资源简介

15.4　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质1
◇教学目标◇
1.经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力.
2.掌握等腰三角形的性质定理1及其推论.
3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.
4.在探究过程中，增强协作交流，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.经历探索等腰三角形的轴对称及相关性质的过程，进一步体会轴对称的特征，发展学生的空间意识.
◇教学重难点◇
教学重点
等腰三角形的性质定理1及其证明.
教学难点
等腰三角形性质的验证.
◇教学过程◇
一、情境导入
活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，按如图2所示的方式剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样的三角形？
　　
图1　　　　　　　图2
结果：剪刀剪过的两条边是相等的，剪出的图形是等腰三角形.
知识回顾：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一条边叫作底，两腰所夹的角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角.
问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一说你的猜想.
结果：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
说明：对称轴是一条直线，而三角形的中线是线段，因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴.
二、合作探究
活动2：出示刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：
把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现折痕AD，观察图形，△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BD垂直吗？为什么？
结果：△ADB与△ADC重合，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD，AB＝AC，AD与BD垂直，理由略.
活动3：由上面的性质我们可以得到等腰三角形有如下性质：
定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
问题2：这个命题的题设是什么？结论是什么？
结果：
题设：在△ABC中，AB＝AC.
结论：∠B＝∠C.
误区警示说明：将等腰三角形写成已知时，通常写成“在△ABC中，AB＝AC”，而不写成“等腰”两个字.
要证两个角相等可以转化为前面所学过的三角形全等，而图形中只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形？
通过折叠等腰三角形的实验，很容易得到辅助线，作高AD或作顶角的平分线AD.
等腰三角形的性质定理1的几何符号语言的书写：在△ABC中，∵AB＝AC（已知），∴∠B＝∠C（等边对等角）.
问题3：等边三角形各内角有什么关系？各等于多少度？
结果：（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：顶角＋2×底角＝180°；
（2）推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
探究点　等边对等角
典例　已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE.求∠DAE的度数.
［解析］　∵AB＝AC，∠BAC＝120°，（已知）
∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝×（180°－120°）＝30°.（等边对等角）
又∵BD＝AD，（已知）
∴∠BAD＝∠B＝30°.（等边对等角）
同理：∠CAE＝∠C＝30°.
∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠CAE＝120°－30°－30°＝60°.
三、板书设计
等腰三角形的性质1
定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
◇教学反思◇
　　本节课通过对等腰三角形叠合操作引出等腰三角形是轴对称图形，进而得到等腰三角形“等边对等角”，这种操作有利于学生发现等腰三角形性质的证明，给出三种不同的辅助线，是用来培养学生的发散思维，有变式教学思想；另一方面是为推论做准备.在本节教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中.在整个教学过程中，注重启发学生，挖掘学生潜力，培养学生应用意识，提高学生学习数学的积极性.
第2课时　等腰三角形的性质2
◇教学目标◇
1.掌握等腰三角形的性质定理2，会运用性质进行计算或证明.
2.经过观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力.
3.通过同学间的合作和交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处，数学知识在生活中的用处.
◇教学重难点◇
教学重点
等腰三角形性质定理2的发现、证明及应用.
教学难点
性质定理的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高有何关系？
二、合作探究
从上一课时性质定理1的证明过程可以知道，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，由此，你能得出等腰三角形还具有什么性质？
结果：
定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“三线合一”.
探究点　等腰三角形“三线合一”
典例1　已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点.
求证：BE＝CE.
［解析］　∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，（已知）
∴AD是BC边上的高.（三线合一）
∴AD垂直平分线段BC.（垂直平分线的定义）
∵点E是AD上一点，（已知）
∴BE＝CE.（垂直平分线的性质）
典例2　求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
图1　图2
［解析］　如图2，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使点A和A'、点C和C'重合，点B和B'在AC的两侧.
∵∠BCB'＝90°＋90°＝180°，（等式性质）
∴B，C，B'三点在同一直线上.（平角的定义）
∵AB＝AB'，（已知）
∴∠B＝∠B'.（等边对等角）
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.（AAS）
三、板书设计
等腰三角形的性质2
1.等腰三角形三线合一
2.判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明.
◇教学反思◇
　　本节课讲的是等腰三角形的性质2即“三线合一”以及判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明.学生在这过程中领悟数学中的转化思想，感受数学的几何美.
第3课时　等腰三角形的判定
◇教学目标◇
1.掌握等腰三角形的判定及其两个推论.
2.运用等腰三角形的判定及其推论进行有关计算和证明.
3.通过观察、分析等腰三角形和等边三角形的判定定理，培养学生的观察、分析能力，发展学生的形象思维.
4.经历猜想、证明的过程，培养学生的逻辑推理能力.掌握归纳的思维方法，领会数学的转化思想.
◇教学重难点◇
教学重点
等腰三角形的判定定理及其推论的应用.
教学难点
定理及其推论的导出.
◇教学过程◇
一、情境导入
“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是真命题吗？
二、合作探究
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
证明略.
注意：这个定理叫作等腰三角形的判定定理，它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.
由上述定理可以直接得到：
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究点　等腰三角形的判定
典例　如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.
［解析］　∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.
∵AD⊥BD，
∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形.
三、板书设计
等腰三角形的判定
1.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.
2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
◇教学反思◇
　　本节课先让学生说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题，由判断它的真假引出本节课，增强学生的好奇心和求知欲.在教法设计上，把重点放在了展示知识的形成过程上，由个别现象到抽象，体现出了学生从感性认识到理性认识发生、发展的认知过程.在教学过程中，注意引导学生对解题思路和方法进行总结，渗透化归思想与分类讨论思想.
第4课时　含30°角的直角三角形的性质
◇教学目标◇
　　1.掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并简单应用.
2.经历“探索─发现─猜想─证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
3.体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性.
◇教学重难点◇
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教学难点
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
二、合作探究
　　直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
根据题意画出图形，写出已知、求证，探索证题思路，完成命题的证明.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
求证：BC＝AB.
证明：如图，延长BC到点D，使CD＝BC，
连接AD，∴△ACD≌△ACB.（SAS）
∴AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝30°，∠BAD＝60°.
∴△ABD是等边三角形.（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD＝AB，
∴BC＝BD＝AB.
探究点　含30°角的直角三角形的性质
典例　一艘船上午8：00从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北航行.从A处测得一礁石C在北偏西30°方向上.这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60°方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求从B处到礁石C的距离；
（3）这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小？
［解析］　（1）如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.
（2）如图，易得∠ACB＝60°－30°＝30°.
∵∠BAC＝30°，∴∠BCA＝∠BAC.∴BC＝BA.
∵BA＝10×（10－8）＝20（n mile），
∴BC＝20（n mile）.
答：从B处到礁石C的距离是20 n mile.
（3）如图，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠CBF＝60°，∠CFB＝90°，∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝10（n mile）.
答：这艘船继续向正北方向航行10 n mile与礁石C的距离最小.
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形
◇教学反思◇
　　本节的主要内容是直角三角形的性质，应用两个三角板拼成的等边三角形猜测得到性质，进而从理论证明，尽量为学生提供“做中学”的时间，让学生在探究的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，营造思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养学生分类、探究、合作、归纳的能力.
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