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第三单元 长方体和正方体
【知识点梳理】
一、长方体和正方体的认识
1.长方体的特征：
（1）有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。
（2）有12条棱，相对的棱长度相等，可以分为三组，每组有4条棱。
（3）有8个顶点。
2.正方体的特征：
（1）正方体也有6个面，且6个面都是正方形，6个面完全相同。
（2）有12条棱，12条棱的长度都相等。
（3）同样有8个顶点。
3.长方体和正方体的关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高相等时，就变成了正方体。
二、长方体和正方体的表面积
1.表面积的概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2.长方体表面积的计算：长方体的表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，用字母表示为，其中表示长，表示宽，表示高。
3.正方体表面积的计算：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为，这里的表示正方体的棱长。
三、长方体和正方体的体积
1.体积的概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.体积单位：
（1）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成、、。
（2）棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长是1米的正方体，体积是1立方米。
（3）相邻两个体积单位之间的进率是1000，即1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米。
3.长方体体积的计算：
（1）长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示为。
（2）还可以根据长方体的底面积来计算体积，长方体的体积 = 底面积×高，用字母表示为，其中表示底面积（）。
4.正方体体积的计算：正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为。
四、体积单位间的进率及名数的换算
1.体积单位间的进率：如前面所述，立方米、立方分米、立方厘米相邻两个单位间的进率是1000。
2.体积单位名数的换算：
（1）大单位换算成小单位，用大单位的数乘进率。例如：。
（2）小单位换算成大单位，用小单位的数除以进率。例如：。
五、容积和容积单位
1.容积的概念：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。
2.容积单位：
（1）计量容积，一般就用体积单位。但计量液体的体积，常用容积单位升和毫升，也可以写成和。
（2）1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米，1升 = 1000毫升。
3.长方体或正方体容器容积的计算：
（1）对于长方体容器，容积的计算方法与体积类似，从里面量出长、宽、高，然后用公式计算（这里的长、宽、高是从容器里面测量的）。
（2）对于正方体容器，用公式计算（同样是从里面测量棱长）。
【巩固练习】
一、填空题
1．在横线上填上合适的单位。
一个茶杯的容积约是300　 　。
一个热水瓶的容积约是1.5　 　。
一个货运集装箱的体积约是40　 　。
2．一个正方体的展开图如下图所示，其中和“1”相对的是“　 　”，相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是　 　。
3．做一个按长为 8cm的正方体数结框架，至少答资铁纸　 　m，如果将这根铁丝做成一个长10cm，宽7cm的长方体，高是　 　cm。
4．一个长方体，如果高增加3cm就变成一个正方体，表面积比原来增加60cm2，那么原来长方体的体积是　 　cm3，表面积是　 　cm2。
5．如图是一个　 　的展开图，它的底面积是　 　cm2，它的体积是　 　cm3。
6．一块长方体木料，长是6dm，宽和高都是2dm，锯下一个最大的正方体，这个正方体的表面积是　 　dm2。
7．在横线上填上适当的数。
2.4立方米=　 　升 720毫升=　 　升
6立方分米=　 　立方厘米
0.14立方米=　 　立方分米=　 　升
8．用铁皮做一个棱长为0.4米的无盖正方体水箱，至少需要　 　平方米的铁皮，这个水箱最多雨装水　 　升。
9．一盒磁带的长为11cm，宽为7cm，高为2cm，将三盒这样的磁带包成一包(接口处不计)，当最后包成的长方体长为　 　cm，宽为　 　cm，高为　 　cm时，最节省包装纸。
10．如图，在桌上用若干个棱长是2cm的小正方体摆出一个图形，角上少了一个小正方体，现在这个图形的体积是　 　cm3，表面积是　 　cm2。
二、判断题
11．一个长方体有6个面、12条棱、8个顶点。（　　）
12．棱长是6cm的正方体，它的体积和表面积相等。（　　）
13．如果长方体有4个面完全相同，则它的另外两个面一定是正方形。（　　）
14．一个油桶最多能盛500mL油，其体积就是500mL。（　　）
15．一个正方体的棱长是2cm，那么它的体积是8cm2。（
）
三、选择题
16．下列物品中，体积最接近1 dm3的是（　　）。
A．一块橡皮 B．一张大床 C．一个粉笔盒 D．讲台
17．在一个长方体中，相交于同一个顶点的所有棱长的和是16cm，则这个长方体的棱长总和是（　　）。
A．32cm B．48cm C．64cm D．96cm
18．下图分别是一个长方体的前面和右面，这个长方体的底面积是（　　）平方厘米。
