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2025-2026学年数学八年级上册人教版 第十三章 三角形
13.2.1 三角形的边 （讲义）
思维导图
学习目标
了解三角形的基本概念，包括三角形的定义、边、顶点、内角。
掌握三角形的表示方法。
理解并掌握三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。
能运用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，并解决简单的相关问题。
了解三角形按边的相等关系进行的分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）。
知识点梳理及其讲解
一、 三角形的有关概念
三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
讲解：关键词是“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”。这三个条件缺一不可。如果三条线段在同一直线上，组成的是一条线段；如果不是首尾顺次相接，可能组成的是其他图形。
三角形的基本要素：
边： 组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
如图（请自行想象一个三角形ABC），线段AB、BC、CA是三角形的三条边。
三角形的边可以用两个顶点的字母表示，例如边AB、边BC、边CA；也可以单独用一个小写字母表示，通常顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
顶点： 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
如图（请自行想象一个三角形ABC），点A、B、C是三角形的三个顶点。
内角： 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
如图（请自行想象一个三角形ABC），∠A、∠B、∠C是三角形的三个内角。
三角形的表示方法： 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
讲解：表示三角形时，字母没有顺序要求，可以记作△ABC，也可以记作△ACB等，但通常按顺序书写。
二、 三角形三边的关系
三角形两边的和大于第三边： 三角形任意两边之和大于第三边。
讲解：在△ABC中，任意两边之和大于第三边，即： AB + BC > AC AB + AC > BC BC + AC > AB （如果用小写字母a, b, c分别表示BC, AC, AB，则有 a + b > c, a + c > b, b + c > a）
理论依据：两点之间，线段最短。
作用：判断三条线段能否组成三角形的依据。
三角形两边的差小于第三边： 三角形任意两边之差小于第三边。
讲解：在△ABC中，任意两边之差小于第三边，即： |AB - BC| < AC |AB - AC| < BC |BC - AC| < AB （用小写字母表示：|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a）
推导：由 AB + BC > AC 可以移项得到 AC - BC < AB，同理可得其他式子。
作用：已知三角形的两边，可以确定第三边的取值范围。
三、 三角形按边的关系分类
不等边三角形： 三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
等腰三角形： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形（或正三角形）： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
讲解：等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰和底边都相等的等腰三角形。
分类图示（用文字描述）： 三角形（按边分类） |-- 不等边三角形（三条边都不相等） |-- 等腰三角形（至少有两条边相等） |-- 底边和腰不相等的等腰三角形 |-- 等边三角形（三条边都相等，特殊的等腰三角形）
易错点提醒
对“任意”二字的理解： 在运用“三角形两边之和大于第三边”时，必须是“任意”两边的和都要大于第三边。不能只检查其中一组。
例如：判断三条线段长度分别为2，3，5能否组成三角形。2+3=5，不满足“大于”，所以不能组成。
等腰三角形的概念： “等腰三角形”是指“至少有两边相等”，所以等边三角形是特殊的等腰三角形，不要错误地认为等腰三角形只有两条边相等。
三角形边的关系的灵活运用： 已知三角形两边长，求第三边的取值范围时，容易忘记“两边之差小于第三边”，或者忘记加上绝对值符号（实际上，我们通常表述为：两边之差 < 第三边 < 两边之和，这里的两边之差指的是较大边减去较小边）。
例如：已知三角形两边长为3和5，则第三边x的取值范围是 5-3 < x < 5+3，即 2 < x < 8。
知识点总结
三角形定义： 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。
三要素： 边、顶点、内角。
表示法： △ABC。
三边关系：
两边之和大于第三边：a + b > c, a + c > b, b + c > a (任意两边)
两边之差小于第三边：|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a (任意两边)
（简化应用：已知两边a、b (a ≥ b)，则第三边c的范围是 a - b < c < a + b）
按边分类：
不等边三角形
等腰三角形（含等边三角形）
预习建议
阅读教材： 仔细阅读课本中“13.2.1 三角形的边”这一小节的内容，对照讲义中的知识点，理解每个概念和性质。
动手操作： 可以用不同长度的小木棒（或吸管、铅笔等）拼一拼，亲身体验“三角形两边之和大于第三边”的道理，以及什么样的三条线段不能组成三角形。
尝试练习： 完成教材上的“练习”或“思考”栏目，检验自己对知识点的理解程度。可以先不看答案，独立思考完成。
标注疑问： 在预习过程中，遇到不理解的地方或有疑问的地方，用红笔标注出来，带着问题听课，效率会更高。
制作思维导图： 尝试用自己的方式（如文字、简单图形）将本节课的知识点串联起来，形成一个知识框架，帮助记忆和理解。例如，以“三角形的边”为中心，向外辐射出定义、要素、表示、关系、分类等分支。
巩固练习
一、选择题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，5，11 C．8，7，15 D．13，12，20
2．已知等腰三角形的两条边分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．17 D．13或17
3．如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
4．木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　）
A．5cm B．18cm C．21cm
D23cm
5．一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（　　）
A． B． C． D．或
6．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（　　）
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性
C．三角形的内角和是 D．直角三角形两个锐角互余
7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
8．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．我国建造的港珠澳大桥全长千米，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是　 　．
10．如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么该三角形的周长是　 　cm．
11．一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为　 　．
12．已知a、b、c是的三边，则化简的结果是　 　．
13．木工师傅做了一个高凳，用于攀高工作，小明看到了建议再加几根木条（如图所示），说这样更安全．你知道小明这样建议的原理是　 　．
三、解答题
14．已知的三边长分别为，，，化简：．
15．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长.
16．如图，小强站在河边的点A处，在河对面（小强的正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他恰好走了80步，并且小强一步大约0.5米，结合实际情境回答下列问题：
（1）从图中可以看出电线塔是由多个三角形框架组成的，请说出电线塔这样设计的数学道理是什么？
（2）求出小强在点A处时他与电线塔的距离的长度是多少米？
17．已知a、b、c满足(a﹣3)2|c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．A
8．B
9．三角形具有稳定性
10．17
11．6
12．
13．三角形具有稳定性
14．
15．解：∵，
∴，解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当，，时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长为：
16．（1）三角形具有稳定性
（2）小强在点A处时他与电线塔的距离的长度是40米
17．（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=12．

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