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第一章 有理数
1.6 有理数的乘方
第1课时 认识乘方
一、教学目标
1.理解并掌握有理数乘方、幂、底数、指数的概念及意义；
2.能够正确进行有理数的乘方的运算；
3.培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广过程，从中感受转化的数学思想且加强学生的运算能力；
4.体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心.
二、教学重难点
重点：正确理解幂、指数、底数等概念.
难点：掌握有理数乘方的运算方法．
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
环节一 创设情境
印度宰相发明了国际象棋，棋盘上共有8行8列构成64个格子.
国王决定奖赏他，他跪在国王面前说：“请在棋盘的第一个格子放上1粒麦粒，在棋盘的第二个格子里放上2粒麦粒，在棋盘的第三个格子里放上4粒麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8粒麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请赏给你的仆人吧！”
国王听了很不以为然，说：“我一定满足你的要求！
你觉得国王能兑现诺言吗？
设计意图：通过生活中的情境引入，启发学生思考，激发学生学习兴趣，为接下来探究有理数乘方的运算方法埋下伏笔.
环节二 探究新知
【探究】计算下列正方形的面积和正方体的体积.
答：正方形的面积2×2=4（cm2），正方体体积2×2×2=8 （cm3）
设计意图：通过对正方形面积以及正方体体积公式的回顾及运算，与本节课的乘方产生联系，为接下来的学习做好准备.
【说一说】分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律
2×2 2×2×2
答：都是相同乘数的乘法,为了简便，我们将它们分别记作：2 ，23.
22读作：2的二次方(2的平方)；23读作：2的三次方(2的立方).
【思考】(-2)×(-2)×(-2)×(-2)可以简记为什么？读法一致吗？
答：(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2)4，读作：-2的四次方.
小结： 一般地，a是有理数，n是正整数，则把n个a相乘，简记为an，读作“a 的n次方”或“a 的n次幂”.
概念生成：
求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.乘方的结果叫作幂，在an中，a叫作底数，n叫作指数.
an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂.
特别地， a2通常读作“a的平方”， a3通常读作“a的立方”.
一个数a可以看作a1，例如，5 就是 51.指数1通常省略不写.
【说一说】把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数.
(1) (-6)×(-6)×(-6)； (2) ××× .
答：(1) (-6)3，底数是-6，指数是3；
(2) ()4，底数是，指数是4.
【议一议】(－2)4和－24含义相同吗？它们的结果相同吗？
答：(-2)4 表示 “-2 的 4 次方”,它的结果为16 .
-24 表示“2 的 4 次方的相反数”,它的结果为-16.
(-2)4 与-24的含义不同，结果也不同.
(-2)3 与 -23呢？
注意：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
师生活动：教师提出问题，学生认真听讲并跟着教师思路，分析题目进行思考.
设计意图：通过具体实例，让学生正确理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.
环节三 应用新知
例1 计算：
（1） 07 ； （2） 16 ；
（3） 34 ； （4）43 .
解：（1）(1) 07＝0×0×0×0×0×0×0=0；
(2) 16＝1×1×1×1×1×1=1；
(3) 34＝3×3×3×3=81.
(4) 43＝4×4×4=64.
想一想：43与34的含义有何不同？
例2 计算：
（1） 0.23； （2） (-3)3 ；
（3） ( )3 ； （4） (-)4.
分析：在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来.
解：(1) 0.23＝0.2×0.2×0.2＝0.008.
(2) (-3)3＝(-3)× (-3)× (-3)＝-27
(3) ( )3＝ × ×＝
(4) (-)4＝(-)×(-)×(-)×(-)＝.
设计意图：巩固乘方的运算，培养学生的计算能力.
【思考】结合例1、例2，你认为底数为正数的任何正整数次幂是正数吗？
答：16 ＝1；34 ＝81 ； 43 ＝64 ； 0.23 ＝0.008 .
正数的任何正整数次幂都是正数；
底数为负数呢？
答：(-3)3＝-27 ； (- )4＝ .
