资源简介

15.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定
◇教学目标◇
1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用这两个定理解决问题.
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
3.在探索过程中，增强协作交流，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
◇教学重难点◇
教学重点
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
教学难点
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
什么是线段的垂直平分线？
二、合作探究
（一）线段的垂直平分线的性质
把准备好的方方正正的纸拿出来，按照如图进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB'，FB和FB'的关系.
结果：EB'＝EB，FB'＝FB.
（二）线段的垂直平分线的判定
先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理，得出线段的垂直平分线的判定定理.
（三）两个定理的应用
探究点　线段的垂直平分线
典例　已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB.点P是MN上任意一点.求证：PA＝PB.
［解析］　∵MN⊥AB，（已知）
∴∠AOP＝∠BOP＝90°.（垂直的定义）
在△AOP和△BOP中，
∵
∴△AOP≌△BOP.（SAS）
∴PA＝PB.（全等三角形的对应边相等）
三、板书设计
线段的垂直平分线的性质和判定
1.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
2.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
◇教学反思◇
　　本节教师带领学生对线段的垂直平分线的性质定理进行严格的证明，让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题，并证明它是真命题，并把这个命题作为定理熟记，锻炼了学生的逻辑推理能力，培养了学生求真务实的精神.
第2课时　作线段的垂直平分线
◇教学目标◇
1.能够用尺规作出线段的垂直平分线.
2.经历证明三角形的三条边的垂直平分线交于一点的证明过程，体验观察、归纳、猜想、思考的思维过程，培养数学创新意识.
◇教学重难点◇
教学重点
尺规作线段的垂直平分线.
教学难点
尺规作线段的垂直平分线.
◇教学过程◇
一、情境导入
怎样作线段的垂直平分线？
二、合作探究
问题1：怎样作出线段的垂直平分线？
方法一：用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线.
方法二：通过折纸也可以作出线段的垂直平分线.在一张半透明的纸上，画一条线段AA'，折叠使点A与点A'重合，得到的折痕所在的直线就是线段AA'的垂直平分线.
方法三：用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点E，F.
（2）过点E，F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
问题2：为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交线段AB于点O.
（1）连接AE，BE，AF，BF，构造△AEF和△BEF.
由作法知△AEF≌△BEF（SSS），所以∠AEO＝∠BEO（全等三角形的对应角相等）.
继而可证△AEO≌△BEO（SAS），所以∠AOE＝∠BOE＝90°（全等三角形的对应角相等），AO＝BO（全等三角形的对应边相等），所以EF⊥AB，EF平分AB.
（2）因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.
探究点　三角形三边的垂直平分线交于一点
典例　已知：如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在BC的垂直平分线上.
［解析］　连接PA，PB，PC，
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，（已知）
∴PA＝PB，PA＝PC，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴PB＝PC，（等量代换）
∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
三、板书设计
作线段的垂直平分线
1.尺规作图：作已知线段的垂直平分线.
2.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
◇教学反思◇
　　本节课先用刻度尺和三角板、折线的方法作线段的垂直平分线，然后用尺规作图画出垂直平分线，并让学生思索为什么用这种方法画出的就是垂直平分线，可以激发学生学习数学的兴趣，达到事半功倍的效果.
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