A．50 B．40 C．20 D．16
19．如图，一个长方体被挖掉了一个小正方体，下面说法正确的是（　　）。
A．表面积不变，体积变小 B．表面积变小，体积变小
C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积不变
20．如图，将一根长3米的长方体木料沿虚线锯成3段，表面积将增加2.4平方米，这根长方体木料的体积是（　　）立方米。
A．7.2 B．2.4 C．1.8 D．0.6
四、计算题
21．计算下面各图的表面积和体积。
22．计算下面图形的表面积和体积。(单位：cm)
五、操作题
23． 一个无盖纸盒的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，下面画出的是纸盒展开图的后面和右面。
（1）请在方格纸上画出另外3个面。
（2）这个纸盒的容积是多少立方厘米 (纸盒的厚度忽略不计)
六、解决问题
24．包装礼盒时，需要在外面系上彩带（如下图），已知打结部分长23厘米。包装这个礼品盒需要多少彩带？（单位：厘米）
25．一个底面长和宽都是4cm的长方体，它的表面积是128cm2。这个长方体的高是多少厘米
26．小明的房间长是4米，宽是3米，高是3米，要给这个房间的四面墙壁贴上墙纸，门窗的面积共3平方米。如果每平方米墙纸的价格为9.6元，那么贴完这个房间的墙纸需要多少钱 (损耗忽略不计)
27．王叔叔家的客厅准备装修。为使客厅更加光亮，要在一堵实心墙(非承重墙)上开一扇长1.6米、宽1.5米的窗。若墙的厚度是3分米，则凿墙时挖出的渣土至少有多少立方米
28．刘叔叔准备做一个长方体玻璃鱼缸（无盖），鱼缸长 8 米，宽 5.5 米，高 6 厘米，做这个鱼缸需要多少平方厘米玻璃？这个鱼缸最多能装多少升水？
29．如下图，四个组合衣柜靠墙角摆放，每个衣柜长是0.8米，宽是0.65米，高是2米。要把衣柜的表面刷上油漆，每平方米用油漆0.6千克，需要准备油漆多少千克？
30．乘飞机时如果行李太大需要托运，航空公司免费随身行李的尺寸限制如图。李老师出差带了个容积是50立方分米的硬质皮箱，从里面量长50cm，宽40cm，他乘坐飞机时行李箱可以随身携带吗？请说明理由。
31．如图是一个长方体容器，里面水深1分米，如果往里面放入一个体积为640立方厘米的珊瑚石，珊瑚石完全浸没水里，这个容器里的水会不会溢出来？请说明理由。
32．一个长方体玻璃花瓶，瓶口朝上摆放在桌面上，从上面和正面看到的图形如下图所示。（涂色部分表示厚度）
（1）这个花瓶覆盖桌面的面积是多少平方厘米？
（2）在花瓶中注入水，当水面距离桌面8厘米时，花瓶中的水正好形成一个正方体。那么与水接触的玻璃面积是多少？
（3）这个花瓶的容积是多少？
参考答案
1．mL；L；m3
2．5；14
3．0.96；7
4．50；90
5．长方体；40；80
6．24
7．2400；0.72；6000；140；140
8．0.8；64
9．11；7；6
10．208；216
11．正确
12．错误
13．正确
14．错误
15．错误
16．C
17．C
18．A
19．A
20．C
21．解：表面积：(7×3+7×4+3×4)×2
=61×2
=122(cm2)，
体积：7×3×4
=21×4
=84（cm3），
表面积：5×5×6
=25×6
=150(cm2)，
体积： 5×5×5
=25×5
=125（cm3）；
22．解：表面积：
5×5×6
=25×6
=150(cm2)
体积：
5×5×5-2×2×4
=125－16
=109(cm3)
23．（1）解：
（2）解：4×3×2=24(cm3)
答：这个纸盒的容积是24cm3。
24．解：（40+15+10）×4+23
=65×4+23
=260+23
=283（厘米）
答：包装这个礼品盒需要283厘米彩带。
25．解：128÷2=64(cm2)
64-4x4
=64-16
=48(cm2)
48÷(4+4)
=48÷8
=6(cm)
答： 这个长方体的高是6厘米。
26．解：(4×3+3×3)×2=42(平方米)
42-3=39(平方米)
39×9.6=374.4(元)
答： 贴完这个房间的墙纸需要374.4元。
27．解：3分米=0.3米
1.6×1.5×0.3=0.72(立方米)
答： 凿墙时挖出的渣土至少0.72立方米。
28．解：8×5.5＋6×8×2＋6×5.5×2
=44+96+66
= 206（平方分米）
8×5.5×6
=44×6
=264（立方分米）=264升
答：做这个鱼缸需要206平方厘米玻璃。这个鱼缸最多能装264升水。
29．解：0.8×4=3.2（米）
3.2×2+3.2×0.65+0.65×2
=6.4+2.08+1.3
=9.78（平方米）
9.78×0.6=5.868（千克）
答：需要准备油漆5.868千克。
30．解：55×40×20
=2200×20
＝44000（立方厘米）
44000立方厘米＝44立方分米
44＜50
答：他乘坐飞机时行李箱不可以随身携带，因为超过了航空公司免费随身行李的尺寸限制。
31．解：2×0.8×1.5
＝1.6×1.5
＝2.4（立方分米）
2×0.8×1
＝1.6×1
＝1.6（立方分米）
640立方厘米＝0.64立方分米
0.64＋1.6＝2.24（立方分米）
2.24＜2.4
答：这个容器里的水不会溢出来，因为长方体容器里水的与珊瑚石的体积和小于长方体容器的体积。
32．（1）解：花瓶底面的长是8厘米，宽是8厘米，
8×8=64（平方厘米）
答：这个花瓶覆盖桌面的面积是64平方厘米。
（2）解：水的形状看做正方体，
8-2=6（厘米）
6×6×5=36×5=180（平方厘米）
答：与水接触的玻璃面积是180平方厘米。
（3）解：6×6×20=720（立方厘米）
答：这个花瓶的容积是720立方厘米。

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