两点,且∠DAE=45°.将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB，连接DF. （1）DF与DE之间有何数量关系？ （2）证明你猜想的结论. 解：(1)猜想:DF=DE. 证明：(2）∵∠BAC=90°,∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°. ∵将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后，得到ΔAFB, ∴AF=AE，∠FAB=∠EAC， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=45°=∠DAE. 在ΔADF和ΔADE中, ∴ΔADF≌ΔADE（SAS），∴DF=DE. 通过专题复习帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.
四.本章节测试 单元测试卷 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形周长相等 B．全等三角形面积相等 C．全等三角形对应角都相等 D．全等三角形对应边都相等 2．已知图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用三角形的（ ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 4．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，OA=OB=OC=OD，且点A、O、D与点B、O、C分别共线，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（ ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 6．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 7．如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，则与相等的线段是（ ） B． C． D． 8．如图4所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的， 若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数是（ ） A．80° B．100 ° C．60° D．45°． 二、填空题 9．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为 ． 10．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为 度． 11．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于 度 12．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段________________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母） 三、解答题 13．如图，给出五个等量关系：①，②，③，④，⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明． 14．尺规作图：如图，已知线段a，． 求作：等腰三角形，使其腰长为a、底角为． 15．如图，已知点M是的边上一点，，且，则的长为多少？ 16．已知：如图，，且，E为的中点． （1）求证：； （2）在不添加辅助线的情况下，除外，请再写出两个与的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明） 17．如图（1），，将和的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当旋转至如图（2）位置，点，C，D在同一直线上时，与的数量关系是________． （2）当继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 单元测试卷答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．1：4 10．65 11．15° 12． 13．已知：． 求证：． 证明：在和中， ∵， ∴， ∴．（答案不唯一） 14．解：就是所求的等腰三角形． 15．解：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴． 16．解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵E是的中点， ∴， ∴； （2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等，可知的面积与的面积相等．（答案不唯一） 17．解：（1）， ． 又，， ． （2）（1）中的结论成立．理由如下： ， ，，，，，即． 在与中，， ， ， ， 即． 又， ． 通过单元测试卷，进一步巩固本章所学内容，检测学习效果.

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