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12.3　一次函数与二元一次方程
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组.
2.理解函数是解决现实生活中问题的有效数学模型.
3.熟知建立函数模型的一般步骤.
1.一次函数与二元一次方程（组）关系的探索.
2.综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题.
3.建立有效的数学模型解决相关问题.
1.由两个二元一次方程组成的方程组叫作二元一次方程组，使方程组中两个方程的左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作这个二元一次方程组的解.
2.解二元一次方程组的常用方法是消元，将二元的方程化成一元的方程求解.常用的消元方法有代入消元法和加减消元法.
知识点一　二元一次方程与一次函数的关系
一般地，每个二元一次方程都对应一个一次函数，对于任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0，A，B为常数），都可以化成y＝－x－的形式.设k＝－，b＝－，二元一次方程可转化为y＝kx＋b.因此二元一次方程可以转化为一次函数的形式.
特别提示：（1）以二元一次方程Ax＋By＋C＝0的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝－x－的图象相同.
（2）从图象上看，一条直线上有无数个点，每个点的横坐标和纵坐标的数值对应二元一次方程的一组解.因为直线上有无数个点，所以二元一次方程有无数组解.
【例1】把二元一次方程3y－2x＝12化为y＝kx＋b（k≠0）的形式为　　　　.
【解析】将二元一次方程进行适当变形即可.二元一次方程3y－2x＝12，移项，得3y＝2x＋12，则y＝x＋4.
【解】y＝x＋4
【迷津指点】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系.任何二元一次方程都可以化为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的形式，且以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的.
知识点二　二元一次方程组的图象解法
1.由于二元一次方程的解可以看作是y关于x的一次函数图象上的点的坐标，所以二元一次方程组的解为两个一次函数图象的交点坐标，从而可通过画出两个一次函数图象，从图象上观察出交点坐标，得到二元一次方程组的解.这种利用作图求解二元一次方程组的方法，叫作二元一次方程组的图象解法.
特别提示：图象法解二元一次方程组的步骤为“先转再画后写”，即先将二元一次方程转化为一次函数，再画出一次函数的图象，最后根据两直线的交点坐标写出方程组的解.
2.解方程组确定直线交点坐标
直线y＝k1x＋b1和直线y＝k2x＋b2的交点坐标为方程组的解，求出该方程的解即可得到两直线的交点坐标.
特别提示：在利用解方程组求两直线的交点坐标时，可直接消去y，得到k1x＋b1＝k2x＋b2，再求出x和y的值.
【例2－1】利用图象法解方程组
【解析】因为二元一次方程的解可以看成是相应的一次函数图象上的点的坐标，所以方程组的解为两个一次函数图象的交点坐标，从而可通过画出两个一次函数的图象，从图象上观察出交点坐标，从而得到方程组的解.
【解】由x＋2y＝－3，得y＝－x－；
由2x－y＝－1，得y＝2x＋1.
在同一坐标系内画出一次函数y＝－x－的图象l1和y＝2x＋1的图象l2，如图所示.
观察图象可知，l1，l2的交点为（－1，－1），
所以方程组的解是
【迷津指点】利用图象法解二元一次方程组的一般步骤：（1）把二元一次方程转化成一次函数解析式；（2）在同一个坐标系中画出两个一次函数的图象；（3）观察两个图象的交点坐标得出二元一次方程组的解.
【例2－2】若直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，求k的取值范围.
【解析】先解方程组得出用k表示的两直线的交点坐标，再根据第四象限内点的坐标特征求k的取值范围.
【解】解方程组得
因为两直线的交点在第四象限，
所以
解得＜k＜1，
所以k的取值范围是＜k＜1.
【迷津指点】此题应先把k看作已知数，求出两直线交点的坐标，再根据第四象限内点的坐标特征列出不等式组来求解.
