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14.2　三角形全等的判定
第1课时　用“SAS”判定三角形全等
备课素材
一、新课导人设计
【情境导入】
小名作业本上画的三角形的一边被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办呢？请你帮助小名想一个办法，并说明你的理由．
问题：三角形有六个要素，我们从这个残损的图形中能得到几个呢？(两边及其夹角)
引导学生观察分析，继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形．
二、数学文化拓展阅读
1979年，拿破仑发动政变建立了拿破仑帝国，他不仅是一位将军，同时也是一位数学天才．在一次战斗中，他指挥的部队与敌军在莱茵河两岸形成对峙，只见他站在岸边，面向敌军方向站好，调整好自己的帽子，使视线通过帽檐正好落在敌军的阵地上，然后他便测量出敌军阵地的距离，命令炮火攻击，炮弹像长了眼睛似的落在敌人的阵地上，打破了僵局，赢得了胜利．你知道拿破仑测出距敌军阵地距离的道理吗？
教学设计
课题 14.2　第1课时　用“SAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 1.掌握“边角边”的判定方法． 2．能初步应用“SAS”条件判定两个三角形全等． 3．会用“SAS”判定三角形全等解决生活实际中的问题.
教学重点 “边角边”判定方法的使用.
教学难点 探索三角形全等的条件.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.什么是全等三角形？ 2．全等三角形的性质有哪些？ 回顾旧知，为讲解新知识做铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 小刚到小名家去玩，发现小名正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小刚帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，如下图所示，这样只要测量A，C之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径．你想知道为什么吗？ 使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生学习新知的强烈欲望.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．已知△ABC，画一个△A′B′C′，使AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个△ABC. 先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法． 操作： (1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？ 总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． 通过上面的探究，你明白【课堂引入】中小刚的操作依据了吗？ 2．画△ABC和△DEF，使∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝5 cm，AC＝DF＝3 cm.观察所得的两个三角形是否全等？ 解：如图． 两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等． 方法归纳：应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点注意”： (1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系． (2)顺序：在应用时一定要按边、角、边的顺序排列条件，不能出现边、边、角(或角、边、边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等. 1.进一步学习三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件． 2．使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等． 3．培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第34页练习T1)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？ 分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件． 证明：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC(SAS)． ∴AB＝DE. 【变式训练】 1．如图，线段BE，DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C. 证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌ACD(SAS)． ∴∠B＝∠C. 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE. 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)． ∴BC＝DE. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由学生完成解答. 培养学生逻辑思维能力，巩固新知，学会用“SAS”条件判断三角形全等.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．下列条件能判定两个三角形全等的是(D) A．有两条边对应相等的两个三角形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形 C．有三角对应相等的两个三角形 D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形 2．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件AC＝BD，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD. 第2题图)　　　 第3题图) 3．如图，线段AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则AB和CD的位置关系是AB∥CD．若AB＝6 cm，则CD＝6cm. 4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E，F两点分别在边AB，AC上．若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数． 解：在△BDE和△CFD中， ∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴∠BDE＝∠CFD. ∴∠EDF＝180°－(∠BDE＋∠CDF)＝180°－(∠CFD＋∠CDF)＝180°－(180°－∠C)＝∠C＝(180°－∠A)÷2＝65°. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第34页练习第2题，第43页习题14.2第1，2题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 14.2　三角形全等的判定 第1课时　用“SAS”判定三角形全等 1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 2．证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　1.在教学过程中，要关注学生在探究活动和练习中的表现，及时了解学生对“SAS”判定方法的掌握程度． 2．对于学生在证明过程中出现的逻辑错误和书写不规范问题，要及时纠正和强化训练. 反思，更进一步提升.
第2课时　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
备课素材
新课导人设计
【复习导入】
问题1：三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
前面我们已经研究了两个三角形已知两边一角这种情况，今天我们接着研究已知两角一边是否可以判定两个三角形全等．
问题2：三角形中已知两角一边有几种可能？三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下来，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
【悬念激趣】
一天，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，为了画一块完全一样的玻璃，他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店，小明的想法可行吗？若可行，你认为小明应该拿哪块玻璃去呢？为什么？请同学们讨论一下．(思考后请同学们回答)
教学设计
课题 14.2　第2课时　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 1.掌握“角边角”或“角角边”的判定方法． 2．能初步应用“角边角”或“角角边”条件判定两个三角形全等． 3．会类比“ASA”的判定方法，得到“AAS”的判定方法.
