资源简介

2.1 认识一元二次方程（第2课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版九年级上册数学第二章《一元二次方程》第一节“认识一元二次方程”第2课时，内容包括：一元二次方程的解及一元二次方程的解的估算。
2.内容解析
学生在学习一元二次方程之前已经掌握了一元一次方程等的概念、解法及应用。一元二次方程和一元一次方程在形式上有相似性，这为学生通过类比学习一元二次方程提供了良好的认知基础。本节课在上一课时对一元二次方程概念的认知基础上，进一步探究一元二次方程解的情况。在已有方程求解认知基础上，拓展到一元二次方程领域，让学生理解求解本质是寻找使方程成立的未知数的值。学生在之前学习一元一次方程、二元一次方程时，已掌握代入检验方程解的基本方法。本节课在此基础上，通过多次代入不同数值进行尝试，观察结果与目标值的差距，逐步缩小范围以逼近近似解。此过程能培养学生的数感和推理能力，这为后续学习精确解法及理解方程与函数的联系奠定基础，是从认识到应用方程的重要过渡。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解一元二次方程解的含义，掌握代入数值尝试、逐步逼近等寻找方程解或近似解的方法。
1.教学目标
（1）通过对实际问题转化为一元二次方程及探究其解的过程，能准确说出一元二次方程解的含义，发展数学抽象素养。
（2）通过代入数值尝试、逐步逼近等方法寻找一元二次方程解或近似解的实践，能熟练运用这些方法解决相关问题，发展数学运算和逻辑推理素养。
（3）通过结合实际问题情境探究方程解的情况，能分析解的合理性并解释其实际意义，发展数学建模和数据分析素养。
2.目标解析
（1）生能清晰且准确地表述出一元二次方程解的定义，能判断一个给定的数值是否为某个一元二次方程的解，在面对不同的一元二次方程时，都能依据定义进行相关判断，体现出对这一概念的准确把握。
（2）学生能熟练运用代入数值尝试的方法，通过多次代入不同数值，观察方程左右两边的结果，逐步缩小范围以找到一元二次方程的解或近似解；在解决相关问题时，能清晰地展现出推理过程，运算过程准确无误，能高效解决类似的求解问题。
（3）学生在面对实际问题转化而成的一元二次方程时，能结合问题的实际背景，分析所找到的解是否符合实际情况，能清晰地解释解在该实际情境中的具体意义，比如在面积问题中，解所代表的长度是否合理等，体现出将数学知识与实际情境相结合的能力。
学生在之前的学习中，已经系统掌握了一元一次方程、二元一次方程组等的解的概念，明确知道 “使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解”，并且能够熟练运用移项、合并同类项等方法求解一元一次方程，对二元一次方程组也能通过代入消元、加减消元等方法求解，这为理解一元二次方程解的含义奠定了一定的基础。但由于一元二次方程的形式相对复杂，未知数的最高次数为 2，学生对其解的探究较为陌生。在教学过程中，预估学生会遇到一些困难：在运用代入尝试、逐步逼近法时，很多学生可能不知道如何合理选择初始数值，导致多次尝试后仍不能有效缩小范围，浪费时间且效率低下；部分学生在计算过程中容易出现运算错误，影响对结果的判断；在结合实际情境分析解的合理性时，学生往往容易只关注方程的数学解，而忽略实际意义对解的限制，比如在计算人数、长度等问题时，出现负数解也认为是合理的，不能将数学解与实际情况有效关联。
1.针对学生在代入尝试、逐步逼近法中难以合理选择初始数值的问题，可引导学生先观察方程特点，如系数大小、常数项等，结合实际情境确定未知数的大致取值范围，再从范围中点或整数开始尝试，同时示范如何根据计算结果（如左边大于右边则减小数值，反之增大数值）调整范围；
2.对于运算错误，可通过小组互查、错题展示分析等方式，强调运算步骤的规范性，还可让学生总结易错点，强化计算准确性；
3.在分析解的合理性时，可结合具体实例，明确实际问题中量的限制条件（如长度为正、人数为非负整数等），引导学生对比解与实际条件，通过提问 “这个解在实际中可能存在吗” 等引发思考，加深对解的实际意义的理解。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：估算一元二次方程的解。
1.复习回顾
（1）什么样的方程是一元二次方程？其一般形式是什么？
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程.
