资源简介

综合与实践 最短路径问题
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解**“两点之间，线段最短”**的基本原理。
掌握轴对称变换在解决最短路径问题中的应用。
能够运用对称转化法解决实际问题，如“将军饮马”问题。
培养几何直观能力，提升逻辑推理和问题解决能力。
知识点梳理
一、基本概念
最短路径原理：
两点之间，线段最短（直线距离最短）。
若路径中存在障碍（如河流、墙壁等），需通过对称变换将折线路径转化为直线求解。
轴对称变换的作用：
通过对称，将折线路径（如“先到河边再到某点”）转化为直线距离，从而找到最短路径。
二、典型问题模型
“将军饮马”问题（一点到直线再到另一点的最短路径）：
步骤：
① 作其中一个点关于直线的对称点；
② 连接对称点与另一个点，交直线于某点；
③ 该交点即为路径的最优转折点。
“造桥选址”问题（两点间经过平行线的最短路径）：
通过平移使路径转化为直线，再求最短距离。
三、解题方法总结
找对称点：将折线路径中的一个端点关于障碍线（如河岸）对称。
连直线：连接对称点与另一个端点，与障碍线的交点即为最优路径点。
验证合理性：确保路径符合实际约束条件（如必须在某侧行走）。
易错点提醒
对称点找错：
必须严格按轴对称作图，确保对称点位置正确。
错误示例：对称点未垂直对称轴或距离不相等。
忽略实际约束：
实际问题中，路径可能有限制（如必须在河岸某侧行走），需检验解的可行性。
混淆问题类型：
“将军饮马”与“造桥选址”问题解法不同，需分清是否需要平移或对称。
计算错误：
用勾股定理求距离时，注意坐标或长度的准确计算。
知识点小结
最短路径问题的核心是**“化折为直”**，通过对称或平移将复杂路径转化为直线。
轴对称是解决“一点到直线再到另一点”问题的关键工具。
实际问题中需注意路径的合理性，避免忽略约束条件。
掌握典型模型（如将军饮马）的固定解法，能推广到类似问题中。
学习建议
多画图分析，培养几何直观能力。
从简单例题入手，逐步理解对称转化的思想。
结合生活实例（如快递员送货路线）加深理解。
巩固练习
一、选择题
1．如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.57
3．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
5．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　）
A．5 B． C．2 D．
二、填空题
6．如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为　 　度．
7．如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为　 　cm时， 线段CQ+PQ的和最小.
8．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　°．
9．如图，在等腰中，点是底边BC边的中点，M，N分别是AD和AB上的动点.若，则的最小值=　 　.
10．如图，在锐角三角形ABC中，°，的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当取得最小值时，　 　．
三、解答题
11．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）
（1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？
（2）如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
12．如图，在中，，．点M在BC边上，且，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．
（1）线段是否存在最小值？　 　（用“是”或“否”填空）．
（2）如果线段存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．
13．A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．
14．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
15．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；
（1）求点E的坐标及折痕DB的长；
（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标。
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．D
5．D
6．40
7．2
8．70
9．
10．2
11．（1）解：如图，连结AB，交直线l于点D，点D就是牛奶售卖点所在位置.
（2）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连结C交直线l于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置.
12．（1）是
（2）解：由（1）可得时，存在最小值
∵，
∴
∴
∵
∴
∴的长为．
13．（1）（1，1）；（5，2）
（2）解：作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于P，
则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
A′B的长度即为PA+PB的最小值，
∴PA+PB的最小值＝A′B＝ ＝5．
14．（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′，使得GE′=GE
连接AE′， BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
15．（1）解：∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，∴AE=6，∴OE=10-6=4，∴E点坐标为（4，0）；
在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，
在Rt△BDE中，BD= ；
（2）解：以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，如下图，
∴B′的坐标为（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐标为（4.5，3），
设直线D′B′的解析式为y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，
∴直线D′B′的解析式为y=-2x+12， 令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．

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