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
底数为0呢？
答：07＝0。
0 的任何正整数次幂都是 0．
归纳：由有理数的乘法法则可得，正数的任何正整数次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;
0的任何正整数次幂都是0.
【议一议】直接判断下列各式计算结果的符号：
（1）(-4)2×(-3)3； （2）-23×(-2)3.
答：(1)的结果为负，(2)的结果为正.
设计意图：通过思考和议一议，让学生体会正数和负数的奇偶次幂性质，加深对有理数乘方的运算，同时，培养学生动手操作能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.填空：
答案：
2.关于式子(-5)4，下列说法错误的是( )
A.表示 (-5)×(-5)×(-5)×(-5)
B. -5 是底数，4 是指数
C.-5 是底数，4 是幂
D.4 是指数，(-5)4 是幂
答案：C
3. 判断下列各等式是否成立，并说明理由.
（1） 32 = 2 × 3 = 6；
（2）(-2)3=(-3)2；
（3） -32 =(-3)2.
答案：（1）不成立，32 = 3×3 = 9
（2）不成立，(-2)3 =(-2)×(-2)×(-2)= -8，(-3)2 =(-3)×(-3)= 9
（3）不成立，-32 = -(3×3)= -9，(-3)2 =(-3)×(-3)= 9
4. 计算：
（1） (-3)4 ； （2） (-4)3 ；
（3） (-8)3 ； （2） (-)3 .
解：(1) (-3)4 ＝ (-3)×(-3)×(-3)×(-3)＝ 81 .
(2) (-4)3 ＝ (-4)×(-4)×(-4)＝-64 .
(3) (-8)3 ＝ (-8)×(-8)×(-8)＝-512 .
(4) (- )3 ＝ (- )× (- ) × (- )＝- .
5. 解决问题.
印度宰相发明了国际象棋，棋盘上共有8行8列构成64个格子.
国王决定奖赏他，他跪在国王面前说：“请在棋盘的第一个格子放上1粒麦粒，在棋盘的第二个格子里放上2粒麦粒，在棋盘的第三个格子里放上4粒麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8粒麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请赏给你的仆人吧！”
国王听了很不以为然，说：“我一定满足你的要求！”
1+2+22+23+24+......+263
=1+2+4+8+16+.263
18446744073709551615（粒）
答案：折合约2587亿吨，国王很难兑现承诺.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第一章 有理数
1.6 有理数的乘方
第2课时 科学记数法
一、教学目标
1.借助身边熟悉的事物进一步感受大数，了解科学记数法的意义.
2.学会用科学记数法表示比较大的数.
3.感受科学记数法的作用，体会科学记数法表示大数的优越性及必要性.
4.培养学生认真思考的学习习惯，发展数感．
二、教学重难点
重点：学会用科学记数法表示比较大的数.
难点：感受科学记数法的作用，体会科学记数法表示大数的优越性及必要性．
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
环节一 创设情境
【情境引入】
教师活动：教师出示图片，引导学生思考，提出疑问，激发学生探究新知的兴趣.
生活中常常会遇到比100万还大的数，比如：
地球表面积约为511 000 000 km2 .
中国“人造太阳”(热核聚变实验堆) 已实现等离子体运行温度达 160 000 000 ℃.
提出问题：这些大数书写起来非常不便，也容易写错.
请同学们想一想，有简单的表示方法吗？
设计意图：通过生活中的情境引入，出示一些比较大的数字，启发学生思考，并激发学生的学习兴趣.
环节二 探究新知
【说一说】102，103，104，… ，10n分别等于多少？你发现了什么？
答：
10的n次幂就是1后面有n个0.
设计意图：通过回忆底数是10的幂的特点，让学生初步感受科学记数法的表示方法.
【做一做】我们可以借用乘方的形式表示大数.
地球表面积约为 511 000 000 km2.
511 000 000＝5.11×100 000 000＝5.11×108，读作 5.11 乘 10 的 8 次方 (幂).
中国“人造太阳”(热核聚变实验堆) 已实现等离子体运行温度达 160 000 000 ℃.
