资源简介

17.3 一元二次方程根的判别式教学设计
教学目标
1、了解根的判别式的概念．
2、能用判别式判别根的情况．
3、进一步渗透转化和分类的思想方法．
4、培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．
教学重点：会用判别式判定根的情况．
教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
教学内容
1、解下列方程：
①（x-2）2＝9；②（x-1）2＝0；③x2＝-3
2、平方根的性质是什么？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
3、一元二次方程ax2=c(a≠0)变形为x2=c/a后，你能判断它根的情况吗？
①当a、c为同号两数时，原方程有两个不相等的实数根；
②当a、c为异号两数时，原方程没有实数根；
③当c为0时，原方程有两个相等的实数根．
4、将下列方程化为（x+h）2=k的形式，并判断它的实数根的个数：
①x2+2mx=7 ②2x2-4mx=-2m2 ③x2-4mx=-5m2-1
5、把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）写成（x+h）2=k的形式．
由学生完成，变形得（x+b/2a）2=（b2-4ac）/ 4a2
6、引导学生观察方程的右边，因为a≠0,所以4a2＞0．因此只需研究b2-4ac的值就可以了，从而由学生得出：（向学生渗透转化和分类的思想方法）
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
7、引出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式的概念：
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
8、然后，引导学生写出上述命题的逆命题：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）
当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；
当方程有两个相等的实数根时，△＝0；
当方程没有实数根时，△＜0．
教师说明此命题成立．
9、例题讲解
例：不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）； （2）； （3）．
解：
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤：
（1）化方程为一般形式，以便于确定a、b、c的值；
（2）计算b2-4ac的值；
（3）判别根的情况．
强调两点：
（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．
（2）判别根的情况时，不必求出方程的根．
另外，可以补充额外的例题进行讲解．
10、练习：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y； （3）4p（p-1）-3＝0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
11、不解方程，判别下列方程根的情况．
（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
∵ 不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．
∴ 方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
12、小结：
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
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