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1.1 正数和负数（同步练习） 2025-2026学年人教版数学七年级上册
一、选择题
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（ ）
A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元
2．下列四个数字，不是负数的是（　　）
A． B． C．1 D．
3．某校篮球队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（　　）
A． B． C． D．
4．根据国际排联的规定，排球的标注直径为（单位：），下图排球直径不合格的是（　　）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
5．在苏果超市，某品牌的食品包装袋上“质量”标注：500g±10g下列待检查的各袋食品中质量合格的是（　　）
A．530g B．515g C．480g D．495g
6．下列不是具有相反意义的量是（　　）
A．前进5米和后退5米 B．收入30元和支出10元
C．向东走10米和向北走10米 D．超过5克和不足2克
7．下列说法正确的是（　　）
A．零是正数不是负数
B．零既不是正数也不是负数
C．零既是正数也是负数
D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数
8．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市的时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的国外城市从左到右依次是（　　）
城市 时差/h
纽约 ﹣13
悉尼 +2
伦敦 ﹣8
罗马 ﹣7
A．伦敦、纽约、罗马、悉尼 B．罗马、悉尼、伦敦、纽约
C．纽约、悉尼、伦敦、罗马 D．罗马、伦敦、悉尼、纽约
9．下列说法中，正确的是（　　）。
A．带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
B．因为＋0＝－0＝0，所以零既是正数，又是负数。
C． 是负数。
D． 是负数。
10．下列各式中，结果为正数的是（　　）
A．﹣|﹣2| B．﹣（﹣2） C．﹣22 D．（﹣2）×2
11．如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走20m”可以表示为（　　）
A．﹣20m B．﹣40m C．20m D．40m
12．下列四个数中，负数是（　　）
A．5 B．0.56 C．-3 D．+9
二、填空题
13．﹣3，0，0.6，﹣，11中负数一共有　 　个．
14．如果运进货物30吨记作+30吨，那么运出50吨记作 　 　
15．如果“节约10%”记作+10%，那么“浪费6%”记作： 　 　
16．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“﹣20元”表示　 　
17．七年级（1）班第一次数学测试平均成绩是88分，小皓考了93分，记作“＋5分”，那么小张考了81分，记作　 　．
18．一运动员某次跳水的最高点离跳板2m，记作+2m，则水面离跳板3m可以记作 　 　m．
19．水果市场上鸭梨包装箱上印有字样：“15kg±0.2kg”，有一箱鸭梨的质量为14.92kg，则这箱鸭梨 　 　标准．（填“符合”或“不符合”）
20．某自相车厂一周计划生产1400量自行车，平均每天生产200量，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +6 ﹣9
（1）根据记录可知前三天共生产　 　 辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　辆；
（3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是　 　 （元）
三、解答题
21．某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？
22．一种零件的内径尺寸在图纸上是50±0.05（单位：mm），表示这种零件的内径标准尺寸是多少？加工要求最大不超过标准尺寸多少毫米？符合要求的零件内径最小是多少毫米？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】A
12．【答案】C
13．【答案】2
14．【答案】﹣50吨
15．【答案】﹣6%
16．【答案】支出20元
17．【答案】分
18．【答案】-3
19．【答案】符合
20．【答案】599；23；84075
21．【答案】92分
22．【答案】标准尺寸为50mm，最大不超过标准尺寸0.05mm，符合要求的零件内径最小是49.95mm.正数和负数（暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
在学习“正数和负数”这一章节之前，你应该：
已经掌握了小学阶段所学的整数（0 和正整数）、分数（正分数）的概念和读写。
对生活中具有相反意义的量有一定的感知，例如：收入与支出、上升与下降、向东与向西等。
带着“为什么需要学习负数？”“负数是什么样的数？”“负数如何表示和使用？”等问题开始本章的学习。
期望通过本章学习，能够区分正数和负数，理解0的特殊意义，并能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，为后续有理数的学习打下基础。
知识点梳理
一、正数和负数的概念
正数：
定义： 大于0的数叫做正数。
表示方法： 正数前面可以加“+”号，也可以不加。“+”号读作“正”。
例如：+3（读作“正三”）、5（读作“五”，省略了“+”号）、+2.8（读作“正二点八”）、+1/2（读作“正二分之一”）都是正数。
本质： 小学学过的除0以外的数都是正数。
负数：
定义： 在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数。
表示方法： 负数前面必须加“-”号，“-”号读作“负”。
例如：-3（读作“负三”）、-0.5（读作“负零点五”）、-2/3（读作“负三分之二”）都是负数。
注意： 负数是与正数意义相反的量，它表示比0小的数。
0的特殊性：
0既不是正数，也不是负数。
0是正数和负数的分界点。 它表示一个基准，如温度的0℃，海拔的0米等。
二、用正数和负数表示具有相反意义的量
相反意义的量： 在生活中，存在着许多具有相反意义的量，如：
向东走5米 和 向西走3米 （方向相反）
气温上升3℃ 和 气温下降2℃ （变化趋势相反）
收入200元 和 支出100元 （资金流向相反）
高于海平面8848米 和 低于海平面155米 （高度位置相反）
前进10步 和 后退5步 （运动方向相反）
表示方法：
为了区分具有相反意义的量，我们通常把其中一种意义的量规定为“正”，那么与它意义相反的量就规定为“负”。
步骤：
确定一个基准（通常用0表示）。
规定其中一种意义的量为正，用正数表示。
则与它意义相反的量就为负，用负数表示。
举例：
如果规定向东为正，那么向西走3米记作：-3米。
如果规定气温上升为正，那么气温下降2℃记作：-2℃。
如果规定收入为正，那么支出100元记作：-100元。
海平面的海拔高度规定为0米，那么珠穆朗玛峰高于海平面8848米记作：+8848米（或8848米），吐鲁番盆地低于海平面155米记作：-155米。
注意事项：
用正数和负数表示相反意义的量时，必须要有明确的“规定”，即哪一个量为正，哪一个为负。
相反意义的量不仅要意义相反，而且它们的单位（如果有）也应该相同。
通常情况下，“增加”、“上升”、“前进”、“收入”、“高于”等用正数表示；“减少”、“下降”、“后退”、“支出”、“低于”等用负数表示。但这不是绝对的，具体由规定决定。
三、正数和负数的读法
正数： “+”读作“正”，后面是几就读作几。例如：+5 读作“正五”，5 读作“五”（省略“正”字）。
负数： “-”读作“负”，后面是几就读作几。例如：-7 读作“负七”，-3.2 读作“负三点二”。
0： 读作“零”。
知识点总结
核心概念：
正数： 大于0的数，可带“+”号（通常省略）。
负数： 在正数前加“-”号的数，表示与正数意义相反的量，小于0。
0： 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界。
关键作用：
引入负数是为了表示生活中那些具有相反意义的量，使得数学的应用更加广泛。
核心技能：
能正确识别正数、负数和0。
能根据具体情境，用正数和负数表示具有相反意义的量，并明确规定哪个量为正，哪个量为负。
易错点：
忽略“0既不是正数也不是负数”。
负数的符号“-”不能省略。
在用正负数表示相反意义的量时，没有先明确规定正方向或正意义。
通过本章的学习，我们对数的认识从非负的范围（0和正数）扩展到了可以表示相反意义的量的范围（引入了负数），这是数系的第一次扩充，是学习有理数的基础。
巩固练习
一、选择题
1． 下列说法中正确的是(　　)
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数
2．如果+4表示转盘按顺时针方向转动4圈，那么按逆时针方向转动3圈记为(　　)
A．-7 B．7 C．-3 D．3
3．如果电梯上升5米，记作米，那么下降8米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如果水库的水位高于正常水位3m记为+3m，那么低于正常水位7m时，应记为(　　)
A．+7m B．-7m C．+4m D．-4m
5．一种面粉的质量标识为“25±0.25 kg”，则下列质量的面粉中合格的是(　　)
A．25.30 kg B．24.80 kg C．25.51 kg D．24.70 kg
6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为（　　）．
A． B． C． D．
7．排球的国际标准指标中有一项是质量，规定排球的标准质量为．现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示：若只从质量的角度考虑，符合要求的排球有（　　）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
质量（） 271 266 279 285 253 281 239 264
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果－20%表示减少20%，那么＋6%表示　 　．
10．在+5，-4，+|-3.14|，-(+ )，20%， 中，正数是　 　.