我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
（2）请写出一个一元二次方程，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（3）再出示几个方程，如 “5x - 3x = 0、3x + 2 = 5、x + 2y - 1 = 0”，让学生判断是否为一元二次方程，并说明依据。
（设计意图：强化学生对上一课时一元二次方程概念及一般形式的掌握，巩固对相关要素的识别能力，为本节课探究一元二次方程的解做好知识衔接，确保学生在已有知识基础上进入新知识学习。）
（教学建议：采用提问与抢答结合的方式，调动学生积极性。对学生的举例和判断，重点关注其是否准确把握 “只含一个未知数、未知数最高次数是 2、整式方程” 这三个要点，及时纠正错误认知。）
2.情景引入
问题：某学校要建一个面积为 120 m2的矩形花坛，已知花坛的长比宽多 2 m，求花坛的长和宽各是多少？你能列方程求解吗？
学生：设花坛的宽为 x m，则长为 (x+2) m.
根据题意可得方程 x(x + 2)=120，
整理得到 x + 2x - 120 = 0.
提问：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢？
（设计意图：通过课本实际情境，让学生经历 “实际问题 — 列方程 — 整理方程” 的过程，体会一元二次方程的实际意义，自然引出本节课 “探究一元二次方程的解” 的主题。）
（教学建议：引导学生自主分析数量关系，鼓励学生尝试列出方程，对于整理方程的过程，可让学生口述步骤，教师板书示范，强调移项要变号等细节。）
探究点1　一元二次方程的解
1.问题探究
提问：结合我们刚才列出的方程x + 2x - 120 = 0，思考一下，什么是一元二次方程的解呢？
引导学生通过类比一元一次方程解的含义，总结得出：
一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就被称作一元二次方程的解，也叫做方程的根。
追问：试判断一下，x = 10是不是方程x + 2x - 120 = 0的解呢？
计算过程：当x=10时，左边=102+2×10-120=0=右边，所以x=10是方程x + 2x - 120 = 0的解。
（设计意图：通过引导学生类比已学的一元一次方程解的含义，自主总结出一元二次方程解的概念，帮助学生建立新旧知识之间的联系，实现知识的迁移。借助具体方程的验证过程，让学生直观感受 “解” 的本质——使方程左右两边相等的未知数的值，从而深化对概念的理解，为后续学习求解方法奠定认知基础。）
（教学建议：在提问后，给学生留出充足的思考和讨论时间，鼓励他们结合已有知识大胆表达想法。当学生类比出现偏差时，不要直接否定，而是通过举例进行引导，让学生在对比中修正认知。在验证解时，可让学生自主计算并展示过程，教师重点强调 “左右两边相等” 这一关键条件，强化对概念的精准把握。同时，可补充一个反例让学生进一步明确 “不相等则不是解”，加深对概念的辨析。）
练一练
1.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0
∴9+4a=0
∴4a=-9
∴.
探究点2　估算一元二次方程的近似解
1.议一议
对于前一课时第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x（m）吗？
我们知道x满足方程（8-2x）（5-2x）=18.
(1) x可能小于0吗 x可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由.
解：x不可能小于0 。
根据题意，8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽，
所以8-2x>0，5-2x>0，
因此 x 不可能大于 4，也不可能大于 2.5.
(2)x的大致范围是多少？
解：x 的大致范围是 0(3)完成下表：
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
解：因为所求宽度 x 的大致范围是 02.做一做
在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
（x+6）2+72=102,
也就是 x2 +12 x - 15 = 0.
（1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？
解：将x=1代入方程x2 +12 x - 15 = 0，左边=12+12×1-15=-2≠0，
所以小明的说法不正确.
（2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？
解：将x=2代入方程x2 +12 x - 15 = 0，左边=22+12×2-15=13≠0，
将x=3代入方程x2 +12 x - 15 = 0，左边=32+12×3-15=30≠0，
所以底端滑动的距离不可能是 2 m 和 3 m.
（3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
解：∵x=1时，方程左边=-2＜0，x=2时，方程左边=13＞0，
∴x的大致范围是1（4）x 的整数部分是几？十分位是几？
小亮把他的求解过程整理如下：
∴1进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2,
因此x整数部分是1 ,十分位是1.
