资源简介

15.3.2 第1课时 等边三角形的性质和判定
【素养目标】
1．会用“尺规”作等边三角形；
2．探索并证明等边三角形的性质和判定；
3．能运用等边三角形的性质和判定进行推理和计算．
【教学重点】
证明等边三角形的性质和判定．
【教学难点】
将等边三角形转化成合适的边、角关系，选择适当的方法判定等边三角形．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
你会作等边三角形吗？如图，动画展示作法．
三边都相等的三角形是等边三角形，我们从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定．
任务二：探究等边三角形的特殊性质．
探究：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，等边三角形有哪些特殊的性质呢？
“等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.”
已知：△ABC是等边三角形．
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC.
∴∠A＝∠B(等边对等角).
同理：∠A＝∠C.
∴∠A＝∠B＝∠C.
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
归纳：
(1)等边三角形中，“等边对等角”“三线合一”；
(2)等边三角形特殊的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.它能证明角相等、60°角，推理格式如下：
∵△ABC中BC＝AC＝AB，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°)．
任务三：探究等边三角形的判定方法．
1．探究：一个三角形满足什么条件才是等边三角形呢？
提示：(1)参考等腰三角形的判定；(2)“60°”也是等边三角形的特征．
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
……
2．思考：两人一组，分别证明以下两个命题，然后讨论证明是否正确．
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
证明过程如下：(1)已知：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵△ABC中，∠A＝∠B，
∴ BC＝AC(等角对等边).
同理：AC＝AB.
∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形(等边三角形定义).
(2)
①已知：在△ABC中，AC＝BC且∠A＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
②已知：在△ABC中，AC＝BC且∠C＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
归纳：等边三角形的判定方法：
(1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
任务四：典型应用．
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形．
提示：(1)等边三角形有哪些性质？
(2)有三种方法可以判定等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C(等边三角形的三个角相等).
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
任务五：尝试练习，巩固内化．
解答教材P82练习1、2.
任务六：课堂小结，形成体系．
1．反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
2．知识结构：
【布置作业】
教材P84－P86习题15.3，第5、10、11、13题．
【教学反思】
探究出等边三角形的性质和判定定理后，教材安排“请你自己证明这些结论”，似乎这些结论的证明比较简单．其实不然，一是证明文字描述的命题一直是学生的难点；二是在证明过程中等腰三角形和等边三角形的关系、先证明的定理可以作为后证明的依据，这些都需要学生自己“悟”出来；三是“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”中60°角分两种情况：顶角和底角．所以本课时把“证明等边三角形的性质和判定”作为重点．

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