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12.3　一次函数与二元一次方程
第1课时　一次函数与二元一次方程
◇教学目标◇
1.理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.通过思考和操作，理解二元一次方程与图象之间的关系，同时培养数形结合能力.
◇教学重难点◇
教学重点
一次函数与二元一次方程的关系.
教学难点
灵活运用一次函数和二元一次方程的关系解决问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
1.方程x＋y＝5的解有多少个？请写出其中的几个解.
2.在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
3.在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？
4.以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
二、合作探究
探究点　一次函数与二元一次方程的关系
典例　已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为 （　　）
A.x＝3 B.y＝3 C.x＝4 D.y＝4
［解析］　因为直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是3，所以方程kx＋b＝0的解为x＝3.
［答案］　A
三、板书设计
一次函数与二元一次方程
1.二元一次方程转化为一次函数形式.
2.二元一次方程的解对应直线上点的坐标.
◇教学反思◇
　　让学生尝试探索，既体会到探索的艰辛，又体会到成功的喜悦.在应用和引申过程中，尽量让学生自主地发现问题、解决问题.学生在紧张、愉快的氛围中完成对这节课的学习.
第2课时　一次函数与二元一次方程组
◇教学目标◇
1.能根据一次函数的图象来解二元一次方程组.
2.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养创新意识，激发学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
教学重点
理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法求解二元一次方程组.
教学难点
经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.
◇教学过程◇
一、问题导入
　　前面我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系，那么，我们是否可以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢？
二、合作探究
问题：在同一平面直角坐标系内分别作出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？
结论：如图所示，一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象的交点为（2，3），
因此就是方程组的解.
探究点1　一次函数与二元一次方程组的关系
典例1　（1）在同一平面直角坐标系中，画出直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝2x＋6；
（2）如果直线l1与l2交于点P，写出点P的坐标；
（3）说明点P的坐标是否为下面方程组的解.
［解析］（1）图象如图所示.
（2）由图可知，直线l1与l2交于点P，点P的坐标为（－2，2）.
（3）方程x＋2y＝2可以转化成一次函数y＝－x＋1的形式，因此，直线l1：y＝－x＋1上任意一点的坐标都是方程x＋2y＝2的解.同理，得直线l2上任意一点的坐标都是方程2x－y＝－6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x＋2y＝2与2x－y＝－6的公共解，也就是说，点P的坐标是二元一次方程组的解.
探究点2　利用一次函数图象解二元一次方程组
典例2　利用函数图象解方程组：
［解析］　对于方程①，有
x … 0 2 …
y … －2 3 …
过点A（0，－2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l：y＝x－2.同样地，点A（0，－2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A和B两点的直线l，如图，就是说，这两条直线重合.
显然，直线l上每一个点的坐标都是方程组的解，所以方程组有无穷多组解.
典例3　利用函数图象解方程组：
［解析］　方程3x＋2y＝－2对应直线l1：y＝－x－1.方程6x＋4y＝4对应直线l2：y＝－x＋1.
作出直线l1和直线l2，如图，两条直线平行，故方程组无解.
三、板书设计
一次函数与二元一次方程组
1.二元一次方程组的解对应两条直线的交点坐标.
2.用图象法解方程组的步骤：写函数、作图象、找交点、下结论.
◇教学反思◇
　　学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数和二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为知识再创造的过程.
第3课时　一次函数与二元一次方程（组）的应用
◇教学目标◇
1.进一步体会函数与方程之间的联系.
2.利用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力.
◇教学重难点◇
教学重点
利用一次函数与二元一次方程（组）的相关知识解决实际问题.
教学难点
从函数图象中获取信息.
◇教学过程◇
一、情境导入
在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧过程中剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时，y与x的函数关系式.
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相同（不考虑都燃尽时的情况）？
（3）在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛矮？
你会解答上面的问题吗？学完本节知识，相信你一定能很快得出答案.
二、合作探究
探究点　一次函数与二元一次方程（组）的应用
典例　某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客6折优惠.该单位应选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？
［解析］　设该单位参加旅游人数为x（其中x>0，且为正整数），旅游总费用为y元.选甲旅行社，应付80x元；选乙旅行社，应付（60x＋1000）元.
记y1＝80x，y2＝60x＋1000.
方法一：在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象（如图），y1与y2的图象交于点（50，4000）.
观察图象，可得：
①当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用一样；
②当人数为1~49时，选择甲旅行社费用较少；
③当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少.
方法二：设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y元，则y＝y1－y2＝80x－（60x＋1000）＝20x－1000.
画一次函数y＝20x－1000的图象，如图，它与x轴的交点为（50，0）.
由图可知：
①当x＝50时，y＝0，即y1＝y2，选择甲或乙旅行社费用一样；
②当x>50时，y>0，即y1>y2，选择乙旅行社费用较少；
③当0三、板书设计
一次函数与二元一次方程（组）的应用
择优方案等问题.
◇教学反思◇
　　本节课培养学生的形象思维及数学应用能力，同时培养学生热爱生活的意识，通过方程和函数的研究，建立良好的知识联系.
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