资源简介

第12章　函数与一次函数
12.1　函　数
第1课时　函数及其相关概念
◇教学目标◇
1.使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数表达式.
2.了解常量、变量，能分清实例中出现的常量、变量.
3.通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动、变化的观点思考问题.
4.通过函数的教学，培养学生观察、分析的能力.
5.通过例题向学生进行生动具体的“知识来源于实践，反过来又作用于实践”的辩证唯物主义教育.
◇教学重难点◇
教学重点
了解函数、常量、变量，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数表达式.
教学难点
对函数意义的正确理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
某粮店在一段时间内出售同一种大米，在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？
结论：共出现了售出大米的质量、单价、总价三个量，其中质量和总价是变化的，但单价是不变的.
二、合作探究
从上面的例子我们可以看到，在某一具体变化过程中，有些量是可以取不同的数值的，如上例中的大米的质量、总价，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价，我们称之为常量.注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的.
问题1：从大连到北京，如果乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量？哪些量是常量？
结论：火车行驶的时间和路程是变量，火车的速度是常量.
问题2：从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？
结论：从大连到北京的距离是常量，所需的时间和交通工具的速度是变量.
在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的.例如：大米的质量与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是数学中一个很重要的基本概念——函数.
问题3：若每千克大米售价2.40元，用字母n表示大米的千克数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式？
结论：对于每一个n的值，总价m都有唯一的确定值与它相对应，m＝2.4n.
问题4：已知圆的半径为r，半径r与面积S有怎样的关系？
结论：对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应，S＝πr2.
类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，就不再一一列举.由上面两个例子中的共同特点，总结出函数的概念.
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
探究点1　变量与常量、自变量
典例1　用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，求长方形面积S（m2）与一边长L（m）之间的表达式，并指出式中的常量、变量、自变量.
［解析］　表达式为S＝L（30－L），
常量为30，变量为L和S，自变量为L.
探究点2　函数
典例2　下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数；若不是函数，请说明理由.
（1）y＝2x＋3；
（2）y＝；
（3）y＝；
（4）x2＋y2＝1.
［解析］　（1）（2）（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；（4）不是函数.因为对于每一个x的值，y不是有唯一的值与它对应.
三、板书设计
函数及其相关概念
1.变量与常量、自变量.
2.函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量.
◇教学反思◇
　　带领学生更深入地认识两个量之间的关系，并引入常量、变量、自变量、函数值等概念，要让学生明白函数是两个变量之间的关系.
第2课时　函数的表示方法——列表法和解析法
◇教学目标◇
1.学会求函数自变量的取值范围.
2.理解函数自变量与函数值的对应关系，会求指定条件下的函数值.
3.会求具体问题中的函数表达式.
4.经历列表法和解析法表示函数的过程.
5.在具体的问题情境中，求函数自变量的取值范围.
6.让学生在探索中增强数学建模意识.让学生思考贴近生活的例子，激发学生的学习兴趣.
◇教学重难点◇
教学重点
在具体的问题情境中，求函数自变量的取值范围.
教学难点
建立一个实际问题的数学模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
上节课，我们学习了一个重要的概念——函数，那么如何表示两个变量之间的函数关系？
二、合作探究
探究点1　列表法
典例1　弹簧原长（不挂重物）10 cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如表所示：
弹簧总 长L/cm 11 12 13 14
重物重 量x/kg 0.5 1.0 1.5 2.0
当重物质量为4 kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是 （　　）
A.17 B.17.5 C.18 D.18.5
［答案］　C
探究点2　解析法
典例2　炎热的夏季，蚊子总令我们讨厌，为了防止它们的叮咬，不少同学点上了蚊香.如图所示，一盘长105 cm的蚊香，张建同学点燃后观察发现每小时缩短10 cm.
（1）写出蚊香点燃后的长度y（cm）与点燃时间t（h）之间的函数表达式.
（2）这盘蚊香最多可以燃烧多长时间？
［解析］　（1）y＝105－10t.
（2）由105－10t＝0，解得t＝10.5.
即这盘蚊香最多可以燃烧10.5 h.
探究点3　函数自变量的取值范围
典例3　求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝2x＋4；（2）y＝－2x2；
（3）y＝；（4）y＝.
［解析］　（1）x为全体实数.（2）x为全体实数.（3）x≠2.（4）x≥0.
注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果是实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数S＝πR2中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆的面积S与其半径R的关系，那么自变量R的取值范围应是R>0.
探究点4　求函数值
典例4　当x＝3时，求下列函数的函数值：
（1）y＝2x＋4；（2）y＝－2x2；
（3）y＝；（4）y＝.
［解析］　（1）当x＝3时，y＝2×3＋4＝10.
（2）当x＝3时，y＝－2×32＝－18.
（3）当x＝3时，y＝＝1.
（4）当x＝3时，y＝.
三、板书设计
函数的表示方法——列表法和解析法
1.列表法与解析法.
2.求函数中自变量的取值范围：
（1）使分母不为零；
（2）使二次根式中被开方式非负；
（3）使实际问题有意义.
3.求函数值.
◇教学反思◇
