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专题2 用字母表示数（解决问题讲义）
类型1 用字母表示简单数量关系
典型例题1：
李师傅要加工450个玩具，他已经加工了5天，平均每天加工a个，请用含有字母的式子表示李师傅还未加工的玩具个数。当a＝68时，还剩多少个玩具未加工？
思路分析： 用已经加工的天数乘平均每天加工的个数，求出5天一共加工的个数，即5a个，用李师傅要加工玩具的总个数减去5天一共加工的个数，即可求出李师傅还未加工的玩具个数。当a＝68时，算式变为450－5×68，据此解答即可。
答题区：
变式训练：
河北某公司开展“异地带货”助农项目，帮助阜城地区群众致富。一盒绿壳鸡蛋a元，一盒乌鸡蛋的价格比一盒绿壳鸡蛋多19元。
（1）一盒乌鸡蛋的价格是（ ）元。
（2）当a＝28时，5盒乌鸡蛋的价格是多少元？
类型2 用字母表示复杂数量关系
典型例题2：
小军在去儿童乐园的路上，上坡用了6分钟，平均每分钟走a米；下坡用了4分钟，平均每分钟走b米。
（1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米。
（2）当a＝50，b＝60时，小军一共走了多少米？
思路分析： 根据：路程＝速度×时间，进行计算。
（1）上坡用得时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡的速度＝小军走的总路程
（2）把a，b的值代入到算式中计算出结果即可。
答题区：
变式训练：
为了增强学生体质，愉悦学生心灵，阳信县实施了“阳光大课间”活动。学校准备为学生们购买150根跳绳，每根跳绳b元。王老师用微信支付。
（1）微信钱包有a元，付款后还剩多少元？（用含有字母的式子表示出来）
（2）若a＝1500，b＝9，付款后还剩多少元？
类型3 用字母表示计算公式
典型例题3：
下图是果园平面图。
（1）苹果园和梨园的面积一共是多少平方米？（用含有字母的式子表示）
（2）当a＝30时，苹果园和梨园的面积一共是多少平方米？
思路分析：（1）由图可知，苹果园和梨园组成了一个大长方形。大长方形的长是（a＋30）米，宽是18米，那么直接用乘法即可算出苹果园和梨园一共的面积。然后利用乘法分配律可以将式子化简。
（2）当a＝30时，直接将数据代入即可算出苹果园和梨园的面积一共是多少平方米。
答题区：
变式训练：
中国传统书画作品擅长将书法和绘画结合，而自古就有书画同源的说法。图中左侧区域为绘画作品，右侧为书法作品。
（1）书画作品的面积是多少平方厘米？
（2）当a＝55时，书画作品的面积是多少平方厘米？
1．小红今年a岁，小玲今年（a－6）岁。去年她们相差（ ）岁。
A．1 B．5 C．6 D．a－7
2．一个商店运来200台洗衣机，每台元，一共用了（ ）元。
A． B． C． D．
3．长方形的周长b厘米，长是a厘米，宽是（ ）厘米。
A．b－2a B．（b－a）÷2 C．b÷2－a D．b－a
4．妈妈去超市购物，微信的钱包余额为m元，买了6个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，微信钱包里还剩（ ）元。
A．m－n B．6n C．m－6n D．6（m－n）
5．两个边长是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。
A．a2 B．2a2 C．4a D．4a2
6．小明每天看12页书，看了a天，还剩b页未看，这本书共有（ ）页。
7．下图中，正方形乙的周长是（ ）。长方形甲的面积是（ ），当a＝3cm，b＝2cm时，它的面积是（ ）cm2。
8．“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中的“仞”是指古代的一种长度单位，一仞约是现在的185厘米，那么a仞约是（ ）厘米；当时，a仞约是（ ）厘米。
9．为了提高小学生身体素质，学校开展了跳绳训练课。原来小凯每分钟只能跳a个，经训练之后，他现在每分钟跳的个数比原来的2倍还多8个。现在小凯每分钟能跳（ ）个，若原来小凯能跳67个，现在小凯能跳（ ）个。