教学重点 “角边角”或“角角边”判定方法的使用.
教学难点 分析问题，探索三角形全等的条件.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 2．三角形中，已知两角一边有几种可能？ 复习学过的旧知识，为新知识的建构打基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如图， 一块三角形玻璃被小明不小心打碎了，他可以带着这片碎玻璃去重新配一块与原来一样的三角形玻璃吗？ 从生活中常见的问题出发，引起学生的兴趣，激发学生学习新知的欲望.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”) 教师提问：三角形中已知两角一边有几种可能？ 学生回答：(1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边． 做一做：三角形的两个内角分别是50°和70°，它们的夹边为5 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的，你能得出什么规律？ 学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律． 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学． 活动结果展示： 以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等． 提炼规律： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)， 教师继续提问：我们刚才画的三角形是一个特殊三角形，现在随意画一个△ABC, 能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？ 学生活动： 动手操作，感知问题的规律， 作法：(1)画A′B′＝AB； (2)在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′.则△A′B′C′即为所求(如下图)． 总结：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)． 你能回答【课堂引入】中的问题吗？ 2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”) 教师提问：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？ 教师适时引导：运用三角形内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△DEF.学生活动：先让学生独立完成，对于有困难的学生给予指导和鼓励． 最后归纳： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 1.进一步学习三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件． 2．让学生学会思考问题，能清楚地表达思考过程，培养学生的动手操作，实践探究能力以及逻辑思维能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第35页例2)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE. 证明：在△ACD和△ABE中， ∴△ACD≌△ABE(ASA)． ∴AD＝AE. 例2　如图，∠ACB＝∠B＝90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD＝AE.求证：AC＝BC. 【点拨】　证明△ACE≌△CBD，就可以得出AC＝BC. 证明：∵∠ACB＝90°，CF⊥AE. ∴∠ACF＋∠BCD＝∠ACF＋∠CAF＝90°. ∴∠BCD＝∠CAF， 即∠CAE＝∠BCD. 在△ACE和△CBD中， ∴△ACE≌△CBD(AAS)． ∴AC＝BC. 【变式训练】 如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E.求证：DE＝BD－CE. 证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AN， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°. ∴∠CAE＝∠ABD. ∵BD⊥AN，CE⊥AN， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∵DE＝AE－AD， ∴DE＝BD－CE. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由学生完成解答. 1.巩固新知，能熟练运用两个判定定理． 2．提高学生运用数学知识的能力，做到学以致用.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．下列说法中，正确的是(C) ①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一组边对应相等． A．①和②　　　　　B．②和③　　　　　C．①和③　　　　　D．①②③
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 2.如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，那么这两块三角形的玻璃完全一样的依据是(D) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 第2题图)　　　 第3题图) 3．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3． 4．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE. (1)从图中任找两组全等三角形； (2)从(1)中任选一组进行证明． 解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一)． (2)选△ABE≌△CDF. 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵AF＝CE， ∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第36页练习第 1，2题，第44页习题14.2第4，5题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 14.2　三角形全等的判定 第2课时　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)． 2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　1.在教学过程中，关注学生在探究过程中的参与度和理解程度，对于学生在推导“AAS”的判定方法以及应用判定方法进行证明时遇到的困难，及时调整教学策略，加强引导和示范． 2．在证明题的书写规范上，仍需在课堂上加强示范和强调，尤其是“大括号”条件列举的格式. 反思，更进一步提升.
第3课时　用“SSS”判定三角形全等
备课素材
新课导人设计
【质疑导入】
探究一：请各位同学用课前准备好的长度分别为3 cm，4 cm，6 cm的细棒拼成三角形(如图)，和邻桌同学比较，它们一定全等吗？
探究二： 先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
教学设计
课题 14.2　第3课时　用“SSS”判定三角形全等 授课人
素养目标 1.掌握“边边边”的判定方法内容． 2．能初步应用“SSS”条件判定两个三角形全等． 3．会用归纳推理的数学思想探究三角形全等的条件.