　　教学设计中，始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合，把对知识的理解放置在具体情景中，采用了多种形式的学习活动，给学生提供足够的、自主的空间和活动机会.
第3课时　函数的表示方法——图象法
◇教学目标◇
1.学会用列表、描点、连线画函数图象.
2.经历作图，提高作图与识图能力.
3.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力，认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识.
◇教学重难点◇
教学重点
用图象法表示函数.
教学难点
理解列表、描点、连线画出函数图象的过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们在前面学习了函数的意义，并掌握了函数表达式的确立，但有些函数问题很难用函数表达式表示出来，却可以通过图来直观反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系.对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，则会使函数关系更清晰.
二、合作探究
问题1：正方形的边长x与面积S的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
S
　　结论：函数表达式为S＝x2，因为x代表正方形的边长，所以自变量x>0，将每个x的值代入函数式即可求出对应的S值.
问题2：如果我们在平面直角坐标系中，将表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标，即可在坐标系中得到一些点.思考一下，表示x与S的对应关系的点有多少个？如果全在坐标系中标出的话是什么样的？
结论：这样的点有无数多个，如果全描出来太麻烦，也不可能.只能描出其中一部分，然后想象出其他点的位置，用光滑曲线连接起来，如图.
我们可以得到一幅表示S与x关系的图.图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系，如点（2，4）表示x＝2时，S＝4.
探究点　图象法
典例　请画出函数y＝x＋0.5的图象.
［解析］　由函数表达式知x的取值范围是全体实数.
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值.列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －2.5 －1.5 －0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连接这些点，如图所示.
变式训练　点A（－2.5，－4），B（1，3）　　　　函数y＝2x－1的图象上，点C（2.5，4）　　　　函数y＝2x－1的图象上.（填“在”或“不在”）
［答案］　不在　在
三、板书设计
函数的表示方法——图象法
由函数表达式画图象的一般步骤：
1.列表
2.描点
3.连线
◇教学反思◇
　　指出函数图象法的三个步骤：列表、描点、连线，注意自变量的取值范围.
第4课时　从函数图象中获取信息
◇教学目标◇
1.学会观察、分析函数图象信息.
2.提高识图能力、分析函数图象的能力.
3.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力.
4.体会数学方法的多样性，提高学习兴趣.
5.认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识.
◇教学重难点◇
教学重点
观察、分析图象信息.
教学难点
分析、概括图象中的信息.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了函数图象的画法，你还记得有哪几个步骤？如果给出了函数的图象，怎样从函数的图象中获取信息？
二、合作探究
探究点　从函数图象中获取信息
典例1　如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
［解析］　从图象中可以得到以下信息：
（1）一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为气温T是时间t的函数.
（2）这天中凌晨4时气温最低，为－3 ℃，14时气温最高，为8 ℃.
（3）从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.
（4）我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温.
典例2　下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小明离他家的距离.
根据图象回答下列问题：
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米地锄草用了多长时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
［解析］　（1）由纵坐标看出，菜地离小明家1.1 km；由横坐标看出，小明走到菜地用了15 min.
（2）由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10 min.
（3）由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9 km.由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12 min.
（4）由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18 min.
（5）由纵坐标看出，玉米地离小明家2 km.由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25 min，所以平均速度为2÷25＝0.08（km/min）＝4.8（km/h）.
变式训练　小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校.小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈的距离是1400 m；
②小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m/min；
③小东打完电话后，经过27 min到达学校；
④小东家离学校的距离为2900 m.
其中正确的个数是 （　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
［解析］　由图象可知，打电话时小东离家1400 m，6 min后小东与妈妈相遇，因为小东的速度为100 m/min，妈妈沿原路返回用了16 min，所以妈妈返回的速度为（1400－100×6）÷16＝50 m/min.由图象可知，22 min时，妈妈到家，小东离家的距离为2400 m.因为妈妈到家后，小东再过5 min才到学校，所以小东打电话后，经过27 min到达了学校，所以小东家离学校的距离为2400＋5×100＝2900 m.故①②③④都正确.
［答案］　D
三、板书设计
从函数图象中获取信息
从函数的图象中获得相关的信息，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测.
◇教学反思◇
　　在这个信息充斥的时代，我们身边有很多信息载体，本节课带领学生去读信息，获取、分析图象上的信息，让学生去想问题和答案，调动学生的积极性，锻炼学生的分析能力和语言表达能力.
1

展开更多......

收起↑