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课题 1.1 集合的概念
教学目标及重难点
教学目标： 1.初步了解集合与元素的特性，能准确使用符号表示集合与元素间的关系，用适当的方法表 示集合； 2.在集合概念学习的过程中，从直观到抽象，逐步了解集合语言的抽象，严谨的特点，学会 用集合的语言表述数学的研究对象； 3.基于集合知识的学习，积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养。 教学重点： 认识元素与集合间的关系，准确使用符号语言刻画集合. 教学难点： 选择恰当的方法准确表示集合.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
2 分 钟 新课 引入 1. 方程 x2 = 2 是否有解？ 2. 所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点 P 组成何种图形？ 通过大家讨论我们达成共识：方程x2 = 2 在有理数范围内无解， 但在实数范围内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个 圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明 确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础. 问题 1：如何简洁、准确地表述数学对象及研究范围呢？
15 分 钟 新课 讲解 我们看下面几个例子： （1） 1～11 之间的所有偶数 ； （2） 地球上的四大洋 ； （3） 不等式 x - 7 < 3的解集 ； （4） 较小的数. 例（1）中，我们把 1～11 之间的每一个偶数作为研究对象，即 2, 4, 6, 8, 10 是研究范围. 在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等．在我们进一步学 习中，我们利用集合语言简洁、准确地表述数学问题. 为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 【教师讲解 1】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一 些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）. 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么 一个元素在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～11 之间的所有偶数 ”构 成一个集合，2，4，6，8，10 是这个集合的元素，1，3，5，7，9，… 不是 它的元素．一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素 是不重复出现的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合 是相等的. 问题 2：上面的例（2）到例（4）也都能组成集合吗 ？ 它们的元素分 别是什么？ 显然例（2），（3）能组成集合，而“较小的数 ”不能构成集合，因为组 成它的元素是不确定的. 【教师讲解 2】我们通常用大写拉丁字母 A，B，C，… 表示集合，用小 写拉丁字母 a，b，c， … 表示集合中的元素. 如果a 是集合 A 的元素，就说a 属于（belong to）集合 A，记作 a ∈ A ； 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）集合 A，记作 a A . 问题 3：若用A 表示前面例（1）中“ 1～11 之间的每一个偶数 ”组成的 集合， 3, 4 分别与集合 A 有何种关系呢？
易知 4 ∈ A ， 3 A . 追问 1 ： 0 与{0} 的数学含义相同吗？ 一般的， 0 表示一个数字，一个元素，而 {0} 表示一个集合，这个集合里只 有一个元素 0 . 追问 2 ：如何用数学语言表述 0 与{0} 之间关系呢？ 基于上述分析， 0 与{0} 是元素与集合的关系，元素 0 属于集合{0} ，记作 0 ∈ {0} . 【教师讲解 3】数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 R. 【教师讲解 4】集合论是德国数学家康托尔于 19 世纪末创立的．当时， 康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集 ”限制，提出了一 般性的“集合 ”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的 产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一 ”，罗素描述其为“ 能 是这个时代所能夸耀的最伟大的工作 ” 集合论的创立过程体现了数学发生 发展的背景和客观需求，数学的发现和创造过程充满着数学家的想象力、创 造力和不屈不饶、精益求精的精神，展现了人类理性思维的巨大作用. 问题 4：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此 之外，还可以用什么方式表示集合呢？ “方程x2 = 2 在实数范围内的解 ”只有 · , - 两个，可以表示为 “ 1～11 之间的所有偶数 ”组成的集合可以表示为{2, 4, 6, 8, 10}， “地球上的四大洋 ”组成的集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋， 北冰洋｝. 【教师讲解 5】像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 括起来表示集合的方法叫做列举法.
