资源简介

13.3.2 三角形的外角
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解三角形外角的定义及其基本性质
掌握三角形外角定理及其证明方法
能运用外角性质解决角度计算问题
理解多边形外角和定理
能区分内角与外角的关系
知识点讲解
一、外角定义
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角
每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，大小相等
二、外角性质
基本定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
外角和：三角形的三个外角（每个顶点取一个）之和为360°
三、外角定理证明
利用内角和定理推导
通过平行线性质证明
四、多边形外角和
任意多边形的外角和都是360°
正多边形每个外角的度数=360°/边数
五、应用
复杂图形中的角度计算
判断角的大小关系
解决实际问题中的角度问题
易错提醒
概念混淆
将外角与邻补角混淆
忽略每个顶点有两个相等的外角
定理应用错误
混淆"外角等于不相邻两内角和"与"外角大于任一不相邻内角"
计算时遗漏对顶角关系
证明过程错误
辅助线添加不规范
角度代换时逻辑不严谨
实际应用错误
复杂图形中识别外角不完整
多边形外角和计算时边数代入错误
知识点小结
外角定理揭示了三角形内角与外角的数量关系
外角和恒为360°反映了几何不变性
外角性质在角度计算和大小比较中有重要作用
多边形外角和与边数无关的规律具有普遍性
正确识别外角位置是应用定理的前提
建议：
用不同颜色标记图形中的外角
通过具体例题理解外角定理的双重性质
对比记忆三角形与多边形外角和规律
特别注意复杂图形中对顶角关系的运用
建立角度计算的检验习惯（如外角和是否为360°）
巩固练习
一、选择题
1．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点在的延长线上，交于点，交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（　　）
A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG
C．∠AHE=∠CHG D．不一定
二、填空题
7．如图，在 中， ，则 等于　 　度。
8．如图， 已知， 则　 　．
9．将一副三角板如图叠放在一起，则图中∠1的度数为　 　。
10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为　 　．
11．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为　 　.
12．如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　 　.
三、解答题
13．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设．
（1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）；
（2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明）
14．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
15．问题背景：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．
（1）探究一：当∠BAE＝90°时．
①若∠B＝45°，求∠DAC的度数；
②若∠B＝α°，则∠CAE的度数用含α的式子表示为 ▲ °，∠CAD的度数为 ▲ °．
（2）探究二：若∠BAE＝n°，直接写出∠DAC的度数．
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．C
6．C
7．70°
8．
9．105°
10．16
11．5°
12．18°≤α＜22.5°
13．（1）
（2）解：结论：，证明如下：
如图，
∵，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：或
14．（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
15．（1）①45°；②（45﹣α）；
（2）n°

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