10．学校买来10个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元，共用去（ ）元钱。如果a＝45，b＝15，那么共用去（ ）元钱。
11．一辆卡车每小时耗油7升，开始行驶时油箱里有52升油。
（1）用含有字母的式子表示行驶t小时后油箱中剩余的油量。
（2）求出5小时后油箱中剩余的油量。
12．小军上山用了5分钟，平均每分钟走a米；下山用了3分钟，平均每分钟走b米。
（1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米？
（2）当a＝30米，b＝40米时，小军一共走了多少米？
13．“六一”儿童节期间，同学们自愿募捐书籍，其中科技书有a本，故事书比科技书的3倍少26本。
（1）用含有字母的式子表示出故事书的本数。
（2）当a＝125时，故事书有多少本？
14．青岛国际啤酒节始创于1991年，是融旅游、文化、体育、经贸于一体的大型节庆活动。青岛国际啤酒节的门票价格为A区280元，B区180元，C区80元。某旅行团买了张A区门票和张B区门票。
（1）用含有字母的式子表示该旅行团购买门票一共花费的钱数。
（2）当，时，一共需要多少元？
15．为保障“阳光体育”运动的开展，学校计划购买m个篮球和n个排球。篮球每个80元，排球每个60元。
（1）用含有字母的式子表示购买篮球和排球的总费用。当m＝40，n＝20时，一共花了多少元？
（2）当m＞n时，用含有字母的式子表示购买篮球比购买排球多花的费用。
16．无人机除了可用于航拍外，还可以用于农业生产，无人机飞行时产生的强劲风力可以将农药充分喷洒到农作物的叶片背面和根部。一架新型的无人机每小时喷洒农药a亩，每亩的药量仅需800毫升，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时。
（1）用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药多少亩？
（2）如果a＝66亩，t＝5小时，这架无人机一天喷洒农药多少亩？
17．下面是李明的一篇日记。
2024年10月21日 星期一 晴 今天我读到一篇文章，文章中说：“一位物理学家发现蟋蟀鸣叫的次数与温度有很大关系，当温度在7℃～32℃时，用蟋蟀每分钟鸣叫的次数先减40，再除以7，最后加上10，就是当时的摄氏温度”。读到这里，我按照上面的发现举例试了试，如果温度是21℃，蟋蟀每分钟应该鸣叫117次。 我想，如果把蟋蟀的鸣叫声看成是大自然中的音乐，那大自然中的音乐和数学还有联系呢，这可真有意思！
（1）用T表示蟋蟀每分钟鸣叫的次数，C表示摄氏温度，T表示蟋蟀每分钟鸣叫的次数。请你写出一个含有字母的式子，表示温度在7℃～32℃时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数与摄氏温度的关系。
（2）日记中画线部分是李明举的例子，他的举例正确吗？请说明理由。
18．下图是由宽为a厘米的4个完全一样的长方形拼成的大长方形。
（1）用含有字母的式子表示出这个大长方形的周长和面积。
（2）当a＝4时，这个大长方形的周长和面积分别是多少？
19．电动汽车是一种以电力驱动的车辆，具有环保、低噪、高效的特点。工程师要对一辆电动汽车做加速测试，该汽车以18米/秒的速度匀速行驶一段距离后，每秒速度增加2米，直到速度达到40米/秒。
（1）用式子表示出m秒后该汽车的速度（m为大于零的整数）。
（2）这里的m能表示哪些数？
（3）当m＝6时，该汽车的速度是多少米/秒？
答案解析
类型1 答案解析
典型例题1：
答题区：5天一共加工的个数：5a个
未加工的玩具个数：（450－5a）个
当a＝68时，
450－5×68
＝450－340
＝110（个）
答：李师傅还未加工的玩具个数为（450－5a）个。当a＝68时，还剩110个玩具未加工。
变式训练答案：
【答案】（1）a＋19
（2）235元
【解析】（1）根据分析可知，一盒乌鸡蛋价钱是：（a＋19）元；
（2）当a＝28元，一盒乌鸡蛋的价格是：（元）
（元）
答：5盒乌鸡蛋的价格是235元。
类型2 答案解析
典型例题2：