【练习 1】用列举法表示集合： （1） 大于 1 且小于 6 的整数； {2, 3, 4, 5} （2） 方程 x2 - 9 = 0 所有实数根组成的集合. {3, -3} 追问 1：“在平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点 P 组成何种图 形 ”，“不等式 x - 7 < 3的解集 ”能用列举法表示吗？ 不等式 x - 7 < 3 的解是 x < 10 ， 因为 x < 10 的实数有无数个，所以 x - 7 < 3的解集无法用列举法表示. 追问 2：当集合中元素个数有无数个，我们如何表示呢？ 我们可以利用解集中元素的共同特征，即 x 是实数，且 x < 10 ，把解集 表示为 {x | x < 10} . 【教师讲解 6】一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共 同特征P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为{x ∈ A | P(x)} ．这种表示集合的 方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x ∈ A：P(x)}或 {x ∈ A；P(x)} . 追问 3：整数集 Z 可以分为奇数集和偶数集．我们如何用描述法表示奇 数集？ 我们思考一下奇数集合中元素所有具有共同特征是什么呢？对于每 一个x ∈ Z ，如果它能表示为 x = 2k +1(k ∈ Z) 的形式，那么 x 除以 2 的余 数为 1，它是一个奇数；反之，如果 x 是一个奇数，那么x 除以 2 的余数为 1，它能表示为 x = 2k +1(k ∈ Z) 的形式．所以， x = 2k +1(k ∈ Z) 是所有 奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为 {x ∈ Z | x = 2k +1, k ∈ Z} . 追问 4：你能用这样的方法表示偶数集吗？ {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z} . 追问 5：我们如何用描述法表示有理数集？
4 分 钟 三 例 题与 练习 例 1 选择恰当方式表示下列集合：
（1）小于 （2）方程 10 x2 的所有自然数组成的集合； = x 的所有实数根组成的集合.
解 ：（ 1 ） 设 小 于 10 的 所 有 自 然 数 组 成 的 集 合 为 A ， 那 么 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关 ， 因此一 个集合可 以有不 同 的列举方法 ． 例如 ， 例 1（ 1 ） 的集合还可 以 写成 A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} . 我们还可以用描述法表示集合 A = {x ∈ N x < 10 } . 2 （2）设方程x = x 的所有实数根组成的集合为B，由于集合B 中只有 0, 1 两个元素，那么可以用列举法表示为 B = {0, 1} ．也可以用描述法表示为 (
x
x
=
x
.
){ 2 } 我们约定，如果从上下文的关系看， x ∈ R ， x ∈ Z 是明确的，那么可 以省略，只写其元素x. 练习 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程x2 - 2 = 0 的所有实数根组成的集合 A； （2） 由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B. 解：（1）设 x ∈ A ，则 x 是一个实数，且 x2 - 2 = 0 ．因此，用描述法 表示为 A = {x | x2 - 2 = 0} . 方程 x2 - 2 = 0 有两个实数根 · , - · , 因此，用列举法表示为 . （2）设 x ∈ B ，则 x 是一个整数，即 x ∈ Z ，且10 < x < 20 ．因此， 用描述法表示为 B = {x ∈ Z |10 < x < 20} .
3 分 钟 四 课堂 小结 五 课 后作 业 大于 10 且小于 20 的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19 ， 因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19} . 本节课在小学和初中数学学习的基础上引入集合的含义及其表示，通过 本节学习，我们在了解集合含义的基础上，会用符号语言刻画集合，并能判 断元素与集合之间的关系. 本节的新概念，新符号较多，我们要明确符号代表的意义，熟悉不同的 符号的表示形式，多用、多回归到概念，建立起符号和数学对象之间的关系. 高中数学内容的抽象程度提高了，我们要以更加积极主动的态度，刻苦 钻研的精神，采取多样化学习方式，注重基础，拾级而上，按学习规律办事， 逐步总结高中数学学习方法，尽早适应高中学习. 1. 认真阅读本节教材，完成课后练习； 2.查阅“集合论 ”创立相关资料，与同学分享.

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