资源简介

2.2.1 有理数的乘法
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 有理数的乘法
教科书 书 名：义务教育教科书《数学》七年级下册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2024 年 7 月
教学目标
1.经历有理数乘法法则的探究过程，理解有理数的乘法法则，发展抽象能力. 2.掌握有理数乘法运算，提升运算能力.
教学内容及重难点
本课时教学内容的功能和地位 本节课的主要内容是有理数乘法法则，其数学本质是将有理数的乘法运算由小学的算术 运算扩充为在有理数范围内的运算，确定积的符号问题。 有理数的乘法既是有理数加减法的深入，也是有理数除法、有理数乘方等运算的基础， 还是整个初中学段乃至更高学段最基本的运算之一，为学生今后学习实数、代数式、方程、 不等式以及函数等知识奠定了基础。 本节课通过合情推理的方式，得到“怎样进行有理数的乘法运算”的结论，从而使学生学 生体会有理乘法法则的合理性。与加法法则一样，正数乘负数、负数乘负数的法则，也要从 符号和绝对值两个角度进行分析。 基于以上分析，确立本节课的教学重点为：有理数的乘法法则。
。 教学重点：有理数的乘法法则。 教学难点：从给定的乘法算式中概括乘法算式的规律。
教学过程
【问题引入】 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数。数系的扩充包括两个要素，一个是扩大 数的范围，一个是扩充运算。 问题 1 ：前面我们学习了有理数的加法运算，两个有理数相加分为哪几种情况呢？ 同号两数相加（正数+正数、负数+负数） 异号两数相加（正数+负数、负数+正数） 一个数与 0 相加（正数+0 、负数+0 、0+0） 问题 2 ：有理数的加法和小学学过的加法有什么不同呢？ 与小学所学加法不同的是，有理数的加法需要从符号和绝对值两个角度进行分析。 与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算，小学时学习的乘法、除法运算 也可以推广到有理数范围内。本节课，我们就来探究有理数的乘法。 问题 3 ：在有理数范围内，两个有理数相乘可分为几种情况呢？ 类比有理数的加法，有理数的乘法同样可以分为同号两数相乘、异号两数相乘、一个数 与 0 相乘三种情况。 同号两数相乘（正数×正数、负数×负数） 异号两数相乘（正数×负数、负数×正数） 一个数与 0 相乘（正数×0 、负数×0 、0×0） 在有理数范围内，我们已经熟悉正数及 0 的乘法，即正数与正数相乘、正数与0 相乘以 及 0 与0 相乘。数的范围扩大到了有理数后，我们希望在有理数范围内，所有数都能像正数 及 0 一样进行乘法运算，并使乘法运算具有一致性，那么剩下的其他几种情况，该怎样进行 有理数的乘法运算呢？下面我们来进行探究。 设计意图：类比有理数加法的探究思路，引出两个有理数相乘有几种情况，引出本节课 所学内容。
(
随着前一乘数逐次递
减
1
，积逐次递减
3
。
) (
随着后一乘数逐次递
减
1
，积逐次递减
3
。
)【新知探究】 问题 4 ：请同学们分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ (
(2)
3×3=9
，
2×3=6
，
1×3=3
，
0×3=0.
)(1) 3×3 = 9， 3×2 = 6， 3×1 = 3， 3×0 = 0； 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： (
(4)
(
－
1)×3=
，
(
－
2)×3=
，
(
－
3)×3=
.
