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第二单元 因数与倍数
【知识点梳理】
一、因数和倍数
1.定义：
（1）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如：12÷2 = 6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。
（2）因数与倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
2.找一个数的因数：
（1）方法：从1开始，一对一对地找，看哪两个整数相乘等于这个数，这两个整数就是它的因数。
（2）例如：找18的因数，1×18 = 18，2×9 = 18，3×6 = 18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。
（3）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3.找一个数的倍数：
（1）方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。
（2）例如：3的倍数有3×1 = 3，3×2 = 6，3×3 = 9，3×4 = 12……所以3的倍数有3、6、9、12……
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
二、2、5、3的倍数的特征
1.2的倍数的特征：
（1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
（2）例如：10、12、14、16、18等都是2的倍数。
2.5的倍数的特征：
（1）个位上是0或5的数都是5的倍数。
（2）例如：10、15、20、25等都是5的倍数。
3.既是2又是5的倍数的特征：
（1）个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。
（2）例如：10、20、30等。
4.3的倍数的特征：
（1）一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（2）例如：12，各位数字之和为1 + 2 = 3，3是3的倍数，所以12是3的倍数；再如243，各位数字之和为2 + 4 + 3 = 9，9是3的倍数，所以243是3的倍数。
三、偶数和奇数
1.定义：
（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
（2）例如：2、4、6、8、10……是偶数；1、3、5、7、9……是奇数。
2.性质：
（1）偶数 + 偶数 = 偶数，例如：2 + 4 = 6。
（2）奇数 + 奇数 = 偶数，例如：3 + 5 = 8。
（3）偶数 + 奇数 = 奇数，例如：2 + 3 = 5。
（4）偶数×偶数 = 偶数，例如：2×4 = 8。
（5）奇数×奇数 = 奇数，例如：3×5 = 15。
（6）偶数×奇数 = 偶数，例如：2×3 = 6。
四、质数和合数
1.定义：
（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
（2）例如：2、3、5、7、11等，它们都只有1和自身两个因数，所以是质数。
（3）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（4）例如：4、6、8、9、10等，4除了1和4两个因数外，还有因数2；6除了1和6两个因数外，还有因数2和3等，所以它们是合数。
2.1的特殊性：1既不是质数也不是合数，因为它只有1个因数。
3.判断质数的方法：
（1）可以用试除法，从2开始，依次用比这个数小的质数去除这个数，如果都不能整除，那么这个数就是质数。
（2）例如：判断17是否为质数，分别用2、3、5、7、11、13去除17，都不能整除，所以17是质数。
【巩固练习】
一、填空题
1．一个数的最大因数加上3，就是40的最小倍数，这个数是　 　，它的因数有　 　个。
2．三个连续偶数的和是24，这三个偶数分别是　 　、　 　、　 　。
3．在35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17这些数中，5的倍数有　 　，3的倍数有　 　。
4．24的因数有　 　，在这些因数中合数有　 　个。
5．在1，1.2， 2，9， 59， 87， 112这七个数中，　 　是　 　的倍数；　 　和　 　是质数。
6．桌上朝上放着20个杯子，从1~20编号，第一次将2的倍数的杯子全部翻过来，第二次将3的倍数全部翻过来(朝上的变朝下，朝下的变朝上)，第三次将4的倍数的杯子全部翻过来，第五次将5的倍数的杯子翻过来，此时朝上的杯子共有　 　个。
7．生活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有　 　，3的倍数有　 　，同时是2、3、5的倍数有　 　。
8．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上　 　分就是3的倍数；至少去掉　 　分就同时是2和5的倍数。
9．在2、4、8、9、20、72、96这些数中，是40的因数是　 　，是6的倍数是　 　，最小的奇数是　 　，最小的合数是　 　。