11．一次数学测试，以80分为基准，90分记作+10分，那么70分应记作　 　．
12． 仔细思考下面各对量：
①胜二局与负三局；
②气温升高3℃与气温为-3℃；
③盈利3万元与支出3万元；
④甲、乙两支篮球队举行了两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为65：60与60：65。
其中具有相反意义的量有　 　。
13． 把下列各数填在相应的横线上：
正数：　 　；负数： 　 　；既不是正数也不是负数：　 　。
14． 请按要求写出相应的两个有理数：
（1）既是正数也是分数：　 　。
（2）既不是负数也不是分数：　 　。
15．一组按规律排列的数： ， ， ， ， ， ，其中第 个数是　 　，第 （ 为正整数）个数是　 　．
三、解答题
16．商店里有单价分别为1元5角，2元8角，5元三种贺卡。小明先每种买了5张，为了凑成整元，又买了1张贺卡。
（1）用元作单位，各种贺卡的单价应怎样表示
（2）小明一共支付了多少钱
17．某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下：
+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10.
（1）这10名同学的期末成绩中，最高分是多少 最低分是多少
（2）这10名同学中，期末成绩低于80分的同学所占的百分比是多少
18．如图，海边的一段堤岸高出海平面12m，附近的一建筑物高出海平面50m，演习中的某潜艇在海平面下30m处。
（1）现以海平面高度为基准，将其记为0m，高于海平面记为正，低于海平面记为负，则堤岸、附近的建筑物及潜艇的高度各应如何表示
（2）若以堤岸高度为基准，则堤岸、附近的建筑物及潜艇的高度又应如何表示
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．B
6．C
7．C
8．D
9．增加6%
10．+5，+|-3.14|，20%
11．-10
12．①③
13．15、、0.11、+9.87、+69、、0.99；-2.7、、-21；0
14．（1）
（2）2，0
15．；
16．（1）解：1元5角=1.5元，2元8角=2.8元.
三种贺卡的单价为1.5元、2.8元、5元.
（2）解：1.5×5+2.8×5+5×5=46.5（元）.
小明为了凑成整元，只能再买1张价格为1.5元的贺卡.
46.5+1.5=48（元）.
即小明一共支付了48元.
17．（1）解：最高分是为80+12=92分，最低分是80-10=70分.
（2）解： 期末成绩低于80分的同学 有5位，占比50%.
18．（1）解：以海平面高度为基准，堤岸的高度为+12m，附近的建筑物的高度为+50m，潜艇的高度为-30m。
（2）解：以堤岸高度为基准，则堤岸的高度为0m，附近的建筑物的高度为+38m，潜艇的高度为-42m。第一章 1.2 有理数及其大小比较（同步练习） 2025-2026学年人教版数学七年级上册
一、选择题
1．在，，，0，，中，既是负数又是整数的有（　　）
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
2．下列四个有理数中，既是分数又是负数的是（　　）
A．5 B． C． D．0
3．数轴上原点及原点右边的点表示的数是（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
4． 的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．
5．如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（　　）
A． 是负数 B． 一定是正数
C． 一定不是负数 D． 一定是负数
6．下列说法中正确的是（　　）
A．没有最小的有理数 B．0既是正数也是负数
C．整数只包括正整数和负整数 D．﹣1是最大的负有理数
7．在-1，+2，0，-π中非负数的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．下列说法正确的是（　　）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数
D．一个数不是正数就是负数
9．如图，在不完整的数轴上有A，B两点，它们所表示的两个有理数互为相反数，则关于原点位置的描述正确的是（　　）
A．在点A的左侧 B．与线段AB 的中点重合
C．在点B的右侧 D．与点A或点B重合
10．如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（　　）
A．正数 B．负数
C．整数 D．不等于零的有理数
11．下列结论正确的有（　　）
①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，那么a+b=0；⑤若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号。
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．若，且m、n异号，则的值为（　　）
A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3
二、填空题
13．－2的相反数是　 　.
14．绝对值小于3的整数是　 　．
15．绝对值不大于8的所有整数的和为　 　 .
16．﹣6的绝对值是　 　 ．
17．整数和分数统称为　 　 ．
18．有理数中，最大的负整数是　 　 ．
19．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是　　 　 ．
20．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为　 　 ．
21．数轴上到原点的距离等于4的数是 　 　
22．数轴上有三点A，B，C，且A，B两点间的距离是3，B，C两点的距离是1．若点A表示的数是﹣2，则点C表示的数是　 　
三、解答题
23．把下列各数序号分别填在表示它所在的集合里：
①，②，③2022，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨，⑩
（1）正数集合______，
（2）整数集合______，
（3）负分数集合______．
24．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
﹣ ，0，﹣2.5，﹣3，1 ．
25．已知 ，求 的值。
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．B
5．C
6．A
7．C
8．B
9．B
10．B
11．A
12．A
13．2
14．0，±1，±2
15．0
16．6
17．有理数　
18．-1
19．0
20．﹣4或2　
21．±4
22．0或2或﹣4或﹣6
23．（1）
（2）
（3）
24．解：将各数用点在数轴上表示如下：
其大小关系如下：﹣3＜﹣2.5＜﹣ ＜0＜1
25．解：∵|a-1|+|b+3|=0，
∴a=1，b=-3.
