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3.1 列代数式表示数量关系
【知识点1】代数式
1．代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式，如2，-3．1，m都是代数式．
2．代数式的书写要求：
（1）数字与字母或字母与字母相乘：乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
（2）数字因数是1或–1：“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）数字因数是带分数：将带分数化成假分数，如；
（4）式子中出现除法：写成分数的形式，如；
（5）代数式是和或差的形式且后面有单位：把式子用括号括起来，如（a-b）千克．
例1：
【例1】　（2024秋 湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　）
A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D．
【例2】　（2024秋 西峡县期末）买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　）
A．买3个足球和2个篮球需要的钱
B．买2个足球和3个篮球需要的钱
C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱
D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱
【例3】　（2024秋 林州市期末）下列式子中，符合代数式书写的是（　　）
A． B． C．xy÷3 D．x×y
【例4】　（2024秋 济宁期末）下列各式中，是代数式的是（　　）
A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9
【例5】　（2024秋 平南县期末）下列不属于代数式的是（　　）
A．2 B．4ab C．5x+y D．a＝1
【知识点2】列代数式
1．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式．
2．列代数式的步骤：
（1）分析条件，找出数量关系．
（2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系．
3．用字母表示数或数量关系：
（1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同．
（2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示．
（3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）．
（4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来．
例1：
【例6】　（2025春 盐湖区期末）如图是一幅边长为m的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为n的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成痕边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是（　　）
A．m+2n与2n B．2m+n与n C．m+n与2n D．m+n与4n
【例7】　（2025春 宁阳县期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A．x2+5x B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x
【例8】　（2025春 腾冲市校级期末）受新冠疫情和国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为a元，第二次上涨率为x，则经历两次上涨后的价格为（　　）
A．a（1+3x）2 B．a（1+3x）
C．a（1+x）2 D．a（1+x）（1+2x）
【例9】　（2025春 瑶海区校级期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（　　）
A．a% B．1﹣2a% C．（1+a%）a% D．（1﹣2a%）a%
【例10】　（2025 普陀区二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（　　）
A．分 B．分
C．分 D．分
【知识点3】反比例关系
1．反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
2．反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数．
3．两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小．
4．正比例关系与反比例关系的区别：
正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）．
反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）．
例1：
【例11】　（2024秋 武陟县期末）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　）
x ﹣3 △
y 4 ﹣6
A．4.5 B．﹣4.5 C．2 D．﹣2
【例12】　（2025春 香坊区校级月考）表示x和y成反比例关系的式子是（　　）
A．y﹣x＝6 B． C．x÷y＝6 D．y+x＝6
【例13】　（2025春 南岗区校级期中）下面题中的两种量成反比例关系的是（　　）
A．正方体的表面积和它的棱长
B．圆锥的高一定，它的体积和底面积
C．平行四边形的面积一定，它的底和高
D．三角形的高不变，它的底和面积
【例14】　（2024秋 嘉祥县期末）下列图中，两个量a和b成反比例关系的是（　　）
A．线段总长为1 B．圆柱体积为1
C．三角形面积为1 D．长方体体积为1
【例15】　（2024秋 盖州市期末）下面各选项中的两个量，成反比例关系的是（　　）