10．哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题，其内容是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。例如：8＝3＋5，32＝3＋29，请据此把下面的偶数表示为两个质数的和：12＝　 　＋　 　，30＝　 　＋　 　。
二、判断题
11．一个数的因数的个数是有限的，它的倍数的个数是无限的。（　　）
12．个位上是3、6、9的数都能被3整除。（　　）
13．质数和质数的乘积还是质数。（　　）
14．已知35÷5＝7，所以35是倍数，5是因数。（　　）
15．2既是质数也是偶数。（　　）
三、选择题
16．下面各数中，因数个数最多的是（　　）。
A．9 B．18 C．24 D．39
17．下面的数中，同时是2、3、5的倍数的数是（　　）。
A．30 B．45 C．24 D．70
18．一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（　　）。
A．9 B．12 C．16 D．24
19．三位数43能用时被2和3整除里有（　　）种增法。
A．1 B．2 C．3 D．4
20．最小的质数和最小的合数组成的最大的两位数是（　　）。
A．42 B．24 C．12 D．21
四、操作题
21．把下列各数按要求进行分类。
13 20 1 45 38 0 2 91 3
22．在方格纸上画一个长方形，使它的面积是18平方厘米，长和宽是整厘米数。你有几种不同的画法 （每个小方格的边长是1厘米）
五、解决问题
23．商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。
24．聪聪参加数学竞赛，试题共30道，评分标准是：答对一题得5分，答错一题倒扣1分，不答不得分。如果聪聪所有题都答了，那么他的总得分是奇数还是偶数？
25．一个质数，10 加上它是质数，30 加上它还是质数，90 减去它还是质数，这个质数可能是多少？
26．小华是一名五年级的学生，他参加了学校的数学竞赛。同学问他：“这次数学竞赛你得了多少分？在 60人中获得了第几名？”他说“我的分数、名次和年龄都是质数。它们的乘积是 2134。”你知道他的分数 名次和年龄各是多少吗？
27．有153颗糖，分装到包装袋里。每袋装的糖同样多。用哪种包装袋正好装完？
28．一个四位数ABC4一定是2的倍数。花花是这样想的：这个四位数里有A个1000，B个100，C个10和4个1。其中A个1000，B个100和C个10肯定是2的倍数，而且4个1也是2的倍数，所以合在一起也是2的倍数。你能像花花一样说明为什么这个四位数一定不是5的倍数吗？
29．爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56m，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？
30．小明家wifi的密码是一个八位数，这八个数字从前往后依次是：①第1个数是8的最小倍数；②第2个数是10以内最大的奇数；③第3个数是8的最大因数；④第4个数是10以内的最大质数；⑤第5个数是最小的质数；⑥第6个数是最小的合数；⑦第7个数是最小的奇数；⑧第8个数是7的最小因数。你能写出小明家wifi的密码吗
参考答案
1．37；2
2．6；8；10
3．35、130；99、876、93
4．1、2、3、4、6、8、12、24；5
5．112；2；2；59
6．13
7．110；120；120；12315；120
8．2；3
9．2、4、8、20；72、96；9；4
10．5；7；11；19
11．正确
12．错误
13．错误
14．错误
15．正确
16．C
17．A
18．B
19．B
20．A
21．解：
22．解：18=18×1=9×2=6×3
23．解：237÷3＝79
237÷4＝59.....1
237÷5＝47....2
答：因此选择第一种包装能正好把这些鸡蛋装完。
24．解：30×5=150（分）
5＋1=6（分）
偶数-偶数=偶数
答：他的总得分是偶数。
25．解：10＋7=17
30＋7=37
90-7=83
答：这个质数可能是7。
26．解：因为2134是偶数，所以必然有一个数是2；
2134÷2=1067
1067÷11=97（分）
答：小华的分数是97分，名次是第2名，年龄是11岁。
27．解：根据题意，153的个位上是3，所以不是2和5的倍数，每袋装2颗或5颗的包装袋不能正好装完。
1+5+3＝9，9是3的倍数，则153是3的倍数，所以用每袋装3颗的包装袋正好装完。
答：每袋装3颗的包装袋正好装完。
28．解：这个四位数里有A个1000，B个100，C个10和4个1。其中A个1000，B个100和C个10肯定是5的倍数，但4个1不是5的倍数，所以合在一起不是5的倍数。
29．解：56÷2＝28（米）
28＝5+23＝11+17
要想让这块菜地的面积最大，所以长方形的长是17米，宽是11米，
面积是：17×11＝187（平方米）
答：这块菜地的面积最大是187平方米。
30．解：①第1个数是8的最小倍数是8；②第2个数是10以内最大的奇数是9；③第3个数是8的最大因数是8；④第4个数是10以内的最大质数是7；⑤第5个数是最小的质数是2；⑥第6个数是最小的合数是4；⑦第7个数是最小的奇数是1；⑧第8个数是7的最小因数是1，则这个密码是89872411。

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