资源简介

15.3.1 等腰三角形
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解等腰三角形的定义及其基本性质
掌握"等边对等角"和"等角对等边"的性质与判定
理解等腰三角形"三线合一"的性质
能够运用等腰三角形的性质解决简单的几何问题
培养几何证明能力和逻辑推理能力
知识点梳理
一、等腰三角形的定义
定义：有两条边相等的三角形
相关概念：
相等的两边称为腰
第三边称为底边
两腰的夹角称为顶角
底边与腰的夹角称为底角
二、等腰三角形的性质
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等
性质2（三线合一）：
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
这三条线都位于对称轴上
性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线
三、等腰三角形的判定
定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形
判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
四、简单应用
利用等腰三角形性质求角度
证明线段相等
解决简单的几何问题
易错点提醒
概念理解错误：
混淆"腰"和"底边"的位置关系
忽视"三线合一"的前提条件（必须是等腰三角形）
性质应用错误：
错误使用"等边对等角"和"等角对等边"
忽视"三线合一"中三条线的关系
证明过程错误：
直接使用未证明的全等关系
逻辑推理不严谨
忽视已知条件的限制
计算错误：
角度计算时忽视三角形内角和为180°
忽视对称性带来的简化计算机会
知识点小结
等腰三角形是具有两条相等边的特殊三角形
"等边对等角"和"等角对等边"是等腰三角形的核心性质
"三线合一"是等腰三角形的重要特征
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线
掌握等腰三角形的性质对解决几何问题非常重要
建议
通过画图加深对等腰三角形性质的理解
多做证明题练习，掌握逻辑推理方法
注意区分等腰三角形的不同性质和应用条件
建立错题本，记录典型错误
从简单问题入手，逐步提高解题难度
养成标注已知条件和所求结论的好习惯
巩固练习
一、选择题
1．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A． B． C．平分 D．
3．如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（　　）
A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°
5．如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（　　）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　）
A． B．3 C． D．9
7．如图， 在△DAE中， ∠DAE＝40°， B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（　　）
A．100° B．90° C．80° D．120°
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE=BE；④AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（　　）
A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
二、填空题
9．如图，，是的垂直平分线，则的度数为　 　．
10．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高线，且AB=6，AD=E是AC的中点，P是AD上的一个动点，PC与PE的和最小为　 　.
11．如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．，若，，，则　 　．
12．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为　 　．
13．如图，在中，，，E，F是内两点，，，当的值最小时，的度数是　 　°．
14．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有　 　个．
15．如图所示，在等腰中，为的中点，点在上，，若点是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是　 　.
16．如图，CD为等腰的高，其中，E，F分别为线段CD，AC上的动点，且，当取最小值时，的度数为　 　．
三、解答题
17．已知：如图所示，中，，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有．求证：
18．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点，垂足分别为点，点，已知，求的度数．
19．如图1，四边形中，，平分，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若的平分线分别与、的延长线交于、，，求的度数．
20．如图，在中，，点D在边上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交边AC于点E．
（1）当时， ，点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当的长度等于多少时，？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．D
5．D
6．C
7．A
8．A
9．
10．3
11．
12．
13．
14．6
15．或
16．103
17．证明：过A作AF⊥CD于F，如下图：
∵AC=AD，AF⊥CD
∴CF=CD，∠AFC=
∵
∴∠ACF+∠DCE=
又∵DE⊥CD
∴∠CDE=，∠DCE+∠CED=
∴∠ACF=∠CED，
在△ACF与△CED中，
∴△ACF≌△CED，
∴CF=DE
∴DE=CD．
18．解：垂直平分边，垂直平分边，垂足分别为点，点，
，，，
，，
，
在四边形中，，
，
在中，
．
19．（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴．
20．（1），小
（2）解：∵，∴在中，，
∵，
∴，
∴，且，
∴当时，运用角边角可得，
故答案为：当时，；
（3）解：∵，∴，
①当时，是等腰三角形，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，；
②当时，是等腰三角形，
∴，
∴，则点于点重合，不符合题意，舍去；
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
在中，；
综上所述，若是等腰三角形，的度数是或．

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