将a=1，b=-3代入得：
.有理数的概念（暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
理解有理数的定义，能区分有理数与无理数。
掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按符号分类）。
熟练运用数轴表示有理数，理解相反数、绝对值的概念。
能用有理数解决实际问题（如温度、海拔等场景）。
知识点梳理
1. 有理数的定义
定义：可以表示为两个整数之比（分数形式 ，其中 为整数，）的数。
表现形式：
整数（如 ）
分数（如 （有限小数或无限循环小数））
2. 有理数的分类
按定义分类：
整数：正整数、0、负整数
分数：正分数、负分数
按符号分类：
正有理数（如 ）
负有理数（如 ）
零（既不是正数也不是负数）
3. 数轴与有理数
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
表示方法：每个有理数对应数轴上的一个点（如 在原点左侧2个单位）。
4. 相反数与绝对值
相反数：符号相反的两个数（如 和 ），0的相反数是0。
绝对值：数轴上点到原点的距离，恒为非负数（如 ）。
5. 应用举例
实际场景：温度（ vs ）、收支（收入+500元，支出-200元）。
知识点总结
核心概念 关键要点
有理数定义 可写为分数的数（包括整数和有限/循环小数）。
分类方法 按定义（整数/分数）、按符号（正/负/零）。
数轴表示 每个有理数对应数轴上唯一一个点。
相反数 符号相反，数轴上关于原点对称。
绝对值 表示距离，永远≥0。
易错提醒：
无限不循环小数（如π）不是有理数！
绝对值最小的数是0，没有绝对值最大的数。
通过以上学习，学生应能准确识别有理数，并运用其解决实际问题。建议结合数轴绘图和生活实例加强理解。
巩固练习
一、选择题
1．下列说法，其中正确的个数为（　　）.
①正数和负数统称为有理数；②一个有理数不是整数就是分数；③有最小的负数，没有最大的正数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤ -a 一定在原点的左边.
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个
2．下列说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数 B．﹣a一定是负数
C．0是整数 D．一个有理数不是整数就是分数
3．在，﹣2，0，﹣3.4这四个数中，属于负分数的是（　　）
A． B．﹣2 C．0 D．﹣3.4
4．下列说法正确的是（　　）
A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数
C．零既属于正整数又属于负整数 D．有理数是正数和负数的统称
5．下列说法错误的是（　　）
A．偶数可以分成正偶数、负偶数和零
B．所有分数都可以化成小数
C．在﹣1和+1之间含有无数个有理数
D．正整数和负整数统称为整数
6．最小的整数是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．不存在
7．-2不是（　　）
A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负数
8．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是-10℃，1℃，-7℃，把它们从高到低排列正确的是（　　）
A．-10℃，-7℃，1℃ B．-7℃，-10℃，1℃
C．1℃，-7℃，-10℃ D．1℃，-10℃，-7℃
二、填空题
9．已知下列8个数：—3.14， 24， +17， —0.01， 0，—12，其中整数有 　 　，负分数有　 　， 非负数有　 　 .
10．有理数中，最大的负整数是　 　 ．
11．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，-中，分数有 　 　
12．从正有理数集合中去掉正分数集合，得到　 　 集合．
13．　 　 和　 　 统称为有理数，在有理数中，　　 　 　既不是正数也不是负数．
14．把下列各数分别填在相应的横线上：
1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．
正数有：　 　 ；
分数有：　 　 ；
负数有：　 　 ；
正整数有：　 　 ；
非正数有：　 　 ；
负整数有：　 　 ；
非负数有：　 　；
负分数有：　 　 ；
非负整数有：　 　．
三、解答题
15．如果两个有理数a，b，同时满足下列两个条件：（1）a+b=﹣ab；（2）a、b同号，就称a，b互为“同伴数”．请问﹣有“同伴数”吗？为什么？
16．我们用字母a表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例．
（1）a一定表示正数，﹣a一定表示负数；
（2）如果a是零，那么﹣a就是负数；
（3）若﹣a是正数，则a一定为非正数．
17．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2016﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2016}就是一个黄金集合，
（1）集合{2016}　 　 黄金集合，集合{﹣1，2017}　 　 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）
（2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由
（3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
18．有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等
6，，0， 200，， 5.22， 0.01，+67，， 10，300， 24．
（1）试问小王、小李坐的各是第几号位置？
（2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少同学？
参考答案
1．B
2．B
3．D
4．B
5．D
6．D
7．B
8．C
9．24，+17，0，-12；-3.14， ，-0.01；24，+17， ，0
10．-1
11．﹣4.2，-
12．正整数　
13．整数　；分数　；0
14．正数有：1，，325，0.618，π，0.1010010001…；分数有：-0.20，，-23.13，0.618；负数有：-0.20，- 789，-23.13，-2014；正整数有：1，325；非正数有：-0.20，-789，0，-23.13，-2014；负整数有：-789，- 2014；非负数有：1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…；负分数有： -0.20，-23.13；非负整数有：1，325，0
15．解：﹣没有“同伴数”，理由如下：
设a=﹣，
﹣+b=b．
解得b=1，
a、b不同号，
∴﹣没有“同伴数”．
16．（1）错误，a=﹣3，﹣a=3；
（2）错误．a=0，﹣a=0；
（3）错误．非正数包括零和负数．
17．（1）不是；是
（2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是﹣2000．
∵2016﹣a中a的值越大，则2016﹣a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2016﹣4016=﹣2000．
（3）该集合共有24个元素．
理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2016﹣a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个．
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2016﹣a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，
∴这个黄金集合中的元素个数为：12×2=24（个）．
18．（1）小王的座位号是6，小李的座位号是2 （2）20人1.2.2 数轴（暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
理解数轴的概念：掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴。
表示有理数：能在数轴上标出整数、分数、小数等有理数的位置。
比较数的大小：通过数轴上的位置关系，理解有理数的大小比较规则。
应用数轴解决问题：能利用数轴解决简单的实际问题（如距离计算、相反数表示等）。
知识梳理
1. 数轴的定义
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
原点（0点）：数轴的起点，表示数0。
正方向：通常向右为正方向（用箭头表示）。
单位长度：每一格代表相同的长度（如1cm表示1个单位）。
2. 数轴的画法
步骤：
① 画一条水平直线；
② 标出原点（0）；
③ 向右画箭头表示正方向；
④ 从原点开始，向左、右等距标出刻度（如1, 2, 3…和-1, -2, -3…）。
3. 有理数在数轴上的表示
整数：直接在对应刻度上标点（如2在原点右侧第2格）。
分数/小数：先转化为小数，再标出近似位置（如1.5在1和2的正中间）。
负数：标在原点左侧（如-3在原点左侧第3格）。
4. 利用数轴比较大小
规则：数轴上右边的数总比左边的数大。
例：-2 < 1（因为-2在1的左侧）；3.5 > -4。
5. 数轴的应用
表示相反数：关于原点对称的两点（如2和-2）。
计算两点距离：两数之差的绝对值（如|3 - (-1)| = 4）。
小节总结
数轴三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度必须明确。
标数技巧：先找原点，再按单位长度等距标数；分数可先转化为小数。
比较大小：直接观察数轴位置，右大左小。
易错点提醒：
单位长度不统一（如左边1格=1，右边1格=2）；
漏标原点或箭头；
负数位置标反（如-3误标在右侧）。
例题示范
在数轴上标出下列数：-2, 0, 1.5, -3.5。
比较大小：-4.5和-3（利用数轴说明）。
计算数轴上-2和4之间的距离。
答案提示
按单位长度等距标出；1.5在1和2中间，-3.5在-3和-4中间。
-4.5 < -3（因-4.5在-3左侧）。
距离 = |4 - (-2)| = 6。
巩固练习
一、选择题
1．数轴是一条（　　）
A．直线 B．射线 C．线段 D．不能确定
2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
3．在数轴上与原点的距离小于5的点对应的x满足（　　）
A．﹣5＜x＜5 B．x＜5
