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15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
备课素材
新课导人设计
【情境导入】
在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”
小明假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小亮假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等．
老师告诉他们：“这种三条边都相等的三角形叫作等边三角形．”小明、小亮也发表了自己的看法，小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小亮认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．谁的看法更有道理呢？
教学设计
课题 15.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定 授课人
素养目标 1.能够准确理解等边三角形的定义，明晰等边三角形与等腰三角形的关系． 2．全面掌握等边三角形的性质，包括边、角及重要线段的特征；熟练运用等边三角形的判定方法，准确判定一个三角形是否为等边三角形． 3．能够灵活运用等边三角形的性质与判定，高效解决相关的几何计算和证明问题.
教学重点 探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.
教学难点 等边三角形的性质与判定的应用.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　前面我们学习了等腰三角形的性质与判定，请回答下面的问题： 1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？ 2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？ 学生回忆并回答，为学习本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，我们把这样的三角形叫作等边三角形． 观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 学生回答：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形． 怎样判定一个三角形是等边三角形呢？ 今天我们来研究等边三角形的性质与判定. 明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 一、等边三角形具有什么性质呢？ 1．用量角器量出等边三角形各个内角的度数，并提出猜想． 2．你能否用已知的知识通过推理得到你的猜想是正确的？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形“等边对等角”的性质得到三个角内都相等，又由三角形的内角和等于180°，从而推出每个内角都等于60°. 3．上面的条件和结论如何叙述？ 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 二、如何判定一个三角形是等边三角形？ 1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？ 2．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等方法，归纳等边三角形的判定方法： (1)三个角都相等的三角形是等边三角形． (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1.学生通过观察、思考、证明、归纳，培养自身的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯． 2．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察—实践—猜想—证明的创新思维过程.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第82页例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形． 想一想：本题还有其他证法吗？ 例2　如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)求证：CD＝CF. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDC＝180°－90°－60°＝30°. (2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°. ∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD. ∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°.∴CE＝CF. ∴CD＝CF. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. 初步运用等边三角形的性质与判定，让学生经历运用知识解决问题的过程，从而给学生一种通过自己思考获得成功的成就感，激发学生学习的积极性.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点． (1)求证：AD＝BE； (2)求∠DOE的度数； (3)求证：△MNC是等边三角形． 解：(1)证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE(SAS)． ∴AD＝BE. (2)∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE为等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°， ∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋∠BED＋60°＝∠BEC＋∠BED＋60°＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°. ∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°. (3)证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE. ∵M，N分别是线段AD，BE的中点， ∴AM＝AD，BN＝BE.∴AM＝BN. 在△ACM和△BCN中， ∴△ACM≌△BCN(SAS)．∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN. 又∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝60°. ∴∠BCN＋∠MCB＝60°. ∴∠MCN＝60°.∴△MNC是等边三角形.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．下列三角形，不一定是等边三角形的是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一边上的高也是这边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 2．在△ABC中，已知AB＝AC＝4 cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为12cm.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.如图，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90°． 4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝9 cm，点P从点C出发，沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿边BA向点A以5 cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s. (1)请用含t的代数式表示BP和BQ的长度； (2)请问移动几秒后，△PBQ为等边三角形？ 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝9 cm. ∵点P的速度为2 cm/s，时间为t s， ∴CP＝2t cm. ∴BP＝BC－CP＝(9－2t)cm. ∵点Q的速度为5 cm/s，时间为t s， ∴BQ＝5t cm. (2)若△PBQ为等边三角形，则BP＝BQ， 即9－2t＝5t，解得t＝. ∴当t＝时，△PBQ为等边三角形． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂检测是为了加深学生对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主，分层次进行检测，使学生思维得到拓展，能力得以提升.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)等边三角形的性质与判定方法分别有哪些？ (2)等边三角形及其性质与判定和等腰三角形有什么关系？ 2．布置作业： 教材第82页练习第1，2题，第84～85页习题15.3第5，10，11题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 1．等边三角形的性质． 2．等边三角形的判定方法. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过引导学生回顾等腰三角形的知识，类比探究等边三角形的性质与判定，大部分学生能够积极参与课堂活动，掌握基础知识和基本方法．但在例题讲解和课堂练习环节，发现部分学生在将等边三角形的性质与判定和其他几何知识综合运用时，存在一定困难，需要在今后的教学中加强练习和指导．同时，在小组合作学习中，个别小组的讨论效率不高，需要进一步培养学生的合作学习能力和团队协作精神. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
第2课时　含30°角的直角三角形的性质
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【情境导入】
如图，一艘轮船从A处出发，以10 n mile/h的速度向正北方向航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．已知这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上．
(1)画出礁石C的大致位置；
(2)轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？
教学设计
课题 15.3.2　第2课时　含30°角的直角三角形的性质 授课人
素养目标 1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质． 2．通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3．能够熟练运用该性质进行相关的计算和证明，解决一些简单的几何问题.
