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第15章　轴对称图形与等腰三角形
15.1　轴对称图形
第1课时　轴对称图形
◇教学目标◇
1.初步认识轴对称图形，能找出轴对称图形的对称轴.
2.能够识别生活中的轴对称图形及其对称轴.
3.让学生体会数学与生活的密切联系，发展学生的空间观念和审美观.
4.通过观察、思考和动手操作，培养学生多种能力，渗透美的教育.
◇教学重难点◇
教学重点
理解轴对称图形的概念及性质，会找对称轴.
教学难点
准确找全对称轴.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察这些图形有什么特点？
二、合作探究
1.轴对称图形和对称轴的定义
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
2.巩固概念
探究点1　轴对称图形
典例1　判断下面的图形是不是轴对称图形？为什么？
［解析］　（1）（2）（3）是轴对称图形；（4）不是轴对称图形，无论怎样折，两侧都不能完全重合.
探究点2　对称轴的确定
典例2　观察下列几何图形，哪些是轴对称图形？画出它们的对称轴，并在（　　）里写明有几条对称轴.
［解析］　①任意三角形不是轴对称图形；
②等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴；
③任意梯形不是轴对称图形；
④正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
⑤平行四边形不是轴对称图形；
⑥长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
⑦圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
⑧等腰梯形是轴对称图形，有1条对称轴.
画对称轴略.
三、板书设计
轴对称图形
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
◇教学反思◇
　　在学习轴对称图形的时候，充分让学生通过实验去感知、思考、探索新知识，从更深层次上理解概念，达到事半功倍的效果.
第2课时　轴对称
◇教学目标◇
1.知道线段垂直平分线的概念.
2.知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线.
3.通过丰富的实例认识成轴对称的两个图形，并能找出成轴对称的两个图形的对称轴.
4.了解轴对称图形、两个图形关于某直线成轴对称这两个概念之间的联系和区别.
5.经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力.
6.体验数学与生活的联系、发展审美观.
◇教学重难点◇
教学重点
会利用轴对称的性质作对称点、轴对称图形等.
教学难点
轴对称图形与两个图形关于某直线成轴对称这两个概念之间的联系与区别.
◇教学过程◇
一、情境导入
这几幅图是轴对称图形吗？每对图形有什么共同的特点？
二、合作探究
1.操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系？
2.如图，图形M与图形M'关于直线l对称，A'，B'，C'分别是点A，B，C的对称点.连接AA'，BB'，CC'，设AA'与直线l交于点O1，BB'与直线l交于点O2，CC'与直线l交于点O3.
（1）直线l与线段AA'有怎样的位置关系？
（2）O1A与O1A'的长度有何关系？O2B与O2B'，O3C与O3C'呢？
说明：直线l垂直于线段AA'，直线l平分线段AA'.O1A＝O1A'，O2B＝O2B'，O3C＝O3C'，即直线l垂直平分线段AA'；直线l垂直平分线段BB'；直线l垂直平分线段CC'.
结论：对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段.
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线.
如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
探究点　轴对称
典例　下图中的两个图形是否成轴对称？如果是，请找出它的对称轴.
［解析］　这两个图形成轴对称，对称轴略.
三、板书设计
轴对称
1.线段的垂直平分线.
2.一般地，如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
◇教学反思◇
　　本节课设计和实施时应体现以下三个方面：
首先，努力体现数学与生活的联系.设计中提供了丰富的图案，让学生感受到数学就在身边.
其次，致力于学习方法的改变.让学生主动地进行学习、合作、讨论、动手操作、收集材料、设计图案等.
再次，处理好概念教学与能力培养的关系.本设计先让学生收集图案，然后在学生有了感性认识的基础上提出有关的概念，再让学生把概念运用到实际问题情景中，这样的设计有利于学生对数学概念的真正理解，也有利于学生学习能力的提高.
第3课时　平面直角坐标系中的轴对称
◇教学目标◇
1.探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标.
2.能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形.
3.经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动，理解其基本性质.
4.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律.
5.用轴对称变换的方式去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动.
◇教学重难点◇
教学重点
用坐标表示轴对称.
教学难点
利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点.
◇教学过程◇
一、情境导入
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）.你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两端点的坐标吗？
二、合作探究
探究点1　关于坐标轴对称的点的坐标特点
典例1　点A（3，－2）关于x轴对称的点的坐标是　　　　.
［解析］　平面直角坐标系中，两点关于横轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数.
［答案］　（3，2）
变式训练　已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于y轴对称，则（a＋b）2025的值为 （　　）
A.1 B.－1
C.72025 D.－72025
［答案］　B
探究点2　坐标系中的轴对称
典例2　如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（－2，－1）.
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）.A1　　　　，B1　　　　，C1　　　　；
（3）求△ABC的面积.
［解析］　（1）如图所示.
（2）（－1，2）；（－3，1）；（2，－1）.
（3）△ABC的面积＝3×5－×3×3－×2×1－×5×2＝.
变式训练　小莹和博士下棋，小莹执圆子，博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置用（－1，0）表示，右下角方子的位置用（0，－1）表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是 （　　）
A.（－2，1） B.（－1，1）
C.（1，－2） D.（－1，－2）
［答案］　B
探究点3　折纸问题
典例3　把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是 （　　）
［解析］　由图③折叠的对称性可知，在图②中的图形应该是三角形小孔一个向左，一个向右是对称分布；由图②折叠的对称性可知，在图①中的图形应该是图②中的图形对称分布，故C正确.
［答案］　C
变式训练　如图，将一张正方形纸片按图1，图2所示方法折叠，得到图3，再将图3按虚线剪裁得到图4，将图4展开后得到的图案是 （　　）
　图1　　　图2　　　图3　　　图4
［答案］　B
三、板书设计
平面直角坐标系中的轴对称
坐标系中
的轴对称
◇教学反思◇
　　本节是平面直角坐标系中的轴对称，关键是通过探索、归纳关于坐标轴对称的点的坐标的特点，并记忆应用解决问题，内容比较简单，学生在记忆时容易混淆致错，应引起足够的重视.关于坐标系中的轴对称图形主要是寻找关键点的对称点，在教学中应通过练习让学生熟练掌握.
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