资源简介

12.2　一次函数
第1课时　正比例函数的图象和性质
◇教学目标◇
1.理解一次函数与正比例函数的关系.
2.能够画出正比例函数的图象.
3.经历图象法表示正比例函数的过程，利用数形结合思想分析问题.
4.使学生参与到探索正比例函数的过程中来，激发学生的学习热情.
◇教学重难点◇
教学重点
理解正比例函数的表达式特点，能够画出正比例函数的图象.
教学难点
正比例函数的图象与性质归纳.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察下面的几个函数：
（1）y＝7x－35；
（2）y＝x－105；
（3）y＝0.1x＋22；
（4）y＝－5x＋50；
（5）y＝6x.
这几个函数表达式有什么共同点？不难看出，这些函数都是自变量x的k（常数）倍与一个常数的和.如果我们用b来表示这个常数的话，这些函数形式就可以写成y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）.当b＝0时，y＝kx＋b就成为y＝kx（k为常数，且k≠0）.我们把形如y＝kx的函数叫作正比例函数，它是一种特殊的一次函数.
二、合作探究
问题1：判断下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y＝－x－4；（2）y＝5x2＋6；
（3）y＝－；（4）y＝－8x.
结论：（1）和（4）是一次函数；（4）是正比例函数.
问题2：在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝x和y＝的图象，并说出图象的特点.
结论：（1）函数的图象都经过原点；（2）函数的图象都经过第一、三象限，图象是自左向右上升的.
问题3：在同一平面直角坐标系中画出y＝－2x，y＝－x和y＝－的图象，并说出图象的特点.
结论：（1）函数的图象都经过原点；（2）函数的图象经过第二、四象限，图象是自左向右下降的.
探究点　正比例函数
典例　在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象：
y＝x，y＝x，y＝3x.
［解析］　列表：
x … 0 1 …
y＝x … 0 …
y＝x … 0 1 …
y＝3x … 0 3 …
如图，过点（0，0），画直线，得y＝x的图象；
过点（0，0），（1，1）画直线，得y＝x的图象；
过点（0，0），（1，3）画直线，得y＝3x的图象.
三、板书设计
正比例函数的图象和性质
1.一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫作一次函数.
2.正比例函数：形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数叫作正比例函数.
3.正比例函数的图象和性质：
当k>0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）；
当k<0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）；
|k|越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快.
◇教学反思◇
　　让学生自己动手作图，学生通过观察、分析图象来发现正比例函数的性质，增强了参与感和学习的热情，提高了类比、归纳和概括能力.
第2课时　一次函数的图象
◇教学目标◇
1.掌握一次函数图象的画法.
2.掌握一次函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx图象的区别与联系.
◇教学重难点◇
教学重点
掌握一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与正比例函数y＝kx的图象的关系.
教学难点
结合图象体会一次函数k，b的取值和直线位置的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
能否通过平移的方法，直接由正比例函数的图象y＝x得到一次函数y＝x－1和y＝x＋1的图象呢？小尹认为可以，小亮认为不可以.那么，你认为呢？
二、合作探究
探究点1　一次函数的图象
典例1　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x和y＝2x＋3的图象，并总结图象的特点.
［解析］　如图所示.图象的特点有：它们的图象是平行的；它们之间的距离处处相等；y＝2x＋3是把y＝2x向上平移3个单位得到的；表达式中k决定了这条直线的倾斜度.
探究点2　截距
典例2　画出直线y＝x－2，并指出它的截距.
［解析］　列表：
x … 0 3 …
y … －2 0 …
如图，过两点（0，－2），（3，0）画直线，即得直线y＝x－2，它的截距是－2.
典例3　已知正比例函数y＝kx，如果y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象可能是 （　　）
［解析］　根据正比例函数的性质可知k>0，所以－k<0.由此可知一次函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限，观察可知A项正确.
［答案］　A
三、板书设计
一次函数的图象
1.一次函数图象的平移规律.
2.截距.
◇教学反思◇
　　观察k的值对函数图象的影响，当k相等时，函数图象是平行的，b是y轴上的截距，可以为正，可以为负，也可以为0.学生在这点上容易与距离相联系，要重点强调.
第3课时　一次函数的性质
◇教学目标◇
类比对正比例函数的探究过程来研究归纳一次函数的性质，提高他们的类比、概括能力.
◇教学重难点◇
教学重点
掌握一次函数的性质.