答题区：（1）（6a＋4b）米
用含有字母的式子表示小军一共走了（6a＋4b）米。
（2）当a＝50，b＝60时
6a＋4b
＝6×50＋4×60
＝300＋240
＝540（米）
答：小军一共走了540米。
变式训练答案：
【答案】（1）（a － 150b）元；（2）150元
【解析】（1）a－150×b＝（a － 150b）元
答：付款后还剩（a － 150b）元；
（2）若a＝1500，b＝9
a － 150b
＝1500－150×9
＝1500－1350
＝150
答：若a＝1500，b＝9，付款后还剩150元。
类型3 答案解析
典型例题3：
答题区：（1）18×（a＋20）
＝18×a＋18×20
＝（18a＋360）平方米
答：苹果园和梨园的面积一共是（18a＋360）平方米。
（2）当a＝30时，18×a＋360
＝18×30＋360
＝540＋360
＝900（平方米）
答：当a＝30时，苹果园和梨园的面积一共是900平方米。
变式训练答案：
【答案】（1）110a平方厘米
（2）6050平方厘米
【解析】（1）（27＋83）×a＝110×a＝110a（平方厘米）
答：书画作品的面积是110a平方厘米。
（2）当a＝55时，110a＝110×55＝6050（平方厘米）
答：当a＝55时，书画作品的面积是6050平方厘米。
1．C
【分析】年龄差每年保持不变的。根据题意，用小红今年的年龄减小玲今年的年龄即是她们相差的年龄。据此解答。
【解答】a－（a－6）
＝a－a ＋6
＝6（岁）
则去年她们相差6岁。
故答案为：C
2．A
【分析】根据“单价×数量＝总价”，代入数据解答即可。
【解答】x×200＝200x（元）
所以一共用了200x元。
故答案为：A
3．C
【分析】根据长方形的周长计算公式，长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知长方形的周长，除以2，得到的就是长和宽的和，据此解答。
【解答】根据分析：长方形的周长b厘米，长是a厘米，宽是（b÷2－a）厘米。
故答案为：C
4．C
【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出买6个玻璃杯需要的钱数，再用微信的钱包余额减去花的钱数，即是微信钱包里还剩下的钱数。
【解答】m－6×n＝（m－6n）（元）
微信钱包里还剩（m－6n）元。
故答案为：C
5．B
【分析】用两个边长a厘米的正方形拼成一个长方形，拼成后的长方形的长为a＋a＝2a（厘米），宽为a厘米，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据，求出这个长方形的面积即可。
【解答】拼成的长方形的长是：a＋a＝2a（厘米）
拼成的长方形的宽是：a厘米
2a×a＝（平方厘米）
则两个边长是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（）平方厘米。
故答案为：B
6．12a＋b/b＋12a
【分析】根据题意，小明每天看12页书，看了a天，还剩b页未看，先用12乘a，计算出已经看的页数，再加上b，就是这本书的总页数；以此答题即可。
【解答】根据分析可知：
12×a＋b＝（12a＋b）页
小明每天看12页书，看了a天，还剩b页未看，这本书共有（12a＋b）页。
7．4m/4米 ab 6
【分析】正方形的周长＝边长×4，乙的边长为m，所以乙的周长是m×4＝4m；长方形的面积＝长×宽，甲的长为a，宽为b，所以甲的面积是a×b＝ab，当a＝3cm，b＝2cm时，它的面积是3×2＝6（cm2），据此即可解答。
【解答】m×4＝4m
a×b＝ab
3×2＝6（cm2）
所以，图中，正方形乙的周长是4m。长方形甲的面积是ab，当a＝3cm，b＝2cm时，它的面积是6cm2。
8．185a 555
【分析】已知一仞约是185厘米，那么a仞的长度就是a个185厘米，根据乘法的意义，用乘法计算。
当a＝3时，把a＝3代入185a中，计算出结果即可。
【解答】185×a＝185a（厘米）
185×3＝555（厘米）
所以，一仞约是现在的185厘米，那么a仞约是185a厘米；当时，a仞约是555厘米。
