资源简介

1.5.1 全称量词与存在量词
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 1.5.1 全称量词与存在量词
教学目标
教学目标 1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2、了解全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命 题的真假性. 数学学科素养 1、数学抽象：通过探究全称量词与存在量词的概念及其在命题中的应用，培养学生从具体 情境中抽象出数学概念的能力. 2、逻辑推理：通过分析和判断全称量词命题和存在量词命题中具体实例的真假，归纳出判 断这些命题真假的一般方法，锻炼学生的逻辑推理和证明能力. 3、数学建模：通过将实际问题转化为数学命题，并使用全称量词与存在量词数学符号进行 描述，提高学生建立数学模型的能力. 4、数学运算：通过解决涉及全称量词与存在量词的数学问题，加强学生的数学运算和问题 解决能力.
教学重难点
教学重点： 理解全称量词与存在量词的定义及其在命题中的应用. 理解全称量词命题和存在量词命题的概念及掌握其真假的判断方法. 教学难点： 如何从实际情境或量词隐藏的情况中抽象出全称量词与存在量词的概念. 如何准确判断含有量词的数学命题的真假，并能够提供相应的证明或反例.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
4 环节一 引入全称 量词命题 一、新知引入 “ 同学们，大家好！在开始今天的课程之前，让我们一起想象一个 有趣的情境.假设我们正在进行一个中学生爱好调查，调查内容是关于大 家的爱好.现在，老师有两个问题想问问大家： 一是“我们班的每位同学是不是都有一个自己最喜欢的爱好呢？ ”； 二是 ”在我们班里，有没有同学喜欢画画？ ”这两个问题，其实就 和我们今天要学习的两个数学概念——全称量词与存在量词息息相关. 【新知探究 1】 同学们，命题是可以判断真假的陈述句.下列语句是命题吗 (1)x>3 ; (2)2x+1 是整数. 师生活动：引导学生结合命题的概念分析得出语句(1)(2)中含有变量x， 由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以语句(1)(2) 不是命题． 【新知探究 2】 将(1)(2)语句中的变量x进行限定，下列语句是命题吗 (3)对所有的x ∈R,x>3 ; (4)对任意一个x ∈Z,2x+1 是整数. 师生活动： (3)在(1)的基础上,用短语“所有的 ”对变量x进行限定 ; (4) 在(2)的基础上,用短语“任意一个 ”对变量x进行限定，结合所学的知识 知道(3)(4)语句是命题． 设计意图：通过情境引入激发学生兴趣，让学生在实际情境中感受数 学概念的实际意义； 引导学生结合命题的概念，区分命题与非命题， 为后续学习全称量词命题与存在量词命题打下基础. 【新知生成】 1.全称量词 短语“所有的 ”“任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号“ ”表示； 常见的全称量词： “一切 ”“每一个 ”“任给 ”“全体 ”等； 符号“ ”读作“任意的 ”. 问题 1：能列举几个含有全称量词的命题吗？ 师生活动：学生思考后结合自己的知识储备进行开放性回答. 设计意图：通过开放性的问题让学生结合自己的理解进一步理解全称量 词命题，然后老师引导学生学习全称量词命题的概念.
2.全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x 的语句 用 p (x) ， q (x) ， r(x) , … 表示，变量x 的取值范围用 M 表示，那 么全称量词命题“对 M 中任意一个x ， p (x) 成立 ”可用符号简记为 x ∈M ，p (x). 例如： “对整数集中任意一个x，2x+1 是奇数 ”简记为“ x ∈Z， 2x+1 是奇数 ”.
2 环节二 练习全称 量词命题 二、应用新知全称量词命题 例 1 判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） 丫x ∈ R ， x +1 ≥ 1； （3）对任意一个无理数x ，x2 也是无理数. 师生活动：学生讨论得出要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限 定集合 M 中的每个元素x验证 p (x)成立；但要判定全称量词命题是假命 题，只需举出限定集合 M 中的一个x0 ，使得 p (x0 )不成立即可. 解：（1）2 是素数，但 2 不是奇数.所以，全称量词命题“所有的 素数都是奇数 ”是假命题. （2） x ∈ R ，总有|x | ≥ 0 ，因而|x | + 1 ≥ 1.所以，全称量词命题 “ x ∈ R, |x | + 1 ≥ 1 ”是真命题. （3） 2是无理数，但 是有理数.所以，全称量词命题“对 任意一个无理数x ，x2 也是无理数 ”是假命题. 设计意图：通过实例让学生归纳判断全称量词命题真假的方法， 加深对全称量词命题的理解.