教学难点
掌握一次函数的性质并灵活运用性质解题.
◇教学过程◇
一、问题导入
通过类比正比例函数的性质，你能得出一次函数的哪些性质？
二、合作探究
探究点　一次函数的性质
典例　已知一次函数y＝（m＋2）x＋（3－n）.
（1）当m，n为何值时，y随x的增大而减小？
（2）当m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数的图象经过第二、三、四象限，求m，n的取值范围.
［解析］　（1）由题意得m＋2<0，
所以当m<－2且n为任意实数时，y随x的增大而减小.
（2）由题意得m＋2≠0且3－n＝0，
所以当m≠－2且n＝3时，函数的图象经过原点.
（3）由题意可得解得
所以当m<－2且n>3时，函数的图象过第二、三、四象限.
三、板书设计
一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）有下列性质：
当k>0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）；
当k<0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）；
|k|越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快.
◇教学反思◇
通过本节课的学习，大部分学生能理解并掌握一次函数的性质，能灵活运用所学知识解决问题，部分学生做题速度还要提高，还要多做多练，为下一课时学习用待定系数法求一次函数的表达式做准备.
第4课时　用待定系数法求一次函数的表达式
◇教学目标◇
1.学会用待定系数法确定一次函数表达式，进而来解决实际问题，建立实际问题的函数模型.
2.经历待定系数法的应用过程，提高研究数学问题的技能.
3.体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析、解决问题.
4.通过让学生经历先设出函数表达式，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
◇教学重难点◇
教学重点
待定系数法确定一次函数表达式.
教学难点
灵活运用有关知识解决相关问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们前面学习了一次函数的一些知识，掌握了其表达式的特点及图象特征，并学会了已知表达式画出其图象的方法以及分析图象特征与表达式之间的联系.如果反过来，已知有关一次函数图象的某些特征，能否确定其表达式呢？
二、合作探究
探究点　用待定系数法求一次函数的表达式
典例1　已知某一次函数，当自变量x＝4时，函数值y＝5；当自变量x＝5时，函数值y＝2.求出该函数的表达式，并画出它的图象.
［解析］　因为y是x的一次函数，所以设其表达式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）.
由题意，得
解方程组，得
所以该函数的表达式为y＝－3x＋17.
其图象如图所示.
典例2　如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，由图象解答下列问题：
（1）此蜡烛燃烧1小时后，高度为　　　　厘米；经过　　　　小时燃烧完毕.
（2）求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的表达式.
［解析］　（1）7；.
（2）设所求的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
根据题意，得
解得
所以这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的表达式为y＝－8x＋15.
三、板书设计
用待定系数法求一次函数的表达式
一般步骤：
（1）设：设出函数的一般形式；
（2）代：代入表达式得到方程（组）；
（3）求：求出待定系数k，b的值；
（4）写：写出函数的表达式.
◇教学反思◇
　　这节课主要学习了待定系数法求一次函数的表达式，当已知截距b时，我们可以直接设y＝kx＋b，其中的b就是截距，然后求出k即可，这点提示学生针对特殊情形找出简单的方法，不拘于一种求解方法.
第5课时　一次函数的简单应用——分段函数
◇教学目标◇
1.了解分段函数的概念和出现的意义.
2.能根据实际问题写出分段函数的表达式，并能解决相关问题.
3.经历对实际问题建立数学模型的过程，体会待定系数法的作用和一次函数模型的价值.
4.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程，使学生感受到数学与生活的联系.让学生参与到教学活动中，提高学习及运用数学知识的积极性.
◇教学重难点◇
教学重点
对分段函数的理解.
教学难点
建立实际问题的数学模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离.
　　该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
二、合作探究
探究点　分段函数的应用
典例1　为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过16 m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16 m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元.设一户每月用水x m3，应缴水费为y元.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）画出上述函数的图象；
（3）某两户某月用水量分别为10 m3和20 m3时，求这两户该月应缴的水费；
（4）某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月的用水量.
［解析］　（1）当0≤x≤16时，y＝（1.3＋1.2）x＝2.5x.
当x>16时，y＝（1.3＋1.2）×16＋（2.0＋1.2）·（x－16）＝3.2x－11.2.
（2）如图，上述函数的图象是一条折线.
（3）当x＝10时，y＝2.5×10＝25.
当x＝20时，y＝3.2×20－11.2＝52.8.