A．路程一定，速度与时间
B．时间一定，路程与速度
C．单价一定，总价与数量
D．数量一定，总价与单价中小学教育资源及组卷应用平台
3.1 列代数式表示数量关系
【知识点1】代数式
1．代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式，如2，-3．1，m都是代数式．
2．代数式的书写要求：
（1）数字与字母或字母与字母相乘：乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
（2）数字因数是1或–1：“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）数字因数是带分数：将带分数化成假分数，如；
（4）式子中出现除法：写成分数的形式，如；
（5）代数式是和或差的形式且后面有单位：把式子用括号括起来，如（a-b）千克．
例1：
【例1】　（2024秋 湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　）
A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D．
【答案】B．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意；
选项B正确，故此选项符合题意；
选项C正确的书写格式是4m，故此选项不符合题意；
选项D正确的书写格式是，故此选项不符合题意．
故选：B．
【例2】　（2024秋 西峡县期末）买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　）
A．买3个足球和2个篮球需要的钱
B．买2个足球和3个篮球需要的钱
C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱
D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱
【答案】B
【分析】根据题意可知2个足球需2x元，买3个篮球需3y元，即可解答．
【解答】解：根据题意可知，（2x+3y）表示的是买2个篮球和3个足球共需多少元．
故选：B．
【例3】　（2024秋 林州市期末）下列式子中，符合代数式书写的是（　　）
A． B． C．xy÷3 D．x×y
【答案】A
【分析】根据代数式的书写规则分别判断即可．
【解答】解：（A）该代数式的书写符合要求，
∴A符合题意；
（B）带分数应写成假分数的形式，
∴B不符合题意；
（C）除法运算要写成分数的形式，
∴C不符合题意；
（D）字母与字母相乘时，乘号一般要省略，
∴D不符合题意；
故选：A．
【例4】　（2024秋 济宁期末）下列各式中，是代数式的是（　　）
A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9
【答案】A
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
【解答】解：A．3x+y，是代数式；
B．n+2＞3，是不等式，不是代数式；
C．，是等式，不是代数式；
D．5.89≈5.9，是不等式，不是代数式．
故选：A．
【例5】　（2024秋 平南县期末）下列不属于代数式的是（　　）
A．2 B．4ab C．5x+y D．a＝1
【答案】D
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
【解答】解：A.2，是代数式；
B.4ab，是代数式；
C.5x+y，是代数式；
D．a＝1，是等式，不是代数式．
故选：D．
【知识点2】列代数式
1．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式．
2．列代数式的步骤：
（1）分析条件，找出数量关系．
（2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系．
3．用字母表示数或数量关系：
（1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同．
（2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示．
（3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）．
（4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来．
例1：
【例6】　（2025春 盐湖区期末）如图是一幅边长为m的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为n的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成痕边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是（　　）
A．m+2n与2n B．2m+n与n C．m+n与2n D．m+n与4n
【答案】D
【分析】观察图形可知，镶边用的长方形花纸的宽为n，总长为4个m+n，依此可得这张长方形花纸相邻两边的长．
【解答】解：观察图形可知，镶边用的长方形花纸的宽为n，总长为4个m+n，
则镶边用的长方形花纸的面积为4n（m+n），
A、2n（m+2n）≠4n（m+n），不符合题意；
B、n（2m+n）≠4n（m+n），不符合题意；
C、2n（m+n）≠4n（m+n），不符合题意；
D、4n（m+n）＝4n（m+n），符合题意．
故选：D．
【例7】　（2025春 宁阳县期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A．x2+5x B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x
【答案】A
【分析】根据图形，用代数式表示出图中阴影部分的面积，即可得到答案．
【解答】解：A、图中阴影部分面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，原说法错误，符合题意，
B、图中阴影部分面积为：x（x+3）+6，原说法正确，不符合题意，
C、图中阴影部分面积为：x2+3（x+2），原说法正确，不符合题意，