3 环节三 引入存在 量词命题 三、新知引入 【新知探究 3】 下列语句是命题吗 比较(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系 (1)2x+1=3 ; (2)x能被 2 和 3 整除 ; (3)存在一个x ∈R,使 2x+1=3 ; (4)至少有一个x ∈Z , x 能被 2 和 3 整除. 师生活动：学生思考后回答（1）（2）不是命题，（3）（4）是命 题。· (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个 ”对变量x 的取值进行限定, 使(3)变成了可以判断真假的语句 ; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个 ” 对变量x 的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 【新知生成】 1.存在量词（1） 短语“存在一个 ”“至少有一个 ”在逻辑中通常 叫做存在量词，并用符号“ 彐 ”表示； （2） 常见的存在量词还有“有些 ”“有一个 ”“对某些 ”“有的 ” 等. 符号“ 彐 ”读作“存在 ”. 问题 2：能列举几个含有存在量词的命题吗？ 师生活动：学生思考后结合自己的知识储备进行开放性回答 设计意图：通过开放性的问题让学生结合自己的理解进一步理解存在量 词命题，然后老师引导学生学习存在量词命题的概念. 2.存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在 M 中的元素x ，使 p (x)成立 ”，可用符号简记为 彐x∈M，p (x). 例如：“存在一个整数x，2x+1 是正数 ”简记为“ 彐x∈Z，2x+1>0 ”. 设计意图： 类比全称量词命题的学习 ，让学生发现存在量词命题 与全称量词命题的关系； 通过定义与举例明确存在量词的定义 ， 让学生对存在量词命题有一个清晰的认识.
2 环节四 练习存在 量词命题 四、应用新知存在量词命题 例 2.判断下列存在量词命题的真假： (1) x ∈ R ，使x2 + 2x + 3 = 0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解：(1)由于 = 22 4 × 3 = 8 < 0，因此一元二次方程x2 + 2x + 3 = 0 无实根.所以，存在量词命题“ x ∈ R ，使x2 + 2x + 3 = 0 ”是假 命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内 不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面 内存在两条相交直线垂直于同一条直线 ”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些 平行四边形是菱形 ”是真命题. 师生活动：学生思考得出要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限 定集合 M 中，找到一个x0，使 p (x0 )成立即可，如果在集合 M 中，使 p (x) 成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 设计意图：通过实例让学生归纳判断存在量词命题真假的方法，加深 对存在量词命题的理解.
3 环节五 巩固基础 深化认识 五、巩固基础 深化认识 例 3.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真 假. （1）三角形的内角和等于180o； （2）梯形的对角线相等； （3）圆不都是中心对称图形； （4）一元二次方程不总有实数根. 解： (1)全称量词命题，由三角形的内角和定理可知，“三角形形 的内角和等于180o ”是真命题. (2)全称量词命题，由直角梯形的对角线不相等可知，“梯形的对角
线相等 ”是假命题.
(3)存在量词命题，由圆的定义可知所有的圆都是中心对称图形，圆 心就是中心对称点。所以“ 圆不都是中心对称图形 ”是假命题. (4)存在量词命题，显然当一元二次方程的判别式 < 0 的时候，一 元二次方程就没有实数根.所以“一元二次方程不总有实数根 ”是真命题. 师生活动：师生讨论得出从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中 所有的元素都具有某种共同性质的命题，存在量词命题是陈述某集合中 有或存在一些或至少一个元素具有某种特征的命题．有些全称量词命题 中的全称量词是省略的，表达时可以把全称量词补充出来.有些命题可能 没有写出存在量词，但其表达的内容具备“存在 ”“有一个 ”等含义的 命题就是存在量词命题.
设计意图：通过隐藏或弱化量词短语，加深学生对全称量词命题与存 在量词命题的理解.
1 环节六 课堂小结 布置作业 六、课堂小结 布置作业 课堂小结环节让学生回顾本节课的重点内容，包括全称量词与存在 量词的概念、符号表示、以及如何判断全称量词命题和存在量词命题的 真假.通过本节课的学习，让学生体会用数学符号语言表达数学内容的准 确性、简洁性，引导学生在今后的数学学习中， 自觉地运用全称量词命 题与存在量词命题表述和交流数学对象. 课后作业：请同学完成课本 28 页练习 1、2 题. 设计意图：通过课堂小结与作业布置帮助学生梳理和巩固本节课所学的 知识点，加深对全称量词与存在量词的理解，增强他们的自信心和学习 动力.

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