)(3) 3×(－1)=－3 ， 3×(－2)= ， 3×(－3)= . 追问 1 ：观察第（1）列算式，可以发现随着后一乘数逐次递减 1 ，积逐次递减 3 。要使 这个规律在引入负数后仍然成立，那么第（3）列算式应填什么？ 追问 2 ：观察第（2）列算式，可以发现随着前一乘数逐次递减 1 ，积逐次递减 3 。要使 这个规律在在引入负数后仍然成立，那么第（4）列算式应填什么？ 师生活动：学生观察算式，从中概括规律，完成第（3）（4）列算式。教师给出正确答案。 至此，我们一共得到了4 列算式。 设计意图：引导学生通过合情推理的方式来认识“如果原有的运算规律仍然成立，那么 正数×负数、负数×正数该得到什么结果 ”. 问题 5 ：请同学们从符号和绝对值两个角度分别观察这 4 列算式，并进行归纳。 观察第（1）、（2）列算式，我们可以发现，这两列算式都是正数与正数相乘，积为正数。 再来观察第（3）列算式，从符号的角度，我们可以发现，他们是正数乘负数，积为负数； 从绝对值的角度来看，可以归纳为：积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 观察第（4）列算式，从符号的角度看，是负数乘正数，积也为负数；从绝对值的角度来 看，可以归纳为：积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 师生活动：师生共同归纳总结如下： 正数乘正数，积为正数，正数乘负数积为负数，负数乘正数，积也为负数，积的绝对值 等于乘数的绝对值的积。 设计意图：进行阶段性总结，从符号和绝对值两个角度，进行归纳出正数乘正数、正数 乘负数、负数乘正数三种情况的结论。 追问 1 ：负数×负数是什么情况呢？
问题 6 ：利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？ (5) (－3)×3 = ， (－3)×2 = ， (－3)×1 = ， (－3)×0 = . 按照上述规律，下面的空格中应各填什么数？ (6) (－3)×(－1)= ， (－3)×(－2)= ， (－3)×(－3)= . 追问 1 ：观察第（5）列算式，可以发现随着后一乘数逐次递减 1 ，积逐次增加 3 。按照 上述规律，第（6）列空格中应各填什么数？ 问题 7 ：请同学们从符号和绝对值两个角度观察我们刚刚得到的算式（6），可以归纳出 什么结论呢？ 从符号的角度看，负数乘负数，积为正数； 从绝对值的角度来看，所以不难归纳出：积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 设计意图：引导学生从符号和绝对值两个角度，进一步归纳出负数×负数的运算结果。 师生活动：师生共同归纳总结如下： 正数乘正数，积为正数； 负数乘负数，积为正数； 正数乘负数，积为负数； 负数乘正数，积为负数； 积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 追问 1 ：这个结论，能否进一步简化呢？ 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 追问 2 ：对于任意两个有理数相乘的类型，我们是不是都考虑全了呢？ 还有与0 相乘的情况，这里和小学的规定一样，任何数与0 相乘，都得 0。 师生活动：共同归纳总结有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与0 相 乘，都得 0。 设 a 、b 为正有理数，c 为任意有理数， (+a) ×(+b)=a×b, (－a) ×(－b)=a×b;
(－a) ×(+b)=－(a×b), (+a) ×(－b)=－(a×b); c×0 = 0, 0×c = 0. 显然，我们可以看出，两个有理数相乘，积是一个有理数。 设计意图：师生共同归纳出有理数乘法法则，并给出有理数乘法法则的形式化表示，意 在进一步培养学生的符号意识和抽象能力。 【典型例题】 例 1 计算： （3）- 6 × 0 ； （4） . 师生活动：学生独立完成例 1 ，师生共同总结计算两个有理数相乘的一般步骤： 第一步：我们先确定积的符号；第二步，我们再确定积的绝对值。 这里两个负数的乘积为 1，在小学两个正数的乘积为 1，这两个数互为倒数，扩充到有理 数范围内，这个定义仍然适用，乘积是 1 的两个数互为倒数。 例 2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为－6 ℃ , 登高 3 km 后，气温有什么变化？ 设计意图：例 1 ，一方面是将其作为运用有理数的乘法法则进行运算的实例，另一方面 在这里给出倒数的概念，下面要学的有理数的除法法则作准备。例 2 用有理数乘法解决实际 问题，体现数学的应用价值。 【巩固练习】 1. 写出下列各数的倒数： -1； 0.25； 5 . 2. 已知 a 、b 是有理数，用“ ＞ ”或“ ＜ ”填空： （1）如果 a＞0, b＜0 ，那么 a × b____0； （2）如果 a＜0, b＜0 ，那么 a × b____0； （3）如果 a × b＞0 ，a + b＜0,那么 a____0, b____0. 设计意图：巩固本节课所学的有理数的乘法法则. 【课堂小结】 本节课我们从数系扩充的视角探究了有理数的乘法法则，通过对比、观察乘法算式的结 构特征和变化规律，经历了从具体到抽象，归纳、总结法则的过程。
1. 本节课，我们学习了哪些内容？我们是如何研究的？
设计意图：引导学生进行课堂小结，回顾研究过程，建立单元研究框架。

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