C．x＜﹣5或x＞5 D．x＞5
4．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是3的点表示的数是（　　）
A．2 B．2或﹣4 C．﹣4 D．±3
5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（　　）
A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C
6．数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（　　）
A．7 B．3 C．-3 D．-2
7．若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足|m|＞1且m＜0，则下列数轴表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，那么a+b　 　0（填“＞”、“＜”或“=”）．
9．在数轴上，若A点表示数x，点B表示数﹣5，A、B两点之间的距离为7，则x=　 　 ．
10．在数轴上表示-4的点位于原点的　 　 边，与原点的距离是　 　 个单位长度．
11．在数轴上将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是　 　．
12．电影哈利波特中，哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头如示意图的站台，构思精妙，给观众留下深刻的印象若、站台分别位于，处，点位于点、之间且，则站台用类似电影的方法可称为　 　 站台．
三、解答题
13．已知M、N是数轴上两点，它们与原点的距离分别2和3，且M在原点左侧，N在原点右侧，试求：
（1）M、N两点间的距离；
（2）写出M、N两点间的所有整数，并求出它们的积．
14．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了3千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，最后回到百货大楼．以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向．
（1）用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；
（2）小明家与小刚家相距　 　km．
参考答案
1．A
2．D
3．A
4．B
5．C
6．C
7．D
8．＜
9．﹣12或2
10．左；4
11．-3
12．或
13．解：（1）∵M在原点左侧，N在原点右侧，它们与原点的距离分别2和3，
∴M、N两点间的距离是5；
（2）∵M在原点左侧，N在原点右侧，它们与原点的距离分别2和3，
∴点M表示﹣2，点N表示3，
∴M、N两点间的所有整数﹣1，0，1，2，
∴它们的积=0．
14．（1）解：如图：
．
（2）6.51.2 有理数及其大小比较
（同步练习）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题
1．零是（　　）
A．正数 B．负数 C．整数 D．分数
2．相反数等于其本身的数是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
3．－3的绝对值是（　　）
A．－3 B．3 C． D．±3
4．如图，检测4个“弗里吉”公仔摆件，其中超过标准高度的厘米数记为正数，不足标准高度的厘米数记为负数．从高矮的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知|m|=3，|n|=5，且m>n，则2m+n的值为（ ）
A．1 B．-11 C．11 D．1或-11
6．如图，数轴上被阴影盖住的点表示的数可能是（　　）
A．3 B．0 C．-1 D．-2
7．若a与5互为相反数，则|a-5|等于（　　）
A．0 B．5 C．10 D．-10
8．2022的相反数是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各图中，符合数轴定义的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的正数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0
11．数轴上与-1相距3个单位长度的点表示的数是（　　）
A．4 B．3 C．-4 D．-4或2
12．下列说法正确的是（　　）
① 正数和负数统称有理数；②正整数和负整数统称为整数；③小数3.14不是分数；④整数和分数统称为有理数；⑤数轴上左边的点表示负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．绝对值最小的整数是　 　
14．-2020的相反数为　 　.
15．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于　 　
16．已知|x|=3，则x的值是　 　．
17．数轴上到原点的距离小于2个单位长度的点中，表示整数的点共有　 　 个．
18．4的相反数是　 　 ．
19．﹣9的绝对值是　 　 ．
20．写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2，3，5整除
　 　 　．
21．如图，数轴上的点P表示的数是-1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，则点P′ 表示的数是　 　 ．
22．把下列各数填在相应的集合里：
+5， － ， －20， 0， 0.74， －1 ， +3， －9.8， 241， 2
正整数集合： ｛　 　｝；
负分数集合：{ 　 　 }.
整数集合： ｛　 　｝；
三、解答题
23．已知，求x，y的值。
24．某天，一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，接着向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场A．
（1）用1厘米表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置；
（2）超市D距离货场A　 　千米；
（3）若货车行驶1千米耗油 升，该天共耗油多少升？（用含 的式子表示）
25．阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得 ， ，称 ，2分别为 与 的零点值在有理数范围内，零点值 ， ，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
① ；② ；③
从而化简代数式 时可分以下3种情况：
①当 时，原式 ；
②当 时，原式 ；
③当 时，原式 ；
综上所述：
原式 ，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当 时， 　 　.
（2）化简代数式：
（3）直接写出 的最大值　 　.
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．B
5．D
6．A
7．C
8．D
9．D
10．B
11．D
12．A
13．0
14．2020
15．1
16．±3
17．5
18．﹣4
19．9
20．﹣30
21．3
22．+5，+3，241；－ ，－1 ，－9.8；+5，-20，0，+3，241
23．x=2，y=-2
24．（1）解：货场A，批发部B，商场C，超市D的位置如图所示：
（2）2
（3）解：∵这辆货车一天所走的路程为2+1.5+5.5+2=11km，
∴本次这辆货车共耗油为11a升．
25．（1）-x+2
（2）解：化简代数式：
分为以下三种情况讨论：
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
综上所述：
原式
（3）21.2.1 有理数的概念
（暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
理解有理数的定义，能判断一个数是否属于有理数。
掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按符号分类）。
会用数轴表示有理数，理解数形结合的思想。
能比较有理数的大小，掌握比较法则。
知识讲解
1. 有理数的定义
定义：可以表示为两个整数之比（即分数形式 ，其中为整数，为非零整数）的数。
示例：
正数：（可写为）、
负数：（即）、
零：（可写为）
2. 有理数的分类
按定义分类：
整数：正整数（如）、零、负整数（如）。
分数：正分数（如）、负分数（如）。
按符号分类：
正有理数、零、负有理数。
3. 数轴与有理数
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
有理数在数轴上的表示：
正数在原点的右侧，负数在左侧。
例如：在原点左2个单位，在原点右1.5个单位。
4. 有理数的大小比较
法则：
正数 > 0 > 负数。
两个正数：绝对值大的数更大。
两个负数：绝对值大的数更小。
示例：
（正数 > 负数）
（，故更小）
知识总结
有理数的本质：所有整数、分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数。
易错点：
无限不循环小数（如）不是有理数。
分数形式的数中，分母不能为零。
核心方法：
比较负数大小时，先比较绝对值，再取相反结论。
画数轴辅助理解有理数的位置和大小关系。
巩固练习
一、选择题
1．在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（　　）
A．0 B．1 C．-2 D．-3.5
2．下列说法，正确的个数是 （　　）
①0既不是正数也不是负数②最大的负整数是－1，最小的正整数是0③整数和分数统称为有理数④－2.5是负分数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法中正确的是（　　）
A．数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2
B．﹣1是最大的负整数
C．任何有理数的绝对值都大于0
D．0是最小的有理数
4．下列说法正确的是（　　）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数和负分数
C．在有理数中，不是负数就是正数
D．零是整数，但不是自然数
5．下列说法正确的是（　　）
A．带有“+”号的数是正数
B．带有“﹣”号的数是负数
C．数轴上的两个点可以表示同一个有理数
D．有理数分为自然数、负整数、分数
二、填空题
6．0与1之间有　 　 个有理数．
7．有理数中，最大的负整数是 　 　
8．在数，﹣1，0，π，﹣4，﹣0.02中，
①正数　 　 ； ②负数　 　 ；③整数　 　 ；④分数　 　 .
