资源简介

《任意角三角函数的定义》教学设计
课题 任意角三角函数定义 课时 1课时 授课班级
教学内容分析
本节课是关于三角函数的一节概念课.本节课要学的内容有任意角的三角函数，指的是任意角的三角函数的定义和三角函数线,其核心（或关键）是利用单位圆、角的终边、平面直角坐标系来讨论三角函数.理解它关键就是理解清楚锐角三角函数放到直角坐标系下时得到的结论并加以推广，学生已经学过了锐角三角函数的定义.本节课的内容任意角的三角函数就是在此基础上的发展（或就是它的下位概念,就可以类比它，等等）.由于它还与后续的三角函数的整个内容有密切的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容.教学的重点是任意角的三角函数的定义，所以解决重点的关键是分析好锐角三角函数在直角坐标系下的表示，理解任意角三角函数就是其直接推广.
教学目标
1.理解任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数的定义域、三角函数值的符号及诱导公式一. 3.理解有向线段的意义，会在单位圆中画出给定角的三角函数线. 4.通过学习，进一步理解、体会数形结合思想在数学中的应用
学情分析
学生在学习的过程中可能会遇到为什么要将其坐标化,为什么要用单位圆,为什么要用有向线段来讨论相关的问题.产生这些问题的原因是学生对这些知识的工具性的作用认识不够.因此在教学中一定要从学生的实际出发,引导学生找出问题,如何解决这些问题,让学生体会用所学知识来解决问题的一般模式.
教学重点及难点
教学重点：三角函数的定义 教学难点：用角的终边上的点刻画三角函数
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习引入 锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？ 回答问题，复习旧知 复习旧知，引入新课
讲授新课 提出问题 任意角三角函数的定义 问题1：我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ (1)请你试一试,用这种方法求一求45°角的三角函数值. (2)请你总结一下,在锐角的终边上任取一点P(a,b),根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦、余弦、正切的表达式. (3)锐角三角函数的这些表示,形式上与点P的坐标值有关,点P的位置不同,表示式中的a,b也就不同，但作为锐角三角函数的值与终边上点P的位置选择有关吗？ (4)通过(3)的研究,我们达成了共识,锐角三角函数的值与终边上点P的位置选择是无关的.那为了方便确定这些锐角的三角函数的值,我们可以选择一个较好的特殊点来表示.那么选择哪个呢 【设计意图】：将锐角三角函数坐标化,为建立任意角的三角函数概念作铺垫． 问题2：锐角三角函数可以利用单位圆上的点的坐标表示.同样的,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.直接将其推广，请你给出任意角的三角函数的定义. (1)根据定义,请求下列角的三角函数值： 60°,150°,225°,-120°,-,,-, (2)请根据上述任意角的三角函数的定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号总结出来. 三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限sinαcosαtanα
【设计意图】：培养学生类比猜想的能力，同时让学生经历由锐角的三角函数特例到任意角的三角函数的一般情况的过程. 问题3：根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系 （1）终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中) <2>三角函数线 问题4：观察下列四个图,以及三角函数的定义,角α的正弦,余弦,正切值能用线段来表示吗 (1)不难得出: .怎么去掉绝对值呢 (2)我们规定: 有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向. 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. 【师生活动】： 1.根据这种规定,如何才能使线段MP,OM的取值与点P的坐标一致 2.根据规定正弦,余弦也就有了相应的几何表示.我们把表示某个角的正弦,余弦的有向线段叫做该角的正弦线和余弦线.那么这个角应该也有正切线,怎么规定呢 3.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质 【设计意图】：引导学生建立有向线段的印象并得出其定义进而获得三角函数线. 概念的巩固和应用 例1:(1)已知角α的终边经过点，求α的正弦,余弦,正切值. (2)已知角α的终边过点，求α的正弦,余弦,正切值. 例2:求证:当下列不等式组成立时,角θ为第三象限.反之亦然. 例3:终边相同的角的三角函数值相等.请把这一结果写成公式的形式,并问答：它有什么作用呢 【设计意图】：通过应用所学知识解决问题，推进学生对所学的知识的理解． 目标检测 1.已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 2.求的正弦、余弦和正切值. 课堂小结 1.本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同 2.你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗 3.请写出各三角函数的定义域； 4.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗 5.三角函数线的做法. 提出问题,让学生体会三角函数与现实世界的密切联系，为引入三角函数描述周期变化做好铺垫，同时以此激发学生学习新函数的兴趣。 类比在单位圆中定义“1弧度的角”，将问题简单化. 明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向 角的概念推广后放在坐标系中研究，已为在坐标系中定义三角函数做好铺垫，将学生熟知的锐角的正弦、余弦、正切放在坐标系中研究，逐步渗透，为在坐标系中借助单位圆定义任意角的三角函数进一步奠定基础. 启发学生思维，建立变量间的对应关系，把实际问题建模为数学问题——把问题归结为单位圆上点的坐标与旋转角之间对应关系的探索 在问题的引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”，引导学生类比已有知识（引入符号表示中的）理解三角函数符号的意义 探究坐标系中角与 学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究的路径是：明确研究背景---对应关系的特点分析---下定义---研究性质 学生对点P运动过程中变量分析有困难，能说出角变化与点P位置变化，但P点位置变化由横坐标x和纵坐标y的变化来体现需要老师引导 学生容易求出点的坐标并归纳求解步骤：画终边、做垂线、求长度、写坐标 大部分学生能顺利完成1,而2需要教师提示一下应用推广的定义

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