9．2a＋8 142
【分析】先根据题目所给的数量关系得出现在每分钟跳绳个数的表达式，再将原来跳绳个数的值代入表达式求出现在具体跳绳个数。已知原来小凯每分钟跳a个，现在每分钟跳的个数比原来的2倍还多8个。把a＝67代入2a＋8中，算出结果。
【解答】原来的2倍就是2×a＝2a个，再多8个，所以现在小凯每分钟能跳（2a＋8）个。
当a＝67时：
2×67＋8
＝134＋8
＝142（个）
所以，现在小凯每分钟能跳2a＋8个，若原来小凯能跳67个，现在小凯能跳142个。
10．（10a＋58b） 1320
【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出买10个足球的钱数和篮球的钱数，再把买足球的钱数与买篮球的钱数相加，即可求出共用去的钱数；再把a＝45，b＝15，代入到求出的算式中，即可解答。
【解答】a×10＋b×58
＝（10a＋58b）元
当a＝45，b＝15时，
10a＋58b
＝10×45＋58×15
＝450＋870
＝1320（元）
学校买来10个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元，共用去（10a＋58b）元钱。如果a＝45，b＝15，那么共用去1320元钱。
11．（1）52－7t
（2）17升
【分析】（1）每小时耗油量×时间＝耗油量，再用总油量－耗油量＝油箱中的余油量。先用字母表示出总耗油量，再从总量中减去已耗油量得到剩余的油量的字母表示。
（2）把t＝5代入式子里，计算出剩余的油量即可。
【解答】（1）答：行驶t小时后油箱中剩余的油量是（52－7t）升。
（2）52－7×5
＝52－35
＝17（升）
答：5小时后油箱中剩余的油量是17升。
12．（1）（5a＋3b）米；（2）270米
【分析】（1）路程＝速度×时间。由题意得，小军上山用了5分钟，平均每分钟走a米；下山用了3分钟，平均每分钟走b米。可以用上山和下山的速度分别乘上对应的时间算出上山和下山的路程，然后再把得数加起来即可算出小军一共走了多少米。
（2）由（1）可得表示小军一共走了多少米的式子，然后把a＝30米，b＝40米代入计算即可解答。
【解答】（1）5×a＋3×b＝（5a＋3b）（米）
答：小军一共走（5a＋3b）米。
（2）当a＝30米，b＝40米时，
5a＋3b
＝5×30＋3×40
＝150＋120
＝270（米）
答：小军一共走270米。
13．（1）（3a－26）本
（2）349本
【分析】（1）有科技书a本，故事书比科技书的3倍少26本，用a乘3减26，即故事书有（3a－26）本；
（2）把a＝125代入含有字母a的表示故事书的本数的式子，计算即可。
【解答】（1）故事书：（3a－26）本
（2）125×3－26
＝375－26
＝349（本）
答：故事书有349本。
14．（1）280x＋180y元
（2）3840元
【分析】（1）根据题意可知，明确总价＝单价×数量，青岛国际啤酒节的门票价格为A区280元，B区180元，C区80元。某旅行团买了x张A区门票和y张B区门票。用280乘x，求出A区的总票价，用180乘y，求出B区的总票价，再把两个票价相加，依此列式即可。
（2）当x＝6，y＝12时，分别将它们代入第1小问中的算式计算出结果即可。
【解答】根据分析可知：
（1）280×x＋180×y＝280x＋180y（元）
答：用含有字母的式子表示该旅行团购买门票一共花费的钱数是280x＋180y元。
（2）x＝6，y＝12
280x＋180y
＝280×6＋180×12
＝1680＋2160
＝3840（元）
答：一共需要3840元。
15．（1）（80m＋60n）元；4400元
（2）（80m－60n）元
【分析】（1）根据总价＝单价×数量，用每个篮球的单价乘购买的数量，求出购买篮球需要的钱数，用每个排球的单价乘购买的数量，求出购买排球需要的钱数，再把购买篮球需要的钱数和购买排球需要的钱数相加，即可求出总费用，据此列式解答即可；当m＝40，n＝20时，将m和n的值分别代入算式，即可求出一共花了多少元；
（2）求购买篮球比购买排球多花的费用，用购买篮球需要的钱数减去购买排球需要的钱数，即可解答。