9．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是 　 　
10．有理数分为　 　 、　 　 、　　 　 　、　 　 、　 　 ．
11．有理数5，﹣，0，﹣2.9，3.14，﹣2，0.1，10中，分数有　 　 个，整数有　 　 个．
三、解答题
12．若三个互不相等的有理数既可表示为1，a，a+b的形式，又可表示为0，b，的形式，求a，b的值．
13．将下列各有理数按照分类，填入下面对应的大括号内：
整数集合：{__________________…}
负数集合：{__________________…}
分数集合：{__________________…}
14．将有理数－1，0，20，－1.25， ，－12，5分类.
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．无数　
7．-1
8．，π；﹣1，﹣4，﹣0.02；﹣1，0；，﹣4，﹣0.02
9．0
10．正整数　；负整数　；0；正分数　；负分数　
11．5；3
12．解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a=0，会使无意义，∴a≠0，只能a+b=0，即a=﹣b，于是=﹣1．只能是b=1，于是a=﹣1．答：a=﹣1，b=1
13．解：整数集合：{}
负数集合：{}
分数集合：{}.
14．解：如图所示：1.2.3 相反数 （暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
理解相反数的概念：掌握相反数的定义，能识别互为相反数的两个数。
会求一个数的相反数：能根据定义求出任意有理数（包括整数、分数、小数）的相反数。
掌握相反数的性质：理解相反数在数轴上的位置关系，明确“0的相反数是0”这一特例。
应用相反数解决问题：能利用相反数的性质简化运算或解决实际问题。
知识点梳理
1. 相反数的定义
定义：只有符号不同的两个数互为相反数。即若一个数为 ，则它的相反数为 （）。
示例：
5 的相反数是 -5；
-3 的相反数是 3；
0 的相反数是 0（特殊情形）。
2. 相反数的表示方法
在数前加“-”号表示它的相反数。
如：（负负得正）。
3. 相反数的几何意义（数轴上的关系）
互为相反数的两个数在数轴上位于原点（0）的两侧，且到原点的距离相等。
示例：2 和 -2 到原点的距离都是 2 个单位长度。
4. 相反数的性质
性质1：若 和 互为相反数，则 。
性质2：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数。
性质3：多重符号的化简规则：
“+”号可省略（如 ）；
“-”号的个数为偶数时结果为正，奇数时为负（如 ）。
知识点总结
核心要点 说明
相反数的定义 只有符号不同的两个数（0的相反数是本身）。
表示方法 的相反数记为 。
数轴特征 关于原点对称，距离相等。
性质 ① ；② ；③ 0 的相反数是 0。
易错点 注意多重符号的化简（如 ）。
巩固练习
一、选择题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．5
2．一个数的相反数是2，则这个数是（　　）
A． B． C． D．
3．数轴上到原点的距离相等的两点表示的数为（ ）
A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．没有关系
4．如果一个数的相反数是负数，那么这个数一定是(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．正数、负数、零都有可能
5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．下列说法错误的是（　　）.
A． 的相反数是 B． 的相反数是
C． 的相反数是 D． 的相反数是
7．下列各组数中，互为相反数是（　　）
A．3和 B．3和﹣3 C．3和﹣ D．﹣3和﹣
8．下列说法不正确的是（　　）
A．所有的有理数都有相反数
B．正数与负数互为相反数
C．在一个数的前面添上“－”，就得到它的相反数．
D．在数轴上到原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数
9．a－b的相反数是（　　）
A．a＋b B．－(a＋b) C． b－a D．－a－b
二、填空题
10.化简符号： ______。
11.若 和 互为相反数，则 ______。
12．　 　 的相反数是它本身．
13．－2022的相反数是　 　．
14．写出绝对值小于2的一个负数：　 　
15．点A，B表示数轴上互为相反数的两个数，且点A向左平移8个单位长度到达点B，则这两点所表示的数分别是　 　和　 　.
16．如图，数轴的单位长度为1，如果R表示的数是﹣1，则数轴上表示相反数的两点是　 　
解答题
17．已知3m+7与﹣10互为相反数，求m的值.
18．互为相反数的两个数在数轴上的距离是11，你能求出这两个数吗？你能找出在数轴上互为相反数且距离最小的两个数吗？
19．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数，图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是多少？
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．C
10. -8
11.3
12．0
13．2022
14．﹣1，答案不唯一
15．4；-4
16．P，Q
17．解：由3m+7与﹣10互为相反数，得
3m+7+（﹣10）=0.
解得m=1，
m的值为1
18．解：设这两个数为±a，a＞0．
则两个数表示的点之间的距离a﹣（﹣a）=2a，
根据题意，有2a=11，
解得a=5.5．
故这两个数为：±5.5，
在数轴上互为相反数且距离最小的两个数是0．
19．解：（1）因为点A、B表示的数是互为相反数，原点就应该是线段AB的中点，即在C点右边一格，C点表示数﹣1；
（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么原点在线段BD的中点，即C点左边半格，点C表示的数是正数；点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5．1.2.4 绝对值 （暑期预习讲义）
思维导图
学习目标
理解绝对值的几何意义和代数意义
掌握求有理数绝对值的方法
会利用绝对值比较两个负数的大小
培养数形结合思想
知识讲解
一、绝对值的概念
几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
示例：|3|=3（表示3的点到原点距离为3），|-2|=2
代数意义：
正数的绝对值是它本身
负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
公式表示：
二、绝对值的性质
非负性：|a| ≥ 0（任何有理数的绝对值都是非负数）
互为相反数的绝对值相等：|a| = |-a|
示例：|5| = |-5| = 5
三、绝对值与数的大小比较
正数 > 0 > 负数
两个负数比较：绝对值大的反而小
示例：-3和-5比较，∵ |-5|=5 > |-3|=3，∴ -5 < -3
知识点总结
核心要点 关键内容
绝对值的意义 距离（几何）、分类讨论（代数）
求法口诀 "正同负反零不变"
比较负数大小 先求绝对值，再按"绝对值大反而小"判断
易错警示 绝对值结果必为非负；比较时先化简符号
巩固练习
一、选择题
1．如果|x|＝3，那么x的值是 （　　）
A．3 B．-3 C．3或-3 D．3或
2．若a与5互为相反数，则等于（　　）
A．0 B． C．5 D．10
3．下列说法正确的是（　　）
A．任何一个有理数都有它的相反数
B．是最大的负数
C．0是最小的正数
D．绝对值等于它本身的数是正数
4．下列说法不正确的是（　　）
A．-1是绝对值最小的负数 B．0既不是正数，也不是负数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的相反数是0
5．﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B． C．-6 D．
6．下列说法不正确的是 (　　)
A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0
7．下列各式正确的是（　　）
A．﹣32＝（﹣3）2 B．23＝32
C．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3） D．﹣23＝（﹣2）3
8．绝对值不大于11.1的整数有（　　）个。
A．11个 B．12个 C．22个 D．23个
9．峨山县某超市出售真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　）
A．+2 B．-3 C．-1 D．+4
10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b| a的结果是（　　）
A．2a+b B．2a C．a D．b
11．学完有理数后，四只“羊”分别聊了起来.喜羊羊说：“没有最大的正数，但有最大的负数.” 懒羊羊说：“有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数.” 美羊羊说：“有理数分为正有理数和负有 理数.” 沸羊羊说：“相 反数是它本身的数是正数.” 你认为哪只“羊”说得对呢？（　　）
A．喜羊羊 B．懒羊羊 C．美羊羊 D．沸羊羊
二、填空题
12． 的相反数是　 　．
13．如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于　 　．
14．-在数轴上对应的点与它的相反数对应的点之间的距离为　 　 ．
15．已知有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简|b－a|－|a|=　 　.
