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第11章　平面直角坐标系
11.1　平面内点的坐标
第1课时　平面直角坐标系与图形
◇教学目标◇
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.
2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系.
3.在给定的平面直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出图形的面积.
4.经历描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力.
5.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识.
◇教学重难点◇
教学重点
理解平面直角坐标系的有关知识；在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标.
教学难点
坐标轴上的数字与坐标系中点的坐标之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置（例如图中A，B，C，D，E各点）？
二、合作探究
探究点1　平面直角坐标系
典例1　在平面直角坐标系中描出下列各点：
A（4，5），B（－2，3），C（－3，－2），D（4，－2），E（0，－4）.
［解析］　如图，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A.
类似地，可在图中描出点B，C，D，E.
变式训练　如图，确定点A，B，C，D，E，F，G的坐标.
［解析］　点A（－1，－1），点B（0，－3），点C（2，－5），点D（4，－1），点E（3，2），点F（－2，3），点G（2，－2）.
探究点2　坐标系中的图形
典例2　在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说你得到的是什么图形，并计算它们的面积.
（1）A（5，1），B（2，1），C（2，－3）；
（2）A（－1，2），B（－2，－1），C（2，－1），D（3，2）.
［解析］　（1）如图1，得到的是一个直角三角形.
它的面积是×3×4＝6.
（2）如图2，得到的是一个平行四边形.
它的面积是4×3＝12.
图1　图2
典例3　（1）如图1所示，三角形ABC的面积是　　　　.
图1
（2）如图2所示，三角形ABC的面积是　　　　.
图2
［解析］　（1）12.
（2）7.5.
变式训练1　如图所示，求四边形OACB的面积.
［解析］如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则点D坐标为（3，0）.S四边形OACB＝S梯形OACD＋S三角形BCD＝×（2＋4）×3＋×2×4＝13.
变式训练2　如图所示，求三角形OAB的面积.
［解析］如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，CB与EA的延长线交于点D.易知OCDE为长方形，S三角形OAB＝S长方形OCDE－S三角形OBC－S三角形ABD－S三角形OAE＝4×5－×3×4－×2×2－×2×5＝7.
三、板书设计
平面直角坐标系与图形
1.平面直角坐标系：横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点.
2.在平面直角坐标系中描点作图.
3.坐标平面内图形面积的计算.
◇教学反思◇
　　学生在实际生活中经常遇到物体位置的问题，可能想不到这些问题与数学的联系，老师在这节课上应引导学生建立平面直角坐标系来表示物体的位置，让学生参与到探索获取新知的活动中，主动学习思考，感受数学的魅力，增强学生学习数学的兴趣.
第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征
◇教学目标◇
1.了解象限及各象限内点的坐标特征.
2.学会建立平面直角坐标系.
3.通过画坐标系、由坐标找点等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识.
4.通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识.
◇教学重难点◇
教学重点
能够掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征.
教学难点
在特定条件下建立适当的平面直角坐标系.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴？写出正方形的顶点A，B， C，D的坐标.
请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么？与同学交流一下.
二、合作探究
探究点1　点的坐标特征
典例1　在平面直角坐标系中，点P（－2，x2＋1）所在的象限是 （　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
［解析］　因为－2<0，x2＋1>0，所以点P在第二象限.
［答案］　B
探究点2　建立平面直角坐标系
典例2　如图1，请建立合适的平面直角坐标系，使点C，D的坐标分别为（3，2），（0，4），写出在此平面直角坐标系中其余各点的坐标，指出它们分别在哪个象限或在哪条坐标轴上.
图1
［解析］　因为点C，D的坐标分别为（3，2），（0，4），所以可以选点A作为原点O.
如图2，画出平面直角坐标系.
图2
则在此平面直角坐标系中，
点A的坐标为（0，0），既在x轴上又在y轴上；
点B的坐标为（2，0），在x轴上；
点E的坐标为（－2，3），在第二象限；
点F的坐标为（－4，0），在x轴上；
点G的坐标为（－3，－1），在第三象限；
点H的坐标为（0，－3），在y轴上；
点I的坐标为（3，－4），在第四象限.
三、板书设计
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.各象限内点的坐标特征：
第一象限：（＋，＋）；
第二象限：（－，＋）；
第三象限：（－，－）；
第四象限：（＋，－）.
2.建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置.
◇教学反思◇
　　通过本课时的教学，让学生了解各象限内以及坐标轴上的点的坐标特征，以及学会建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.
第3课时　方位角
◇教学目标◇
1.会用方位角和距离来表示两物体间的相对位置.
2.将现实的题材呈现给学生，揭示平面直角坐标系与现实世界的联系.
◇教学重难点◇
教学重难点
会用方位角和距离来表示两物体间的相对位置.
◇教学过程◇
一、情境导入
下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1厘米代表20海里），对我方潜艇O来说：
（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
（2）距离我方潜艇20海里的敌舰有哪几艘？
（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？
二、合作探究
探究点　方位角
典例　如图是小明家和学校所在地的平面位置示意图，其中点O表示小明家，点A，B，C，P分别表示学校、商场、公园和停车场.已知OA＝2 km，OB＝3.5 km，OP＝4 km，点C为OP的中点.
回答下列问题：
（1）学校、商场、公园、停车场中哪些到小明家的距离相同？
（2）由图可知，公园在小明家南偏东60°方向2 km处.请描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.
［解析］　（1）因为点C为OP的中点，所以OC＝OP＝2 km.所以OA＝OC.
又因为OB，OA，OP各不相等，所以学校和公园到小明家的距离相同.
（2）由图可知，学校在小明家东北方向2 km处，商场在小明家北偏西30°方向3.5 km处，停车场在小明家南偏东60°方向4 km处.
三、板书设计
方位角
表示两物体间的相对位置的两要素：方位角和距离.
◇教学反思◇
　　通过本课时的学习，进一步发展学生空间观念以及利用数学知识刻画物体位置的能力，提高学生参与数学学习活动的积极性.
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