教学重点 “边边边”判定方法的使用.
教学难点 探索三角形全等的条件.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等． 已知△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？ 教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等. 回顾旧知，为讲解新知识做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你能找出其中相等的边与角吗？ 图中相等的边：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′； 相等的角：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． 问题：通过上例我们知道符合三个角、三条边均对应相等的两个三角形是全等三角形．那么是否一定需要六个条件才能判定两个三角形全等呢？满足上述六个条件中的一部分能否保证两个三角形全等呢？ 提出问题，明确探究方向，激发探究欲望.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．三角形全等的条件 问题1： (1)△ABC和△A′B′C′满足上述六个条件中的一个有几种情况？满足上述六个条件中的两个有几种情况？ (2)先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′ 满足上述六个条件中的一个或两个，你画的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？试一试． 教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情况． 教师引导学生共同完成一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作． 得出结论：只给出一个或两个条件时，不能保证所画的两个三角形一定全等． 问题2： (1)满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们可以分情况讨论有哪几种情况？ 教师先提问，引导学生回答出满足三个条件的四种情况，教师再明确探究任务，指导学生进行画图探究，获取“SSS”条件． (2)我们先探究两个三角形三边分别对应相等的这种情况：先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使 AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′. (3)你能画出满足上述条件的△A′B′C′吗？应该怎样画呢？ 在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法． (4)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们能重合吗？ 教师要关注学生在阐述结论时语言是否规范． (5)上面的探究反映了什么规律？ 师生活动：在思考、实践的基础上可以归纳出判定两个三角形全等的方法：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)． 2．已知三角形的三边，用尺规作这个三角形 通过前面的探究过程，我们可以总结出“已知三角形的三边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤如下： 已知：线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法与示范：
作法示范(1)作一条线段BC＝a；(2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；(3)连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形.
　　总结：只要三角形三边的长度确认了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
师生活动：教师引导学生设计出作三角形的步骤，学生根据已知步骤独立作出图形，和同学交流，学生在独立完成的基础上进一步交流作法，从而规范步骤及作法．本环节注意与自主学习相结合，给学生一个展示自己思维的平台. 1.通过观察和试验，培养学生合作交流的意识.
2.教师明确已知三边画三角形的方法，明确判定三角形全等需要三个条件．学生作图并比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第37页例3)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：AD⊥BC. 证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． ∴∠ADB＝∠ADC. 又∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BC. 【变式训练】 如图，已知AB＝CD，DA＝BC.求证：∠A＝∠C. 证明：连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB(SSS)． ∴∠A＝∠C. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由学生完成解答. 培养学生逻辑思维能力，学会用“SSS”条件判断三角形全等.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定(B) A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对 第1题图)　　　 第2题图)　　　 第3题图) 2．如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是(C) A．120° B．125° C．127° D．104° 3．如图，已知OA＝OB，AC＝BC，∠1＝30°，则∠ACB的度数为60°． 4．如图，若AB＝CD，AE＝CF，那么用“SSS”判定△ABE≌△CDF需要添加的一个条件可以是答案不唯一，如BE＝DF或BF＝DE. 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 5.如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a. 作法：(1)作一条线段AB＝a； (2)分别以点A，B为圆心，以2a为半径画弧，两弧交于点C； (3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形． 6．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，BD＝CD. (1)图中有几对全等三角形？请分别写出来； (2)请选择一对全等三角形并进行证明． 解．(1)一共有3对全等三角形，△ABE≌△ACE，△ABD≌△ACD，△BED≌△CED. (2)选△ABE≌△ACE， 证明：在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE(SSS)． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第38页练习第 1，2题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 14.2　三角形全等的判定 第3课时　用“SSS”判定三角形全等 1．三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)． 2．已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　1.通过学生的画图、观察、比较、交流等过程，逐步探索出最后的结论——边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验． 2．例题教学时，教师要注意先让学生独立思考，再合作交流，更要注意师生互动. 反思，更进一步提升.
