资源简介

13.2　命题与证明
第1课时　命　题
◇教学目标◇
1.了解定义、命题、真命题、假命题的意义.
2.了解原命题、逆命题的意义.
3.会判断一个命题的真假，能用举反例的方法判断命题的真假，会写出一个命题的逆命题.
4.对命题有初步的了解，训练学生的逻辑思维.
5.通过对命题真假的判断，培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.让学生积极参与教学活动，对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲.
◇教学重难点◇
教学重点
学习命题的概念及命题的条件和结论.
教学难点
区分命题的条件和结论及反例.
◇教学过程◇
一、情境导入
上一节课中，我们研究三角形的性质是通过折叠、剪拼或度量得到三角形的内角和为180°的，但这些做法都会出现很多误差，会存在疑问.有没有更准确更严格的方法得出结论呢？
二、合作探究
问题1：推理是一种思维活动，人们在思维活动中，常常要对事物的情况做出种种判断.例如：（1）北京是中华人民共和国的首都；（2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；（3）1＋1<2；（4）如果一个整数的各个位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.
判断哪些是正确的，哪些是错误的？
结论：（1）（2）（4）是正确的，（3）是错误的.
问题2：什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？
结论：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题，其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
探究点1　命题的概念
典例1　判断下面语句中哪些是命题.
（1）请关上窗户.
（2）你明天上学吗？
（3）欢迎光临！
（4）合肥市是安徽省的省会.
［解析］　（4）是命题，（1）（2）（3）不是命题.
问题3：（1）命题的一般形式是什么？
（2）什么叫原命题、逆命题？
（3）什么叫反例？
结论：（1）命题的一般形式是“如果p，那么q”或“若p，则q”.
（2）将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题.
（3）符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例.
探究点2　命题的构成
典例2　指出下列命题的条件与结论：
（1）如果∠A＝∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等；
（2）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行.
［解析］　（1）“∠A＝∠B”是条件，“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.
（2）“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论.
探究点3　互逆命题及反例
典例3　写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）如果a＝0，那么ab＝0.
［解析］　（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.
（2）逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题.
反例：当a＝1，b＝0时，ab＝0，而a≠0.
三、板书设计
命　题
命题可以判断真假，分为真命题、假命题.
题设与结论：如果……那么……
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
反例：符合命题条件，不满足命题结论.
◇教学反思◇
　　在教学上主要采用“举一”，让学生独立思考，自由交流，集思广益，从而达到“反三”的目的，尽可能地调动更多学生主动参与，交流、沟通自身思维，碰撞构建新的认知结构，从而准确地判断命题的真假，对于假命题举出反例.
第2课时　命题的证明
◇教学目标◇
1.理解和掌握定理的概念，了解证明的概念.
2.掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用所学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
3.对证明的基本步骤和书写格式了解，训练学生的逻辑思维.
4.初步培养学生将生活语言转化为几何语言的能力，锻炼学生的逻辑思维.
◇教学重难点◇
教学重点
证明的方法与过程.
教学难点
格式化证明语言.
◇教学过程◇
一、情景导入
下面两个图片中，中心的两个圆形哪个大？
眼见未必为实，实践出真知！
二、合作探究
探究点1　基本事实与定理
典例1　命题“对顶角相等”是 （　　）
A.角的定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
［解析］　D
探究点2　推理与证明
典例2　已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1＝∠2.
求证：a∥b.
［解析］　∵∠1＝∠2，（已知）
又∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∴∠2＝∠3，（等量代换）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
变式训练　已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
［解析］　∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（已知）
∴∠1＝∠AOB，∠2＝∠BOC.（角平分线的定义）
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，（已知）
∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝90°，（等式的性质）
∴OE⊥OF.（垂直的定义）
三、板书设计
命题的证明
命题的证明
◇教学反思◇
　　命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性，这要求学生能写出证明的步骤并能做到步步有据.
第3课时　三角形内角和定理的证明及推论1，2
◇教学目标◇
1.掌握三角形内角和定理及其推论.
2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3.探索并理解三角形的内角和定理，会灵活运用三角形内角和定理及推论1，2.
4.经历探索并证明三角形内角和定理的过程，让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理及推论1，2.
