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17.1.1 因式分解与提公因式法
【素养目标】
1．了解因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的关系，会用整式乘法检验因式分解的结果是否正确；
2．理解提公因式法的原理，能运用提公因式法完成简单的因式分解；
3．初步了解因式分解的价值．
【教学重点】
因式分解的概念和提公因式法．
【教学难点】
理解因式分解是一种变形不是运算，适应因式分解的变形要求．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的，某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法：p(a＋b＋c)和pa＋pb＋pc.
一个多项式　　　　　两个整式的乘积
pa＋pb＋pcp(a＋b＋c)
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积．如33分解成3×11，42分解成2×3×7.
类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式．
任务二：认识因式分解．
1．探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2－4＝　(2)x2＋6x＋9＝　(3)x2＋x＝
提示：4是2的平方，9是3的平方．
归纳：
(1)把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式；
pa＋pb＋pcp(a＋b＋c)
(2)如图，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但不是逆运算．
2．思考：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有________．不是因式分解的，请说明原因．
①am＋bm＋c＝m(a＋b)＋c　结果中有加法，不是积的形式．
②24x2y＝3x·8xy　左边不是多项式，是单项式．
③x2－1＝(x＋1)(x－1)
④(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1　是整式乘法．
⑤x2＋x＝x2(1＋)　每个因式必须是整式．
⑥2x＋4y＋6z＝2(x＋2y＋3z)
任务三：发现提公因式法及其简单应用．
1．探究：观察下列多项式的因式分解，每个多项式都因式分解成了两个因式的积：
pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)；x2＋x＝x(x＋1)；2x＋4y＋6z＝2(x＋2y＋3z).
第一个因式与多项式的各项有什么关系？
确定第一个因式后，怎么得到第二个因式？
归纳：
(1)第一个因式是多项式各项都有的公共因式，我们把它叫作这个多项式各项的公因式；如pa＋pb＋pc各项的公因式是p，x2＋x各项的公因式是x.
(2)第二个因式是多项式除以公因式的商，如(pa＋pb＋pc)÷p＝a＋b＋c.
(3)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．另一个因式＝多项式÷公因式．
2．解答教材P125例1.
3．思考：计算：259×＋259×＋259×
解：原式＝259×(＋＋)
＝259.
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P125练习1、2、3.
任务五：课堂小结，形成体系．
反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
【布置作业】
教材P126－P127习题17.1，第1、2、3、8题．
【教学反思】
本课时从跳水比赛的得分规则入手，类比“分解因数”引入因式分解，紧抓因式分解与整式乘法的关系pa＋pb＋pcp(a＋b＋c)，发现提公因式法及原理，用整式除法得到第二个因式，用整式乘法检验因式分解的结果．
本课时重在理解因式分解的概念和了解提公因式法，用提公因式法分解较复杂的多项式安排在下一课时．
17.1.2 用提公因式法分解因式
【素养目标】
1．理解多项式各项的“最大”公因式是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的积；
2．能把多项式的项中的“多项式因式”看成整体当作一个字母，体会其中的整体思想；
3．能比较熟练地用提公因式法分解因式．
【教学重点】
用提公因式法分解因式．
【教学难点】
确定“最大”公因式，把“多项式因式”看成整体当作一个字母．
【教学过程】
任务一：创设情境，导入新课．
提出公因式后，另一个因式还有公因式吗？
4a2b＋6b2c各项有公因式2b；2a3＋3abc各项有公因式a.
任务二：提“最大”公因式．
1．探究：约分时，可以约去2、3，但只有约去分子、分母的最大公约数6，约分才结束．
因式分解也一样，一个多项式可能有多个公因式，我们应该提出“最大”公因式．
怎样确定8a3b2＋12ab3c的“最大”公因式4ab2呢？
提示：观察4ab2的系数4与多项式的各项的系数的关系；4ab2中的字母a、b及指数与多项式各项的字母及指数的关系．
8a3b2＋12ab3c中，两项的系数8与12，它们的最大公约数是4.两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2.确定4ab2为要提出的公因式.8a3b2＋12ab3c＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc＝4ab2(2a2＋3bc).
归纳：多项式各项的“最大”公因式：各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的积．
2．分解因式：
(1)12x2y＋18xy2；　　(2)3a3c2－12ab3c.
解：(1)12x2y＋18xy2＝6xy·2x＋6xy·3y＝6xy(2x＋3y).
(2)3a3c2－12ab3c＝3ac·a2c－3ac·4b3＝3ac(a2c－4b3).
归纳：提公因式后，检查：(1)第二个因式的各项是否有公因式；(2)作整式乘法，看能否回到原多项式．
任务三：提含多项式的公因式．
1．思考：分解因式2a(b＋c)－3(b＋c).
提示：把(b＋c)看成一个整体，当作一个字母．
解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝2a·(b＋c)－3·(b＋c)＝(b＋c)(2a－3).
2．思考：分解因式4(a－b)3＋8(b－a)2.
提示：(a－b)与(b－a)不同，能把它们化成相同吗？
解：4(a－b)3＋8(b－a)2＝4(a－b)3＋8[－(a－b)]2＝4(a－b)3＋8(a－b)2＝4(a－b)2·(a－b)＋4(a－b)2·2＝4(a－b)2(a－b＋2).
追问：如果a－b＝－(b－a)呢？
3．分解因式：(a＋b)(a－b)－a－b.
提示：“－a－b”处有括号就好办了．
解：(a＋b)(a－b)－a－b＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)·(a－b)－(a＋b)·1＝(a＋b)(a－b－1).
任务四：尝试练习，巩固内化．
解答教材P126练习1、2.
任务五：课堂小结，形成体系．
反思与交流：
完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？
【布置作业】
教材P127习题17.1，第4、5、6、7题．
【教学反思】
用提公因式法分解因式是因式分解的基础，也是所有多项式因式分解的第一个步骤，应让学生达到熟练的程度．要让提出公因式后的第二个因式没有公因式，必须提出“最大”公因式，这与分数约分要约去最大公约数一样．当要分解的多项式中含有括号时，可以考虑将括号看成整体当作一个字母，这样也许可以直接提公因式，如果不行再把括号乘开．

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