第4课时　三角形全等的判定与尺规作图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
备课素材
新课导人设计
【质疑导入】
我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小．如何移动这个角呢？比如，如何将图1中∠AOB移动到图2的位置，使 OA与 O′A′重合？
(1)请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题．
(2)如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交流．
教学设计
课题 14.2　第4课时　三角形全等的判定与尺规作图 授课人
素养目标 1.会利用全等三角形的判定方法进行尺规作图，进一步发展学生的作图能力和有条理的语言表达能力． 2．能够通过学习，学会作一个角等于已知角，并能将实际问题抽象成数学问题，进而去解决问题． 3．创设现实情境，通过实际问题帮助学生了解作一个角等于已知角的必要性，培养学生的学习兴趣，进而激发学生的求知欲.
教学重点 利用尺规作一个角等于已知角的方法及作图语言的描述.
教学难点 用尺规作已知角的和、差、倍.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小．如何移动这个角呢？比如，如何将图1中∠AOB移动到图2的位置，使 OA与 O′A′重合？ (1)请你用三角板、量角器、圆规等工具解决这一问题． (2)如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交流. 提出问题，明确探究方向，激发探究欲望.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．利用尺规，作一个角等于已知角 讨论：已知∠AOB，你能利用直尺和圆规准确地作出与这个角相等的另一个角∠A′O′B′吗？ 已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 1.作一个角等于已知角的作图过程比较复杂，教学时，可以要求学生按照作图步骤亲自操作，使学生学会使用尺规作一个角等于已知角，并独立解决问题.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　作法与示范：
作法示范(1)作射线O′A′(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于点C′(4)以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′(5)过点D′作射线 O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角
　　请用没有刻度的直尺和圆规，完成课堂引入中的问题.
如图，∠A′O′B′即为所求.
做一做：如图，已知∠AOB，用尺规作图法作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.
解：作法：①作∠DO′B′＝∠AOB；②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D＝∠AOB，∠A′O′B′就是所求的角(如下图).
总结：(学生总结，老师点评)
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”，即先画一条射线，再作三次弧．其中前两次弧半径相同，而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径. 2.有了前面练习中的铺垫，学生很容易接受有关角的和、差、倍问题，同时可以将线段的和、差、倍进行类比学习，让学生独立解决，充分体现学生的自主学习性，同时规范学生的板演过程，在这其中教师应该注意学生在说作法时语言的规范性，注意从开始就培养学生良好的学习习惯和作图的严谨规范性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　2.作一个角等于已知角的应用 已知：线段a，c，∠α. 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α. 师生活动：教师引导学生设计出作三角形的步骤，学生根据已知步骤独立作出图形，和同学交流，学生在独立完成的基础上进一步交流作法，从而规范步骤及作法．本环节注意与自主学习相结合，给学生一个展示自己思维的平台． 作法与示范：
作法示范(1)作一条线段BC＝a；(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；(3)在射线BD上截取线段BA＝c；(4)连接AC，△ABC就是所求作的三角形.
　　同学们作出的这些三角形全等吗？为什么？你还有其他作法吗？
师生活动：学生讨论，教师启发学生用前面所学过的全等三角形的判定方法给予说明，学生写出说明过程，得出△ABC就是所求作的三角形，并进一步激励学生探索其他作法，拓宽思维，提升认识.
作法：首先根据一个角等于已知角的方法作∠B＝∠α，再在角的两边分别截取BC＝a，AB＝c，最后连接AC，即可得到△ABC.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
例1　如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，∠AOB即为所求.