教学重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
教学难点 含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.等边三角形的性质与判定方法有哪些？ 2．在△ABC中，∠A＝60°，请补充一个条件，使△ABC是等边三角形． 学生回忆并作答. 复习巩固，为本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 1．请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角尺，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？ 2．探究：在这些图形中，轴对称图形有________个，其中三角形有________个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由． 3．你能借助如下拼出的△ABD，找到含30°角的Rt△ABC的直角边 BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？ 1.提出问题，创设情境． 2．学生经历拼摆三角尺和度量三角尺的活动，发现结论，同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．将两个含30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，观察并回答下面的问题： (1)判断△ABD的形状，依据是什么？ (2)线段BC与CD有什么数量关系？为什么？ (3)线段BC与AB有什么数量关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？ 师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论． 教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质． 归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2．问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？ 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其题设和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？ 师生活动：学生分析题设和结论，并转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发．延长BC 至点D，使CD＝BC，连接AD.学生分组讨论证明过程，板书演示．教师指导、纠错． 3．总结： 该性质的适用范围是什么？(直角三角形) 运用该性质可求什么？(计算和证明线段的倍分，揭示了含30°角的直角三角形中边的数量关系的特殊性) 1.通过实践操作，培养学生从一般到特殊转化的思想． 2．学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养自身的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第83页例5)如图，这是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD. ∴BC＝×7.4＝3.7(m)． 又∵AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)． 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系，同样通过边的关系也可以转化为角的关系． 考查学生对含30°角的直角三角形的性质的掌握.
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活动三：开放训练、体现应用 　　例2　上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若该船从海岛B继续向正北方向航行，求航行过程中船与灯塔C的最小距离． 解：过点C作CD⊥AN. 根据题意，得AB＝15×2＝30(海里)， 当船行驶到点D时，与灯塔的距离最小，即为CD的长度． ∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝15°. ∴∠NAC＝∠ACB. ∴BC＝AB＝30海里． ∵CD⊥AN，∠NBC＝30°， ∴CD＝BC＝15海里． ∴航行过程中船与灯塔C的最小距离为15海里． 【变式训练】 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E.求证：AE＝AB. 证明：连接AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C. ∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＝(180°－∠BAC)＝30°. ∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°. 在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB. 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝×AB＝AB. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，DE⊥AC于点E.若EC＝3，则DC的长为(C) A．4 B．5 C．6 D．7 第1题图)　　　 第2题图) 2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD与BD的比为(B) A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1 3．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作EF⊥AB于点E，交边BC的延长线于点F.若AE＝2，求BF的长． 解：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， ∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC. ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°－∠A＝30°. ∴CD＝AD＝2AE＝4.∴AC＝BC＝8. ∵∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB－∠CDF＝30°. ∴∠CDF＝∠F.∴CD＝CF＝4. ∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 学以致用，课堂检测能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提升.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)掌握含30°角的直角三角形的边角性质． (2)会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题． 2．布置作业： 教材第84页练习第1，2题，第85～86页习题15.3第7，12，15题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 15.3.2　等边三角形 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过学生动手操作、自主探究、小组讨论等方式，充分调动了学生的学习积极性，学生较好地理解和掌握了含 30° 角的直角三角形的性质．在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够运用性质解决相关问题，但仍有部分学生在辅助线的添加以及性质的灵活应用方面存在困难．在今后的教学中，应加强对这部分学生的辅导，增加一些针对性的练习，同时注重引导学生总结解题方法和规律，提高学生分析问题和解决问题的能力. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.

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