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16.3.2 完全平方公式
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
理解完全平方公式的结构特征，能准确识别适用完全平方公式的代数式
掌握完全平方公式的两种形式，并能正确运用公式进行计算
能够从代数运算和几何图形两个角度理解完全平方公式
会运用完全平方公式简化计算过程，提高运算效率
能解决与完全平方公式相关的简单实际问题
知识点梳理
公式表达式：
完全平方和公式：(a+b) = a + 2ab + b
完全平方差公式：(a-b) = a - 2ab + b
文字描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍
公式特征：
左边是一个二项式的平方
右边是三项式，包含首平方、尾平方和2倍首尾乘积
公式中的a和b可以表示任意数、单项式或多项式
几何解释：
可以通过正方形面积分割来直观理解
(a+b) 对应边长为(a+b)的正方形面积
(a-b) 对应边长为(a-b)的正方形面积
典型应用：
简化计算：如102 = (100+2) = 10000 + 400 + 4 = 10404
代数式化简：(2x+3) = 4x + 12x + 9
为后续学习配方法、二次函数等知识做准备
易错点提醒
公式混淆：容易将完全平方公式与平方差公式混淆，注意区分(a±b) 和(a+b)(a-b)
中间项遗漏：容易漏掉2ab项，如(x+3) ≠ x + 9（正确应为x + 6x + 9）
符号错误：在(a-b) 展开时，中间项应为负号，如(2x-1) = 4x - 4x + 1
系数处理：含系数的项容易出错，如(3x+2) = 9x + 12x + 4（注意3x的平方是9x ）
多重运算：在复杂运算中容易出错，如(x+2) - (x-2) = (x +4x+4)-(x -4x+4) = 8x
知识点小结
核心要点：
完全平方公式是特殊的多项式乘法公式
公式左边是二项式的平方，右边是三项式
公式具有双向性，既可用于展开，也可用于因式分解
注意区分完全平方和与完全平方差公式
关键步骤：
先判断题目是否符合公式结构
确定公式中的a和b分别对应什么
按照公式结构展开计算
最后检查结果是否最简
实际意义：
简化计算过程，提高计算效率
为后续学习配方法、二次函数等奠定基础
在几何问题中可用于面积计算
学习建议
理解记忆：通过画正方形面积图理解公式来源，避免死记硬背
对比学习：将两个完全平方公式对比记忆，注意符号差异
分步练习：
先练习基本形式：(x+2)
再练习含系数的：(3a+2b)
最后练习复杂形式：(x -3)
逆向思维：练习从结果倒推，如x +10x+25=(x+5)
自我检测：计算后可用具体数值代入检验，如令x=1看等式是否成立
6.实际应用：尝试用公式解决实际问题，如计算边长为(10+0.2)cm的正方形面
巩固练习
一、选择题
1．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　）
A． B．
C． D．
2．用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为；个长方形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
3．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
4．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法：
其中正确的个数是（　　）
①当时，无论x，y取何值，都有；
②若，且，则；
③若，则存在整数x，y，使得；
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若 ， ，则 的值是（　　）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
6．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（　　）
A．10+6 B．10+10 C．10+4 D．24
二、填空题
7．如图，有两个边长分别为a，b（）正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．
①　 　．
② 若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为　 　．
8． 4张长为a、宽为b（ ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（ ）的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 .
（1）若 ， ，则 　 　.
（2）若 ，求a与b满足关系：　 　.
9．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是　 　(写出一个即可)．
10．已知，则的值为　 　；的值为　 　．
11．若 ， ， ，则 　 　．
12．已知实数m，n满足，则的最小值为　 　．
三、解答题
13．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到(a+ 请解答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式　 　.
（2）利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+ bc+ac=38，求的值.
（3）图③中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片，若干个长为b和宽为a 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2b).
14．阅读与思考：
【感知】已知，，求的值．
解：∵，∴，即．
∵，∴
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
（1）若，，则______；
（2）若a满足，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，E，F是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．若长方形的面积为50，求图中阴影部分的面积和．
15．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
16．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．B
5．C
6．A
7．；
8．（1）11
（2）a=2b
9．（a+b）2=a2+2ab+b2
10．2；6
11．
12．
13．（1）
（2）解：5.
（3）解：如图所示：
14．（1）7
（2）解：，且，
，
；
（3）解：设，
长方形中，，，
，
，，
长方形的面积为50，
，
，
，
正方形和的面积和为，
阴影部分的面积和为116．
15．（1）
（2）解：，，
（3）解：设，，
长方形的两邻边分别是，
，
，
，
，这个长方形的面积
16．（1）解：
得
（2）解：由 得
即
得 又
平方得
故

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