答：这两户该月应缴的水费分别为25元、52.8元.
（4）因为59.2>2.5×16，所以该户这个月用水超过16 m3.
因此，3.2x－11.2＝59.2.解得x＝22.
答：该户这个月的用水量为22 m3.
典例2　某医药研究所开发了一种新药.在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达到每毫升6微克（1微克＝10－3毫克），接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克.若当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.
（1）分别求出0≤x≤2和x>2时，y与x之间的函数表达式.
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上说明药物对疾病的治疗是有效的，那么这个有效时间是多长？
［解析］　（1）当0≤x≤2时，设函数的表达式为y＝k1x（k1≠0）.把（2，6）代入y＝k1x，得k1＝3，所以当0≤x≤2时，y＝3x.
当x>2时，设函数的表达式为y＝k2x＋b（k2≠0）.把（2，6），（10，3）代入y＝k2x＋b，得解得
所以当x>2时，y＝－x＋.
（2）把y＝4代入y＝3x，得x＝；把y＝4代入y＝－x＋，得x＝.
因为＝6，所以这个有效时间是6小时.
三、板书设计
一次函数的简单应用——分段函数
1.分段函数.
2.分段函数的实际应用.
◇教学反思◇
　　分段函数在实际生活中经常用到，因为一个函数不是在所有的自变量范围内可以通用，所以经常需要对自变量的范围进行分段讨论，分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段，通过这节课的学习，让学生进一步理解自变量取值范围的意义.
第6课时　一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）
◇教学目标◇
1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）之间的关系.
2.会利用一次函数图象解决相关的一元一次不等式（组）问题.
3.通过探究一次函数图象与一元一次方程、一元一次不等式（组）之间的关系，体会数形结合思想.
4.通过实例探究，培养学生深入探究的学习精神.
◇教学重难点◇
教学重点
探究一次函数图象与一元一次方程、一元一次不等式（组）之间的关系.
教学难点
利用一次函数图象，解一元一次方程与一元一次不等式（组）.
◇教学过程◇
一、情境导入
看下面两个问题：
（1）解方程2x＋20＝0.
（2）当自变量x为何值时，函数y＝2x＋20的值为0？
这两个问题之间有什么联系吗？
二、合作探究
在上面问题（1）中，解方程2x＋20＝0，得x＝－10.解决问题（2）就是要考虑当函数y＝2x＋20的值为0时所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x＋20＝0，得出x＝－10.因此这两个问题实质上是一个问题.
从函数图象上看，直线y＝2x＋20与x轴交点的坐标为（－10，0），这也说明函数y＝2x＋20的值为0时，对应的自变量x为－10，即方程2x＋20＝0的解是x＝－10.
由上面两个问题的关系，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y＝kx＋b的值为0有什么关系.
问题：根据图象说出一元一次不等式2x＋20>0和2x＋20<0的解集.
结论：2x＋20>0，就是函数y＝2x＋20中y>0，观察知，图象在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0，同样地，图象在x轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0，因为图象与x轴交于点（－10，0），所以由图象可知，要使y>0，即2x＋20>0，应有x>－10，要使y<0，即2x＋20<0，应有x<－10.
探究点1　一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
典例1　画出函数y＝－3x＋6的图象，并结合图象求：
（1）方程－3x＋6＝0的解；
（2）不等式－3x＋6>0和－3x＋6<0的解集.
［解析］　如图，画出函数y＝－3x＋6的图象.
（1）由图象可知，图象与x轴交点的坐标为（2，0）.
所以，方程－3x＋6＝0的解为x＝2.
（2）由图象可知，y>0时x的取值范围是x<2；y<0时x的取值范围是x>2.
所以，不等式－3x＋6>0的解集是x<2；不等式－3x＋6<0的解集是x>2.
探究点2　一次函数与一元一次不等式组
典例2　如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－1，0），B（3，0），则不等式组的解集为 （　　）
A.x<－1 B.x>3
C.－13
［答案］　C
三、板书设计
一次函数与一元一次方程、
一元一次不等式（组）
1.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）的内在联系.
2.内在联系在图象上的反映.
◇教学反思◇
　　让学生用数形结合的方法探索并归纳一次函数的图象与一元一次方程、一元一次不等式（组）的关系，一元一次方程、一元一次不等式（组）的图象解法，使学生初步认识它们之间的关联.
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