160 000 000 = 1.6×108，读作 1.6乘 10 的 8 次方 (幂).
【思考】对于小于 -10 的数能否用类似的方法表示？
-511 000 000 =____× ____ = ____.
答：-5.11，100 000 000，-5.11×108.
【概念形成】
把一个大于10（小于-10）的数记作 a×10n 的形式，其中a大于或等于1且小于10（a大于-10且小于或等于-1），n是正整数 ，这种记数法就是科学记数法.
表示方法：大于10的数，a×10n ，
小于-10的数，-a×10n ，1≤a＜10，其中n是正整数.
科学记数法是一种记数的形式，它不改变数的大小.
设计意图：通过将大数写成幂的形式，得到科学记数法的概念，让学生理解科学记数法的表示方法.
【探究】如何用科学记数法来表示数：
答：方法一：小数点往左移动几位，则 10 的指数就是几；
方法二：用科学计数法表示一个 n 位数，其中 10 的指数为n-1.
设计意图：探究使用科学记数法时，两种n的确定方法，让学生掌握科学记数法的表示方法.
环节三 应用新知
例1 用科学记数法表示下列各数：
(1) 160 000 000；
(2) －32 000 000 000.
解: (1) 160 000 000 = 1.6×108.
(2) －32 000 000 000 = －3.2×1010.
试一试：在计算器上输入-32 000 000000，再按键，看看显示结果.
例2 2020 年 7 月 23日中国发射的火星探测器“天问一号”，于 2021 年2月进入环绕火星轨道. 2021 年 5 月着陆巡视器与环绕器分离，软着陆在火星的表面.
截至 2022 年 3 月 24 日，“天问一号”环绕器在轨运行 609 天，距离地球 2.77 亿千米，请用科学记数法表示这一距离 (单位：m).
解：由于 2.77 亿 = 277 000 000，1 km = 1 000 m，
所以 2.77 亿千米 = 277 000 000×1000 m= 2.77×1011 m.
设计意图：巩固用科学记数法表示大数，培养学生解决问题的能力.
【议一议】下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？与同学交流你的结果.
(1) 1.7×105； (2) -6.09×109.
解：(1) 1.7×105＝1.7×1 00000＝170 000
(2) -6.09×109＝-6.09×1 000 000 000＝-6 090 000 000
总结：反过来，如果用科学记数法表示的数 10 的指数是 n，那么原数有 (n + 1) 位整数位.
设计意图：通过具体实例，探究将科学记数法表示的数还原成大数的方法.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 一个整数 815550···0 用科学记数法表示 8.1555×1010，则原数中“0”的个数为___个.
答案：6
2. 用科学记数法表示的数 -1.96×104 则它的原数是( )
A. 0.000196 B. -1960
C. 196000 D. -19600
答案：D
3. 用科学记数法表示下列各数：
（1）315 000 000； （2） - 2 180 000 000.
解：（1）315 000 000=3.15× 108
（2） - 2 180 000 000=-2.18×109
4.用科学记数法表示下列各数:
(1)181 万 （2）612 亿 （3）1230.5 万 （4）398.2 千万
解：（1）181 万 = 1 810 000=1.81×106
（2）612 亿=61 200 000 000=6.12×1010
（3）1230.5 万=12 305 000=1.230 5×107
（4）398.2 千万=3 982 000000=3.982×109
5.人的大脑每天能记录大约86 000 000条信息，请用科学记数法表示这个数据.
解：86 000 000=8.6×107 .
6. 地球与火星的最近距离约为5 500万千米，最远距离则超过 4 亿千米．请用科学记数法分别表示5 500 万千米和 4 亿千米(单位:m).
解：由于5 500万＝55 000 000，1km＝1000m，
所以5 500万千米＝55 000 000×1000＝5.5×1010m.
同理，4 亿千米＝4×1011m.
7.下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？
（1）4.8×106; （2）-1.39×109
解：（1）4.8×106=48 000 00
-1.39×109=-1 390 000 000
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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