【解答】（1）80×m＋60×n
＝80m＋60×n
＝（80m＋60n）元
当m＝40，n＝20时，
80×40＋60×20
＝3200＋60×20
＝3200＋1200
＝4400（元）
答：一共花了4400元。
（2）80×m－60×n
＝80m－60×n
＝（80m－60n）元
答：购买篮球比购买排球多花（80m－60n）元。
16．（1）亩或（3＋t）a亩
（2）528亩
【分析】（1）根据题意，用上午和下午各喷洒的小时数分别乘无人机每小时喷洒农药的亩数a亩，得到上午和下午分别喷洒的亩数，再相加；也可以先把上午和下午喷洒农药的小时数相加，得到一天喷洒农药的小时数，再乘每小时喷洒的亩数a亩。
（2）把a＝66亩，t＝5小时代入字母式子中，计算出结果即可。据此解答。
【解答】（1）根据分析可知：
用含有字母的式子表示出这架无人机一天喷洒农药的亩数是：（3a＋at）亩或（3＋t）a亩。
（2）把a＝66亩，t＝5小时代入字母式子中，得
3a＋at
＝3×66＋66×5
＝198＋330
＝528（亩）
或（3＋t）a
＝（3＋5）×66
＝8×66
＝528（亩）
答：这架无人机一天喷洒农药528亩。
17．（1）C＝（T－40）÷7＋10
（2）正确，理由见详解
【分析】（1）当温度在7℃～32℃时，用蟋蟀每分钟鸣叫的次数先减40，再除以7，最后加上10，就是当时的摄氏温度，据此用含有字母的式子写出；
（2）根据物理学家的发现，用李明举出的例子，代入数据计算，据此说明是否正确。
【解答】（1）根据分析：C＝（T－40）÷7＋10
（2）根据题意可知：当T＝117次，此时（117－40）÷7＋10
＝77÷7＋10
＝11＋10
＝21（℃）
所以举例正确。
18．（1）周长：14a厘米；面积：12a2平方厘米
（2）周长：56厘米；面积：192平方厘米
【分析】由题图可知小长方形的长是宽的3倍，宽为a厘米，那么长为3a厘米；则大长方形的长为4a厘米，宽为3a厘米；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，据此可得出用字母表示的大长方形的周长和面积；然后将a＝4代入，据此可求出此时大长方形的周长和面积。
【解答】（1）周长：
（3a＋4a）×2
＝7a×2
＝14a（厘米）
面积：3a×4a＝12a2（平方厘米）
答；这个大长方形的周长为14a厘米，面积为12a2平方厘米。
（2）a＝4时
周长：14×4＝56（厘米）
面积：12×4×4
＝48×4
＝192（平方厘米）
答：这个大长方形的周长为56厘米，面积为192平方厘米。
19．（1）（18＋2m）米/秒
（2）m能表示的数字为1~11
（3）30米/秒
【分析】（1）根据题意，汽车首先以18米/秒的速度匀速行驶，后面每秒速度增加2米，则1秒增加2米，此时汽车的速度为（18＋2）米/秒，2秒增加2×2＝4米，此时汽车的速度为（18＋4）米/秒，3秒增加2×3＝6米，此时汽车的速度为（18＋6）米/秒，即m秒后汽车速度增加了2m米，此时汽车的速度为（18＋2m）米/秒，据此解答。
（2）因为汽车速度只能加到40米/秒，则用这个速度减去原始的18米/秒的速度，再除以2，看看刚好几秒后可以加到40米/秒，据此解答。
（3）把m＝6代进式子18＋2m中，求出该汽车的速度即可。
【解答】（1）当m＝1时，该汽车速度为：
18＋1×2
＝18＋2
＝20（米/秒）
当m＝2时，该汽车速度为：
18＋2×2
＝18＋4
＝22（米/秒）
当m＝3时，该汽车速度为：
18＋3×2
＝18＋6
＝24（米/秒）
即用m表示该汽车的速度为（18＋2m）米/秒。
答：m秒后该汽车的速度为（18＋2m）米/秒。
（2）（40－18）÷2
＝22÷2
＝11（秒）
即汽车的速度到40米/秒时，此时加到了11秒，11秒后汽车速度不变。
答：m能表示的数字为1~11。
（3）当m＝6时，汽车速度为：
18＋6×2
＝18＋12
＝30（米/秒）
答：当m＝6时，该汽车的速度是30米/秒。

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