D、图中阴影部分面积为：（x+3）（x+2）﹣2x，原说法正确，不符合题意．
故选：A．
【例8】　（2025春 腾冲市校级期末）受新冠疫情和国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为a元，第二次上涨率为x，则经历两次上涨后的价格为（　　）
A．a（1+3x）2 B．a（1+3x）
C．a（1+x）2 D．a（1+x）（1+2x）
【答案】D
【分析】先确定第一次涨价率为2x，再分别表示第一次上涨后的价格，第二次上涨后的价格即可．
【解答】解：根据题意可知第一次涨价率为2x，
则第一次上涨后的价格为a（1+2x）元，
所以第二次上涨后的价格为a（1+2x）（1+x）元．
故选：D．
【例9】　（2025春 瑶海区校级期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（　　）
A．a% B．1﹣2a% C．（1+a%）a% D．（1﹣2a%）a%
【答案】D
【分析】设1月份的利润为m，2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，则2月份的利润为m（1+2a%）；3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则3月份的利润为m（1+2a%）（1﹣a%），进而可计算出该公司3月份比1月份利润增长了多少．
【解答】解：设1月份的利润为m，
∵2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，
∴2月份的利润为m（1+2a%）；
∵3月份的利润比2月份的利润下降了a%，
∴3月份的利润为m（1+2a%）（1﹣a%）；
[m（1+2a%）（1﹣a%）﹣m]÷m＝a%﹣2a% a%＝（1﹣2a%）a%．
∴该公司3月份比1月份利润增长（1﹣2a%）a%．
故选：D．
【例10】　（2025 普陀区二模）某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（　　）
A．分 B．分
C．分 D．分
【答案】D
【分析】根据题意，所有男生的总分是20a，所有女生的总分是18b，则全体学生的总分是20a+18b；再除以总人数即可得到答案．
【解答】解：根据题意，该班所有男生的总分是20a，所有女生的总分是18b，
则全体学生的总分是20a+18b；
班级总人数为20+18＝38（人），
那么该班全体学生的平均分是分．
故选：D．
【知识点3】反比例关系
1．反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
2．反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数．
3．两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小．
4．正比例关系与反比例关系的区别：
正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）．
反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）．
例1：
【例11】　（2024秋 武陟县期末）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　）
x ﹣3 △
y 4 ﹣6
A．4.5 B．﹣4.5 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，由此即可求解．
【解答】解：设△表示的数是a，
∵x和y两个量成反比例关系，
∴﹣6a＝﹣3×4，
∴a＝2．
∴△表示的数是2．
故选：C．
【例12】　（2025春 香坊区校级月考）表示x和y成反比例关系的式子是（　　）
A．y﹣x＝6 B． C．x÷y＝6 D．y+x＝6
【答案】B
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例，据此进行判断即可．
【解答】解：A．它们的积不是定值，故此选项不符合题意；
B．它们的积是定值，是反比例函数，故此选项符合题意；
C．它们的积不是定值，故此选项不符合题意；
D．它们的积不是定值，故此选项不符合题意；
故选：B．
【例13】　（2025春 南岗区校级期中）下面题中的两种量成反比例关系的是（　　）
A．正方体的表面积和它的棱长
B．圆锥的高一定，它的体积和底面积
C．平行四边形的面积一定，它的底和高
D．三角形的高不变，它的底和面积
【答案】C
【分析】根据两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，即可分析得出答案．
【解答】解：A．正方体的表面积和它的棱长不成比例，选项不符合题意；
B．圆锥的高一定，它的体积和底面积成正比例，选项不符合题意；
C．平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例，选项正确，符合题意；
D．三角形的高不变，它的底和面积成正比例，选项不符合题意．
故选：C．
【例14】　（2024秋 嘉祥县期末）下列图中，两个量a和b成反比例关系的是（　　）
A．线段总长为1 B．圆柱体积为1
C．三角形面积为1 D．长方体体积为1
【答案】C
【分析】先分别求出a和b的关系，再断．
【解答】解：A：a+b＝1，
B：a2πb＝1，
C：ab＝1，
D：ab2＝1，
故选：C．
【例15】　（2024秋 盖州市期末）下面各选项中的两个量，成反比例关系的是（　　）
A．路程一定，速度与时间
B．时间一定，路程与速度
C．单价一定，总价与数量
D．数量一定，总价与单价
【答案】A
【分析】判断x与y是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果乘积不一定，就不成反比例，据此进行逐项分析再选择．
【解答】解：A．路程一定，速度与时间成反比例关系，故本选项符合题意；
B．时间一定，路程与速度成正比例关系，故本选项不符合题意；
C．单价一定，总价与数量成正比例关系，故本选项不符合题意；
D．数量一定，总价与单价，成正比例关系，故本选项不符合题意；
故选：A．

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