【例2－3】为响应国家全民健身号召，父女二人决定利用暑假到游泳馆进行锻炼.设二人在游泳过程中速度保持不变，女儿每游200m休息1min.如图所示的是父女二人某天锻炼时的函数图象，利用图象解答以下问题：
（1）父女二人的游泳速度各是多少？
（2）女儿往返一次会与父亲相遇几次？最后一次相遇时距离出发地有多少米？
【解析】（1）根据函数图象由“速度＝路程÷时间”就可以求出父女二人的游泳速度；（2）通过函数图象可知女儿往返一次会与父亲相遇3次，由图象分别求出DG，EF的解析式就可以得出结论.
【解】（1）由题意，得v父＝400÷4＝100（m/min）；
v女＝200÷4＝50（m/min）.
（2）由图象得女儿往返一次会与父亲相遇3次.
设DG所在直线的解析式为y1＝k1x＋b1，EF所在直线的解析式为y2＝k2x＋b2.由图象，得解得解得所以y1＝－50x＋450，y2＝－100x＋800.
当y1＝y2时，－50x＋450＝－100x＋800，
解得x＝7，所以y＝－50×7＋450＝100，
所以女儿往返一次过程中，父女最后一次相遇时距离出发地100m.
【迷津指点】本题是一道一次函数的综合试题，考查了“速度＝路程÷时间”的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程的关系的运用.求出一次函数的解析式是解答本题的关键.
知识点三　不解方程判断方程组解的情况
关于直线a1x＋b1y＝c1与a2x＋b2y＝c2
1.当≠时，两直线相交，即方程组有唯一解.
2.当＝≠时，两直线平行，方程组无解.
3.当＝＝时，两直线重合，方程组有无数组解.
4.两个一次函数图象的交点坐标在实际问题中的应用.
特别提示：（1）方程组有唯一解的情况比较容易判断，而方程有无数组解还是无解是容易混淆的地方，可以对两方程进行化简，如都化简为ax＋by＝c的形式，再比较常数项来判断解的情况.
（2）要求两条直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的交点坐标，可以由两个解析式联立成方程组这个方程组的解就是两直线交点的横、纵坐标.
【例3－1】不解方程组也不画图，则方程组的解的情况是（　　）
A.只有唯一一组解 B.无解
C.有无数组解 D.以上答案都不对
【解析】利用系数比的关系进行判断，因为＝＝，所以方程组有无数组解.
【答案】C
【迷津指点】当x，y的系数比不一样时，方程组有唯一一组解；当x，y的系数比一样时，可根据等式的性质对其中的一个方程进行变形，与另一个方程比较，判断方程组解的情况.如本题第二个方程可化为x－2y＝5，从两个方程相同，即两直线重合，知方程组有无数组解.
【例3－2】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）.
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由.
【解析】（1）交点的坐标同时满足l1，l2的解析式，可将点（1，b）代入l1的解析式中求出b的值；（2）观察图象，由（1）的结论知方程组的解即是点P的横、纵坐标；（3）将点P的坐标代入l3的解析式检验左、右两边是否相等来判断.
【解】（1）因为P（1，b）在直线y＝x＋1上，所以当x＝1时，b＝1＋1＝2.
（2）解是
（3）直线y＝nx＋m也经过点P.理由如下：
因为点P（1，2）在直线y＝mx＋n上，
所以m＋n＝2.将x＝1代入y＝nx＋m中，得y＝n＋m＝2，
即直线y＝nx＋m也经过点P.
知识点四　建立一次函数模型的步骤
1.建立适当的平面直角坐标系，以问题中自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点（若干个）.
2.观察描出的点在平面直角坐标系内的分布情况，从而推测函数图象的大致形状，并据此进一步猜想y与x之间的函数关系的类型.
3.根据猜想及已知条件，用待定系数法求出函数表达式并检验，必要时可对所求表达式作适当修正.
4.运用求得的函数表达式解决相关问题.
