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2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程（讲义）
思维导图
学习目标
了解列一元二次方程解决实际问题的意义。
能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程。
初步掌握运用一元二次方程解决实际问题的一般步骤。
通过列方程解决实际问题，体会数学建模思想，感受数学的应用价值。
知识点梳理
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
审： 审题。认真读题，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
设： 设元。选择一个适当的未知量设为未知数，通常用字母 x 表示。设元时要写明单位。
找： 找出题目中的等量关系。这是列方程的关键步骤。
列： 根据所找出的等量关系，列出一元二次方程。注意方程两边的代数式所表示的意义必须相同，单位要统一。
解： 解所列的一元二次方程。（此步骤在后续学习中重点掌握，预习时可尝试，重点是列出方程）
验： 检验。检验方程的解是否正确，更重要的是检验方程的解是否符合实际意义（如：长度不能为负，人数不能为小数等）。
答： 写出答案。回答要完整，注明单位。
常见的实际问题类型及数量关系：
类型一：传播问题（如病毒传播、信息传播等）
基本数量关系： 第一轮传播后的数量 = 原有数量 × (1 + 每轮每人传播的数量)
第二轮传播后的数量 = 第一轮传播后的数量 × (1 + 每轮每人传播的数量) = 原有数量 × (1 + 每轮每人传播的数量)^2
如果设每轮传播中平均一个传播给 x 个，初始有 1 个，经过两轮传播后有 n 个，则方程可列为：1 × (1 + x)^2 = n。
（注：具体题目中的“原有数量”和“传播轮次”可能不同，需灵活调整）
类型二：增长率（或降低率）问题
基本数量关系： 增长后的量 = 原来的量 × (1 + 增长率)^n
降低后的量 = 原来的量 × (1 - 降低率)^n
其中，n 表示增长（或降低）的次数。
如果设原来的量为 a，平均增长率为 x，经过 n 次增长后量为 b，则方程为：a(1 + x)^n = b。
（若为降低率问题，则方程为：a(1 - x)^n = b）
类型三：几何图形的面积（或体积）问题
基本思路： 根据图形的面积（或体积）公式，结合题目中给出的边长、半径等的变化关系，列出方程。
常见图形：
长方形：面积 = 长 × 宽。若长和宽发生变化（如增加、减少、裁剪等），用含未知数的代数式表示变化后的长和宽，再根据面积关系列方程。
正方形：面积 = 边长 × 边长。与长方形类似。
（其他图形如圆、梯形等，需结合相应面积公式，根据具体题目分析）
例如： 用长为 L 的铁丝围成一个长方形，若要使面积达到 S，求长方形的长和宽。可设长为 x，则宽为 (L/2 - x)，方程为 x(L/2 - x) = S。
类型四：销售利润问题
基本数量关系：
单件利润 = 售价 - 进价（或成本）
总利润 = 单件利润 × 销售量
销售量通常会随着售价的变化而变化，题目中会给出两者之间的关系（如：每涨价1元，销量减少m件；每降价1元，销量增加n件）。
例如： 某商品进价为 a 元，原售价为 b 元，每天可售 c 件。现准备涨价 x 元，已知每涨价 1 元，销量减少 d 件。若要使每天总利润达到 w 元，则涨价后的售价为 (b + x) 元，单件利润为 (b + x - a) 元，销量为 (c - d x) 件，方程为：(b + x - a)(c - d x) = w。
易错点提醒
审题不清： 未能准确理解题意，导致找错等量关系或设错未知数。
单位不统一： 在设未知数和列方程时，忽略单位的统一性。
等量关系错误： 特别是在增长率、降低率问题中，混淆“增长了”和“增长到”；在传播问题中，弄错传播的轮次和每轮传播的人数。
忽略实际意义： 解出方程的根后，未检验根是否符合实际情况（如：长度不能为负，人数不能为小数，增长率不能大于1等），直接将所有根作为答案。
几何问题中，未能准确用含未知数的代数式表示图形的边长、面积等几何量。
知识点总结
列一元二次方程解决实际问题的关键在于找出题目中的等量关系。
解决问题的一般步骤可概括为：审、设、找、列、解、验、答，其中“验”不仅要检验解的正确性，更要检验解的实际意义。
常见的几类实际问题（传播、增长率、几何面积、销售利润）各有其基本的数量关系和方程模型，需熟练掌握并灵活运用。
检验方程的解是否符合实际意义是必不可少的步骤。
预习建议
回顾旧知： 复习一元二次方程的定义、一般形式以及学过的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），为求解应用题中的方程做好准备。
认真阅读教材： 仔细阅读课本中关于21.3小节的内容，重点理解例题的分析过程和解答步骤，特别是如何从实际问题抽象出数学模型（列出方程）。
动手实践： 尝试完成教材中的“思考”、“探究”以及课后练习题中简单的题目，检验自己对知识点的理解程度。
勤于思考，善于提问： 在预习过程中遇到不理解的地方，及时做好标记，可以向老师或同学请教，并尝试总结不同类型问题的解题规律。
联系生活： 思考生活中哪些实际问题可以用一元二次方程来解决，体会数学的实用性。
巩固练习
一、选择题
1．如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱
4．学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
6．股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7． 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
8．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（　　）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
二、填空题
10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为　 　．
11．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的百分率为x，则可列方程是　 　.
12．有一支匀速前进的队伍，总长为40米，排尾的通讯员因传达命令赶到排头后又立即以同样的速度回到排尾，队伍向前进了30米，则通讯员比队伍多行了　 　米路程.
13．如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为　 　．
14．代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为　 　．
15．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是　 　.
16．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为　 　．
17．已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（k为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为　 　．
18．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有　 　种．
三、解答题
19．某景区在今年的“国庆”假期间，接待游客达万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客万人次，该景区一家特色小面店希望在“国庆”假期间卖面获得好的收益，经测算知，该面成本价为每碗元，若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每提高元，则平均每天少销售碗，每天店内所需其他各种费用为元．
（1）求预计该景区明、后两年“国庆”假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗面售价不得超过元，当每碗面提高多少元时，店家才能实现每天净利润元？（净利润＝总收入总成本其它各种费用）
20．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
21．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
22．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位：件）是关于时间（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
时间/天 1 3 10 20
日销售量/件 98 94 80 60
这20天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出关于的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围.
23．正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，______；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，．
①求点F到AD的距离； ②求BF的长；
（3）若，请直接写出此时AE的长．
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．B
5．D
6．A
7．C
8．A
9．C
10．15．
11．55(1-x)2=35
12．60
13．或或
14．4
15．1
16．
17．
18．3
19．（1）
（2）当每碗面提高元时，店家才能实现每天净利润600元
20．（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
21．目标1：，
目标2：（1）解：由图知，设小正方形的边长为xcm，
由题意得(50-2x)(40-2x)=936，解得x1=7，x2=38(舍)
所以收纳盒的高7cm，
体积为，
答：储物盒的容积为立方厘米；
22．（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.
23．（1）
（2）①3；②
（3）AE的长为1或

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