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活动三：开放训练、体现应用 　　例2　已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a. 解：如图，△ABC即为所求． 【变式训练】 1．如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A－∠B(不写作法，保留作图痕迹)． 解：作∠COD＝∠A，并在∠COD的内部作∠DOE＝∠B，则∠COE就是所求作的角． 2．尺规作图：如图，已知线段a和∠BAC，在射线AB上截取线段AD，使得AD＝a，过点D作直线DE∥AC，点E在射线AB右侧．(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示，DE即为所求． 师生活动：学生独立完成，师生交流心得和方法. 通过典型例题和变式训练巩固所学知识，培养学生思维的灵活性和缜密性.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列尺规作图的语句错误的是(B) A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β 2．如图，这是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(B) A．两角及其夹边 B．两边及其夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 通过课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
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活动四：课堂检测 3.下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是(C) 4．如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，分别过点A，B作∠CAB＝∠α，∠CBA＝∠β.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图． 5．如图，已知∠α和线段a，用尺规作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠α，∠C＝2∠B. 解：如图，△ABC即为所求． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 　　1.课堂小结： 通过本节课，你都学到了哪些知识？掌握了哪些数学方法？你还有什么疑难问题要和大家一起探讨吗？ 2．布置作业： 教材第41页练习第1，2题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 14.2　三角形全等的判定 第4课时　三角形全等的判定与尺规作图 1．作一个角等于已知角． 2．作一个角等于已知角的应用. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　1.通过动手操作，学生能够较好地掌握全等三角形的判定方法和尺规作图技能． 2．将作图步骤分解为“画弧—定点—连线”等步骤，用投影仪展示关键细节(如弧线半径、交点位置等)，引导学生关联三角形全等的判定条件． 3．需分层布置任务：对基础薄弱的学生提供“作图步骤模板”，对优生增加“设计性作图”，关注个体差异. 反思，更进一步提升.
第5课时　用“HL”判定直角三角形全等
备课素材
新课导人设计
【归纳导入】
1．判定两个三角形全等的方法有________、________、________、________．
2．如图AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.
(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF________，根据________；
(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF________，根据________；
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF________，根据________；
(4)若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC与△DEF________，根据________．
3．我们知道：满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形(这个相等的角是直角)是否全等呢？如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.若AB＝DE，AC＝DF，则Rt△ABC与Rt△DEF是否全等？现在我们就来研究这个问题．
教学设计
课题 14.2　第5课时　用“HL”判定直角三角形全等 授课人
素养目标 1.掌握“斜边、直角边”的判定方法． 2．能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等． 3．使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维.
教学重点 “斜边、直角边”判定方法的使用.
教学难点 分析问题，探索直角三角形全等的条件.
授课类型 新授课 课时
教学活动
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回顾 　　判定三角形全等的方法有哪些？ 复习巩固旧知识，为新知识的学习做基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF(其中∠C＝∠F＝90°)是否全等？若全等，在()里填写理由；若不全等，在()里打“×”． ①AC＝DF，∠A＝∠D；() ②AC＝DF，BC＝EF；() ③AB＝DE，∠B＝∠E；() ④∠A＝∠D，∠B＝∠E；() ⑤AC＝DF，AB＝DE.() 问题：满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等呢？ 从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
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活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 师生活动：先让学生画图分析，寻找规律．教师适时引导． 作法： (1)画∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC； (3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′； (4)连接A′B′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形(如下图)． 教师引导学生共同总结： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 1.巩固三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件． 2．操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等． 3．培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第42页例6)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴BC＝AD. 例2　如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF， 即BC＝BE. 1.培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判断三角形全等． 2．规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式．在证明两个直角三角形全等时，要避免学生误用“SSA”来证明.
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活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.则图中全等三角形共有(B) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.若B，C在DE的同侧(如图所示)且AD＝CE.求证：AB⊥AC. 证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)． ∴∠DBA＝∠EAC. ∵∠BAD＋∠DBA＝90°， ∴∠BAD＋∠EAC＝90°. ∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°. ∴AB⊥AC. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由学生完成解答.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 1．下列语句中不正确的是(C) A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．有两边对应相等的两个直角三角形全等 C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等 D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是(A) A．HL　　　　　　　B．AAS　　　　　　C．SSS　　　　　　D．ASA 第2题图)　　　 第3题图) 3．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有(C) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
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活动四：课堂检测 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，点E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于点F.求证：BF⊥CE. 证明：在Rt△BAD和Rt△CAE中， ∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL)． ∴∠ABD＝∠ACE. 又∵∠BDA＝∠CDF， ∴∠CFD＝∠BAD＝90°， 即BF⊥CE. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 　　1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第43页练习第 1，2题，第45页习题14.2第11，12题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 14.2　三角形全等的判定 第5课时　用“HL”判定直角三角形全等 1．斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)． 2．判定两个直角三角形全等的方法有：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　1.在教学过程中，探究“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流，在寻找未知的边或角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形进行证明． 2．在书写证明过程中，学生容易漏掉直角这一条件，还需在今后的教学中进一步加强巩固和训练. 反思，更进一步提升.

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