三、解答题
16．求有理数a和-a的绝对值
17．若x是－3的相反数，|y|＝5，求x＋y的值.
18．已知a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示.
化简：|a|+|b|-|c|+|a-b|-|c-b|.
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．A
5．A
6．B
7．D
8．D
9．C
10．D
11．B
12．-5
13．1
14．7
15．b
16．当a>0时,|a|=a;当a<0时,|a|=-a;当a=0时,|a|=0;当a＞0时,|-a|＝a;当a＜0时,|-a|＝－a ;当a＝0时,|-a|＝0.
17．解：∵x是－3的相反数，|y|＝5，
∴x=3，y=±5
①当x=3，y=5时，x+y=3+5=8；
②当x=3，y=-5时，x+y=3+(-5)=-2
18．解：∵a、b、c在数轴上对应的点如图所示 ：
∴c∴|a|+|b|-|c|+|a-b|-|c-b|
=a-b-(-c)+(a-b)-[-(c-b)]
=a-b+c+a-b-b+c
=2a-3b+2c1.2.1 有理数的概念
（课后练习）
一、选择题
1．在有理数，，，，，，中，负分数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．0是最小的整数
B．最大的负整数是﹣1
C．有理数包括正有理数和负有理数
3．在中，非负数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．正整数和负整数统称整数
B．整数和分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数
D．一个有理数不是正数就是负数
5．0是（　　）
A．正有理数 B．负有理数 C．整数 D．负整数
6．一种“拍7”的游戏规定：把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，那么在1﹣100的自然数中，“明7”和“暗7”共有（　　）
A．22个 B．29个 C．30个 D．31个
8．既是分数又是正有理数的是（　　）
A．+2 B．- C．0 D．2.015
二、填空题
9．在-，3.14，0.161616…，中，分数有　　 　个．
10．把下列各数填在相应的大括号内.
15；0.81；- ，﹣3；﹣3.1；17；0；3.14
正数集合{　 　}；
负数集合{　 　}；
整数集合{　 　}；
分数集合{　 　}；
有理数集合{　 　}.
11．在“喜羊羊与灰太狼”的故事中，“村长”念了这样一道题目：“喜羊羊”表示最小的正整数，“美羊羊”表示绝对值最小的有理数，“懒羊羊”表示最大的负整数，如果把三者加在一起也表示其中一只羊，那么这只羊是：　 　 ．
12．在有理数中，最大的负整数是　 　 　，最小的正整数是　　 　 ，最大的非正数是　　 　 　，最小的非负数是　 　 　，最小的非负数是　　 　 ．
13．有理数包含正数、负数和　　 　 ．
14．大于是﹣3且小于是2的所有整数是　 　
15．既不是真分数，也不是零的有理数是　 　 ．
16．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．
（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，　 　 ，　 　 ；
（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，　 　 ，　 　 ；
（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，　 　 ，　 　 .
三、解答题
17．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2016﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2016}就是一个黄金集合，
（1）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
（2）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
18．依据生活情境回答问题：
（1）当夜空中繁星密布时，小贝贝在数星星，他所用到的数属于什么数？
（2）从一把测量用的刻度尺上可以读出哪几类有理数？
（3）从一支测量气温用的温度计上可以读出哪几类有理数？
19．如图两个圈分别表示整数集合负数集，把下列各数填入表示它所在的数集的圈里，并写出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合．
﹣，0.528，﹣6，280，0，﹣2014，，﹣58，15，﹣7%
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．B
5．C
6．C
8．D
9．4
10．15，0.81，17，3.14；﹣ ，﹣3，﹣3.1；15，17，0；﹣ ，0.81，﹣3.1，3.14；15，﹣ ，0.81，﹣3，﹣3.1，17，0，3.14
11．美羊羊　
12．﹣1；1；0；0；0
13．0
14．﹣2，﹣1，0，1　
15．假分数　
16．1；-1；18；-20；-1；0
17．解：（1）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是﹣2000．
∵2016﹣a中a的值越大，则2016﹣a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2016﹣4016=﹣2000．
（2）该集合共有24个元素．
理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2016﹣a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个．
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2016﹣a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，
∴这个黄金集合中的元素个数为：12×2=24（个）．
18．（1）当夜空中繁星密布时，小贝贝在数星星，他所用到的数属于正整数
（2）从一把测量用的刻度尺上可以读出数有：0，正整数，正分数；
（3）从一支测量气温用的温度计上可以读出的数有：正数，负数，0
19．解：填写如下：1.2.2 数轴
（暑期预习讲义 ）
小思维导图
学习目标
理解数轴的三要素，能正确画出数轴。
能将已知数在数轴上表示出来，并能读出数轴上的点表示的数。
体会数形结合思想，初步感受数与点的对应关系。
知识点梳理
1. 数轴的定义与三要素
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三要素：
原点（0点）：数轴的基准点，表示数0。
正方向：通常向右为正方向（用箭头表示）。
单位长度：根据实际需要选取，长度必须统一。
2. 数轴的画法步骤
① 画一条水平直线；
② 标出原点（通常居中）；
③ 规定向右为正方向，画箭头；
④ 选取适当长度为单位长度，标出刻度（如1cm表示1个单位）。
3. 用数轴表示数
整数/分数表示：在对应刻度上描点，如+3在原点右侧第3个单位长度处。
负数表示：在原点左侧描点，如-2在原点左侧第2个单位长度处。
注意：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定表示有理数（后续学习）。
4. 数轴上的数的大小关系
数轴上，右边的点表示的数总比左边的大（如2 > -1）。
负数比较：离原点越远，数值越小（如-3 < -1）。
知识点总结
数轴三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度共同确定数轴。
数与点的对应：每个数对应数轴上唯一一个点，但数轴上的点不一定对应有理数（如√2暂不涉及）。
数形结合应用：通过数轴直观比较数的大小，理解相反数（对称点）等概念（为后续学习铺垫）。
易错提醒
单位长度不统一（如左右刻度不一致）。
漏标原点或正方向箭头。
负数位置错误（如将-1.5标在-1和-2正中间）。
巩固练习
一、选择题
1．若数轴上点A表示的数是﹣3，则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是（　　）
A．±5 B．±1 C．1或5 D．﹣1或﹣5
2．如图，有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则 的结果是（　　）
A． B． C．0 D．1
3．下列说法，其中正确的个数为（　　）
①正数和负数统称为有理数；②一个有理数不是整数就是分数；③有最小的负数，没有最大的正数；④符号相反的两个数互为相反数；⑤﹣a一定在原点的左边．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，数轴上的点P，O，Q，R，S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距P站点3km，距Q站点0.7km，则这辆公交车的位置在 （　　）
A．R站点与S站点之间 B．P站点与O站点之间
C．O站点与Q站点之间 D．Q站点与R站点之间
5．数轴上的点A表示﹣2，将点A向左平移5个单位后，再向右平移3个单位到点B，那么，点B表示的数是（　　）
A．0 B．6 C．-10 D．-4
6．下列数轴画正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．在数轴上，若点 表示 ，则距 点三个单位长度的点表示的数是　 　.