5.通过三角形内角和定理的证明，让学生体会到数学的严谨性和推理的用途，让学生积极参与活动、积极思考发言，使他们养成良好的学习习惯，提高学习和探索数学的兴趣.
◇教学重难点◇
教学重点
三角形内角和定理的证明，三角形内角和定理及其推论1，2.
教学难点
三角形内角和定理的证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图，小学的时候我们通过度量或剪拼得到：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
现在你能用我们学习的方法给出证明吗？
二、合作探究
探究点　三角形内角和定理的应用
典例1　如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，如果∠A＝47°，∠ADB＝116°，求∠ABC和∠C的度数.
［解析］∵∠A＝47°，∠ADB＝116°，
∴∠ABD＝180°－47°－116°＝17°.
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝34°，
∴∠C＝180°－47°－34°＝99°.
变式训练　如图，在△ABC中，∠BAC＝56°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC＝ （　　）
A.102° B.112° C.115° D.118°
［答案］　D
典例2　如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAD＝40°，∠AED＝100°，∠CDE＝45°，求∠CAD的度数.
［解析］　在△ABD中，∵∠B＝65°，∠BAD＝40°，
∴∠BDA＝180°－（∠B＋∠BAD）＝180°－（65°＋40°）＝75°.
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝180°－（∠BDA＋∠CDE）＝180°－（75°＋45°）＝60°.
在△ADE中，∵∠AED＝100°，
∴∠CAD＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－60°－100°＝20°.
变式训练　完成下面的推理过程：
如图，在△ABC中，已知∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠A，试说明∠CFD＝∠B.
［解析］　∵∠2＋∠DEF＝180°（邻补角定义），∠2＋∠3＝180°（已知），
∴　　　　　　　　（同角的补角相等），
∴AC∥EF（　　　　　　　　），
∴∠CDF＝　　　　　　　　（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1＝∠A（已知），
∴∠CDF＝∠A（等量代换），
∴DF∥AB（　　　　　　　　），
∴∠CFD＝∠B（　　　　　　　　）.
［答案］　∠DEF＝∠3；内错角相等，两直线平行；∠1；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等.
三、板书设计
三角形内角和定理的证明及推论1，2
三角形内角和定理
的证明及推论1，2
◇教学反思◇
　　本节课主要是通过小学的探究形式，引导学生作辅助线，对三角形的内角和等于180°进行严谨的证明，慢慢培养学生对证明的理解，逐步认识几何证明的必要性.在解决问题的过程中，关注学生在推理中语言使用的准确性，引导学生用规范的格式进行书写.
第4课时　三角形的外角
◇教学目标◇
1.了解三角形的外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决问题.
2.经历观察、探索、交流等过程，增强表达能力和推理能力.
3.通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.
◇教学重难点◇
教学重点
三角形的外角的性质.
教学难点
探究三角形外角的性质，进行相关计算.
◇教学过程◇
一、情境导入
两只野狼在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食，野狼打算用迂回的方式，一只先从A前进到B处，然后再折回在C处截住野牛返回牛群的去路D处，另一只则直接从A处扑向野牛.已知∠BAC＝40°，∠ACB＝70°，问野狼从B处要转多少度才能直达C处？
二、合作探究
探究点1　三角形的外角
典例1　如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝25°，∠ACE＝60°，则∠A＝ （　　）
A.105° B.95°
C.85° D.25°
［解析］　先根据角平分线的性质求出∠ACD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°.∵∠B＝25°，∴∠A＝120°－25°＝95°.
［答案］　B
变式训练　一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 （　　）
A.120° B.135°
C.150° D.165°
［答案］　D
探究点2　三角形外角的性质的应用
典例2　已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
［解析］　∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，
∠2＝∠BAC＋∠ACB，
∠3＝∠BAC＋∠ABC，
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠ACB＋∠BAC）.（等式性质）
∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，（三角形内角和定理）
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
三、板书设计
三角形的外角
三角形的外角
◇教学反思◇
　　本节课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学，在讲解外角和内角关系时层层递进，使重点得到突出；及时根据学生学习的情况进行点评和分析；对于易错问题及时讲解，此外注意指导学生总结解题思路和方法，让学生对所学知识的掌握更到位.
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