归纳总结：
求一元二次方程近似解的一般步骤：
（1）根据实际问题确定解的大致范围，并据此合理列表，算出对应的ax2 +bx+c值；
（2）根据表格确定解的范围，当相邻两个数，一个使ax2 +bx+c＞0，一个使ax2 +bx+c＜0，那么ax2 +bx+c=0的解就在这两个数之间.
（设计意图：借助层层深入的探究活动，帮助学生透彻理解一元二次方程解的含义，熟练掌握代入尝试法和逐步逼近法的基本思路，全方位培养学生的逻辑推理和估算能力，充分彰显北师大版教材 “从具体到抽象” 的知识呈现特色。）
（教学建议：代入尝试环节，组织学生分组进行计算，并认真记录结果。通过小组内的对比讨论，引导学生发现其中的规律。在逐步逼近法教学时，重点突出 “缩小范围” 的核心思想，指导学生仔细观察数值变化与结果符号之间的关系，切实体会 “夹逼” 方法的运用技巧。）
练一练
2.小亮同学在探究一元二次方程ax2 +bx+c＝0（a ≠ 0）的近似解时，填好了下面的表格：
根据以上信息，请你确定方程ax2 +bx+c＝0＝ 0的一个解的范围是3.24典例分析
例1：若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
例2：请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．
解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．
解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…
x 0 1 2 3 …
x2－2x－1 －1 －2 －1 2 …
由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x2－2x－1＜2；
(2)继续列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2－2x－1 －0.79 －0.56 －0.31 －0.04 0.25 …
由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x2－2x－1＜0.25；
(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45，
∴x≈2.4.
（设计意图：例 1 通过根据方程的解求参数，加深学生对一元二次方程解的含义的理解，学会利用解的定义解决相关问题；例 2 则强化学生对逐步逼近法的运用，提高估算能力，让学生进一步掌握求一元二次方程近似解的方法，同时培养学生严谨的思维习惯。）
（教学建议：在讲解例 1 时，要强调 “解满足方程” 这一核心要点，引导学生将解代入方程建立关于参数的方程进行求解；对于例 2，让学生自主尝试取值、计算和缩小范围，教师适时引导，提醒学生注意取值的合理性和计算的准确性，鼓励学生分享自己的估算思路和过程。）
1. 以-2为根的方程是（ ）
A.x2+2x-2＝0 　　　　　 B.x2-x-2＝0
C.x2+x+2＝0 　　　 　 D.x2+x-2＝0
2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是（ ）
A.2 　 　B.-1 C.-2 D.10
3.已知x＝1为方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0)的根，则a+b+c的值是（ ）
A.-2 B.0 C.-1 D.1
4.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.14
5.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)
x[来源:学 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A.3＜x＜3.2 B.3.23＜x＜3.24
C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
6.已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解.(精确到个位)
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C
6.解：列表计算：
x －2 －1 0 1 2 3 4
x2－2x－4 4 －1 －4 －5 －4 －1 4
所以－2进一步计算：
x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4
x2－2x－4 -0.59 -0.16 0.29 0.76
x 3.1 3.2 3.3 3.4
x2－2x－4 -0.59 -0.16 0.29 0.76
所以x≈－1或x≈3.
（设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，巩固方程解的判断方法和求解技巧，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。）
（教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.）
(设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。)
(教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆，例如 “我们运用了什么方法来求得方程的近似解呢？”)
1.必做题：习题2.2第1-2题。
2.探究性作业：习题2.2第3题。
2.2认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的解 一元二次方程解的估算 3. 例题区：（学生板演区域）
本节课基本达成教学目标，学生能理解一元二次方程解的含义，掌握代入尝试法和逐步逼近法。但教学中存在不足：一是部分学生对逐步逼近法的 “缩小范围” 思路理解不透彻，在估算时盲目取值；二是实际问题中解的合理性分析环节，学生容易忽略实际意义限制。亮点在于通过教材情境引入，激发了学生兴趣，例题设计贴合学情。后续需改进：在逐步逼近法教学中，增加直观演示，用数轴标注取值范围；加强实际问题与数学解的联系训练，通过小组讨论辨析解的合理性，提升学生的数学应用意识。

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