8．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为　 　
三、解答题
9．某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？
10．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．
（1）填空：AB 等于多少，BC等于多少；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
参考答案
1．D
2．A
3．A
4．D
5．D
6．C
7．-5或1
8．
9．解：（1）如图所示：
；
（2）150+200=350（米）；
（3）体育场所在点所表示的数是100﹣210=﹣110．
10．解：（1）由图象可知AB=（﹣10）﹣（﹣24）=14，BC=10﹣（﹣10）=20．
故答案为14、20．
（2）设运动时间为t秒．
∵BC﹣AB=（20+7t﹣3t）﹣（14+t+3t）=20+4t﹣14﹣4t=6
∴BC﹣AB的值与时间t无关
∴BC﹣AB的值不随时间的变化而变化．1.2.4 绝对值
（同步练习）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题
1．下列各数中，表示3的相反数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，检测4个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度，下列最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．0既不是整数也不是分数 B．绝对值等于本身的数是0和1
C．一个数的绝对值一定是正数 D．整数和分数统称有理数
4．下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③绝对值等于它本身的数是正数；④绝对值最小的有理数是0；⑤任何一个有理数都可以用数轴上的一点来表示；⑥绝对值相等的两个数相等．
其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知，则方程的解为（　　）
A． B． C． D．
6．一个数x 在数轴上的位置如图所示，则（　　）
A．｜x ｜＜－1 B．｜x｜＜0 C．｜x ｜＞1 D．｜x｜＝0
7．下列各组数中，互为相反数的是
A．与 B．与 C．与 D．与
8．如果a与－1互为相反数，则|a+2|等于（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
9．下列说法正确的个数是（　　）
①是绝对值最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数；
③数轴上原点两侧的数互为相反数； ④两个数比较，绝对值大的反而小；
⑤一个有理数不是整数就是分数； ⑥相反数大于本身的数是负数．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（　　）
A．零 B．非负数 C．正数 D．非正数
11．如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（　　）
A．a、b互为相反数 B．a=b=0
C．a和b符号相反 D．a，b的值不存在
12．下列代数式中，值一定是正数的是（　　）
A．+m B．﹣m C．|m| D．|m|+1
13．若 =-a，则 a 是 （　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．负数或0
二、填空题
14．若、互为相反数，则　 　 ．
15．绝对值小于且不小于2的负整数有　 　．
16．－5的相反数是　 　；－5的绝对值是　 　.
17． =（　 　）
18．若|x|＝x，则x的取值范围是　 　．
19．已知，且，则．
三、解答题
20．若|3a—1|+|b—2|=0，求a+b的值。
21．有理数a，b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简下列算式：|a|+|b|+|a+b|+|b-a|.
22．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
（1）当时，求的值．
（2）当时，求的值．
（3）若有理数均不等于零，试求的值．
23．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求____________；
（2）同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________
（3）类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
24．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：
（1）数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____；
（3）若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
25．【阅读理解】
的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1
如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1
所以到1和2的距离之和最小值是1
【问题解决】
（1）类比得出的最小值是________
（2）请你结合图④探究：的最小值是________，此时为________；的最小值为________．
（3）如图⑤，已知整数到，2的距离之和小于4，写出的所有可能取值，并求出它们的和为多少？
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．B
5．C
6．C
7．A
8．C
9．C
10．B
11．B
12．D
13．D
14．5
15．
16．5；5
17．8
18．x≥0
19．
20．
21．解：根据数轴上点的位置得：b＜0，a＞0且|a|＜|b|，
可得a+b＜0，b﹣a＜0，
∴|a|+|b|+|a+b|+|b-a|=a-b-(a+b)-(b﹣a)= a-b-a-b-b+a
=a-3b.
22．（1）1
（2）
（3）2或0或
23．（1）7
（2）
（3）
（4）3
24．（1）4，
（2）或
（3）有最小值，6
25．（1）3
（2）2；2；9
（3）1.2.3 相反数
（讲义）
思维导图
学习目标
理解相反数的概念：能说出相反数的意义，知道互为相反数的两个数在符号上的特点。
会求一个数的相反数：能正确求出任意一个有理数的相反数。
能正确表示一个数的相反数：掌握用符号表示一个数的相反数的方法。
理解互为相反数的两个数在数轴上的位置关系：知道互为相反数的两个数（除0外）在数轴上分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
知识讲解
一、 相反数的引入
在生活中，我们常常会遇到具有相反意义的量。例如：
小明向东走5米，小红向西走5米。
超市盈利1000元，亏损1000元。
温度计零上5℃和零下5℃。
为了表示这些相反意义的量，我们引入了正数和负数。那么，像+5和-5，+1000和-1000，+3和-3这样的数之间有什么特殊的关系呢？
二、 相反数的定义
代数意义： 只有符号不同的两个数互为相反数。
关键词：“只有符号不同”、“互为”。
“只有符号不同”：指这两个数除了前面的“+”号和“-”号不同之外，数字部分完全相同。
“互为”：说明相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，应该说某个数是另一个数的相反数。
特别规定：0的相反数是0。
例如：
+5的相反数是-5；
-3的相反数是+3（或3）；
0的相反数是0。
几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
这意味着，从原点出发，向左走a个单位长度到达的点表示的数，与向右走a个单位长度到达的点表示的数互为相反数。
例如：在数轴上，+2和-2这两个点，分别在原点的右侧和左侧，并且到原点的距离都是2个单位长度，所以它们互为相反数。
三、 如何表示一个数的相反数
一般地，我们在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数。
若这个数用字母a表示，则a的相反数是 -a。
理解与举例：
数5的相反数，在5前面添上“-”号，就是-5。
数-7的相反数，在-7前面添上“-”号，就是-(-7) = 7。（负负得正）
数a的相反数是 -a。这里的a可以是正数、负数或0。
当a = +3时，-a = -3；
当a = -4时，-a = -(-4) = 4；
当a = 0时，-a = -0 = 0。
重要提示：
“-a”读作“a的相反数”，它不一定是负数。例如，当a是负数时，-a就是正数。
不要把“-a”理解为“负a”，它表示的是a的相反数。
四、 求一个数的相反数
求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“-”号即可（若原数已有符号，则相当于改变其符号）。
例如：
求+8的相反数：-(+8) = -8
求-6的相反数：-(-6) = 6
求0的相反数：-0 = 0
总结：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是它本身。
知识点总结
相反数的代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。
相反数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称（位于原点两侧，且到原点距离相等）。
相反数的表示：数a的相反数是 -a。
求一个数的相反数的方法：在这个数的前面添上“-”号。若原数是负数，添上“-”号后可化简（如 -(-5) = 5）。
性质：
互为相反数的两个数，它们的和为0。即：若a与b互为相反数，则 a + b = 0。反之，若a + b = 0，则a与b互为相反数。（此条可作为补充理解，有助于后续学习）
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
巩固练习
一、选择题
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2022 D．
2．如果x＋y=0，那么x，y两个数一定是（　　）
A．x=y=0 B．一正一负
C．x与y互为相反数 D．x与y互为倒数
3．如图，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的两个数互为相反数，那么点A表示的数是（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
4．若有理数a与3互为相反数，则a的值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．-
5．如图，点O为数轴原点，则数轴上表示互为相反数的点是（　　）
A．点A和点C B．点C和点D C．点A和点D D．点B和点D
6．下列语句：
①正数与负数互为相反数；
②任何有理数都有相反数；
③一个数的相反数一定是负数，
正确的个数有（　　）
A．0 个 B．1个 C．2 个 D．3个
7．4的相反数是（　　）
A．-4 B．4 C． D．-
8．a表示有理数，则﹣a一定是（　　）
A．负数 B．正数 C．正数或负数 D．以上都不对
9．数a的相反数是b，下列结论错误的是（　　）
A．a=-b B．a+b=0
C．a和b都是正数 D．a和b可同时为零
10．下列说法正确的是（　　）
A．符号不相同的两个数互为相反数
B．1.5的相反数是
C．的相反数是-3.14
D．互为相反数的两个数必然一个是正数，一个是负数
二、填空题
11．2015的相反数为 　 　
12．　 　 的相反数是－0.7，1的相反数　　 　 ，0的相反数是　　 　 ．
13．若a=﹣10，那么﹣a=　 　
14．﹣2的相反数是　 　
15．互为相反数的两数在数轴上的两点间的距离为11，这两个数为　 　 ．
16．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示﹣2的相反数的点是　 　 ．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．B
5．B
6．B
7．A
8．D
9．C
10．B
11．﹣2015
12．0.7；－1；0
13．10
14．2
15．5.5与－5.5
16．B1.2.2 数轴
（讲义）
思维导图
学习目标
了解数轴的概念，知道数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）。
会正确画出数轴。
能将已知的有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的有理数。
初步体会数形结合的思想。
能利用数轴比较有理数的大小。
知识讲解
一、 数轴的定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
二、 数轴的三要素 (缺一不可)：
原点： 在直线上取一个点表示数 0，这个点叫做原点。
正方向： 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，用箭头表示。
单位长度： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1, 2, 3, ...；从原点向左，用类似方法依次表示 -1, -2, -3, ...。
三、 数轴的画法：
画直线： 画一条水平的直线（一般画成水平的）。
定原点： 在直线上选取一点作为原点，并用这点表示数字 0。
规定正方向： 通常规定向右为正方向，在原点右边画上箭头。
选取单位长度： 根据需要，选取适当的长度作为单位长度。从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上 1, 2, 3, ...；从原点向左，依次标上 -1, -2, -3, ...。
注意：单位长度的选取要统一，根据所表示数的大小合理选择。
四、 用数轴表示有理数：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
正数在原点的右边，负数在原点的左边，0 用原点表示。
例如：在数轴上表示 +3 的点在原点右边 3 个单位长度处；表示 -2 的点在原点左边 2 个单位长度处。
数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
五、 利用数轴比较有理数的大小：
法则： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
结论：
正数都大于 0。
负数都小于 0。
正数大于一切负数。
知识点总结
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线。 (三要素要牢记)
画数轴时，三要素缺一不可，单位长度要统一。
所有有理数都可以用数轴上的点表示。 (数形结合的开始)
数轴上点的位置与数的大小关系：右大左小。
比较大小的方法：正数 > 0 > 负数；数轴上右边的数 > 左边的数。
巩固练习
一、选择题
1．一个点在数轴的正半轴上，且距离原点3个单位长度，这个点表示的数是（　　）
A．3 B． C．3或 D．2
2．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定；每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2023秒时所对应的数是（　　）
A． B． C． D．
5．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　）
A．5+3=8 B．﹣5+3=﹣2 C．5﹣3=2 D．﹣5﹣3=﹣8
6．如图，四个选项中正确的是（　　）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣1 C．a＞b D．b＞2
7．在数轴上，把表示的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（　　）
A．5 B． C． D．5或
8．数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（　　）
A．4 B．-4 C．4或﹣4 D．2或﹣2
二、填空题
9．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则　 　，　 　.
10．若数轴上表示2的点为M，那么在数轴上与点M相距4个单位的点所对应的数是　 　．
11．数轴上与原点距离是5的点有　 　 个，表示的数是　 　 ．
12．在数轴上点P表示的数是-1，则与P点距离5个长度单位表示的数是　 　.
13．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点．现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样，
（1）移动1次后该点到原点的距离为　 　 单位长度；
（2）移动2次后该点，到原点的距离为　 　 个单位长度；
（3）移动3次后该点到原点的距离为　 　 个单位长度；
（4）试问移动n次后该点到原点的距离为　 　 个单位长度
14．在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点
（1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是　 　，则点N表示的数是　 　（用含x的代数式表示），并计算线段MN的长；
（2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长　 　．
15．数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点共有　 　个．
16．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
操作一：
（1）折叠纸面，使表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　 　 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　 　 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是　 　 ．
三、解答题
17．问题探究：
（1）如图①，将两根长度为6的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____；
（2）如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为_____；
（3）在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是_____．
18．如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8．
（1）线段AB的长为 ；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ；
②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度．
19．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．
（1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
20．如图，指出数轴上的点A、B、C所表示的数，并把﹣4，，6这三个数用点D、E、F分别在数轴上表示出来．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．B
5．B
6．A
7．D
8．C
9．5；
10．﹣2或6
11．2；5或-5
12．4或-6
13．1；2；4；
14．；；5
15．5
16．3；﹣3　；﹣4.5，6.5
17．（1）8，14
（2）8
（3）或30
18．（1）10；（2）①t ，10－t，﹣2+t ；②MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5．
19．（1）
（2）当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有
（3）①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、；
20．解：由数轴可得，点点A、B、C所表示的数分别是：﹣2.5、0、4；
﹣4，，6这三个数用点D、E、F分别在数轴上表示如下所示，

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