【例4－1】对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系.从温度计上的刻度可以看出，摄氏温度x与华氏温度y有如下的对应关系：
x/℃ … －10 0 10 20 30 …
y/℉ … 14 32 50 68 86 …
　　（1）通过①描点、连线，②猜测y与x之间的函数关系，③求解，④验证这几个步骤，试确定y与x之间的函数表达式；
（2）某天，南昌的最高气温是8℃，悉尼的最高气温是91℉，则这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高约多少摄氏度（结果保留整数）？
【解析】本题主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，但结论未定，要求根据点的坐标描点、连线、猜测、求解并验证.
【解】（1）①描点、连线，如图所示.
②通过观察可猜测：y是x的一次函数.
③设y＝kx＋b（由于图象是直线，因此猜测是一次函数）.将两对数值分别代入y＝kx＋b，得（用待定系数法求函数表达式）
解得
所以y＝1.8x＋32.
④验证：将x＝－10，x＝20，x＝30分别代入y＝1.8x＋32，
得1.8×（－10）＋32＝14，1.8×20＋32＝68，1.8×30＋32＝86（验证是为了看猜测是否正确，让尽可能多的点符合函数表达式），结果都成立，
所以y与x之间的函数表达式是y＝1.8x＋32.
（2）当y＝91时，由91＝1.8x＋32，解得x≈32.8，32.8－8＝24.8≈25（℃）.
答：这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高约25℃.
【例4－2】由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（单位：万立方米）与干旱持续时间t（单位：天）的关系如图，回答下列问题：
（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
（2）蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，则干旱多少天后将发出严重干旱警报？
（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天时水库将干涸？
【解析】学会从图中获取相关信息，找出V与t之间的函数关系式是关键.
【解】因为图象为一条直线，所以V与t成一次函数关系.
设V＝kt＋b.
因为直线过点（0，1200）和（10，1000），
所以b＝1200，10k＋b＝1000，解得k＝－20，
所以V＝－20t＋1200.
（1）干旱持续10天时，V＝－20×10＋1200＝1000；
干旱持续23天时，V＝－20×23＋1200＝740.
故干旱持续10天，蓄水量为1000万立方米；连续干旱23天，蓄水量为740万立方米.
（2）由题意知V≤400，即－20t＋1200≤400，
解得t≥40，
所以干旱40天后将发出严重干旱警报.
（3）当V＝0时，－20t＋1200＝0，所以t＝60，
所以持续干旱60天时水库将干涸.
【迷津指点】一般从以下两个方面去分析图象：（1）根据函数图象可判断函数类型，如直线过原点为正比例函数，直线不过原点为非正比例函数的一次函数；（2）从x轴、y轴的实际意义去理解函数图象上点的坐标的实际意义.
【例1】若点A（2，a），B（b，3），C（c，－4）在直线y＝2x－3上，试求a，b，c的值，并判断这三个点的坐标是否是方程y－2x＝－3的解.
【解析】把这三个点的坐标的对应数值代入函数关系式，通过解方程即可求得a，b，c的值，坐标确定后再代入方程y－2x＝－3检验即可.
【解】因为点A（2，a），B（b，3），C（c，－4）在直线y＝2x－3上，
所以解得
所以A（2，1），B（3，3），C.
又因为1－2×2＝－3，3－2×3＝－3，－4－2×＝－3，
所以是方程y－2x＝－3的解.
【例2】如图，直线l：y＝－x－3与直线y＝a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（　　）
A.1＜a＜2
B.－2＜a＜0
C.－3≤a≤－2
D.－10＜a＜－4
【解析】本题考查直线交点问题，难度一般.直线l与y轴的交点为（0，－3），直线l与直线y＝a交点在第四象限，则a＜－3，只有选项D符合题意.
【答案】D
【例3】已知一次函数y＝mx＋4有如下性质：y随x的增大而减小，且直线y＝mx＋4分别与直线x＝1，x＝4在第一象限相交于点A，D，直线x＝1，x＝4分别与x轴相交于点B，C.若四边形ABCD的面积为8.
（1）求m的值及此一次函数的表达式；
（2）若直线y＝mx＋4与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，求点E，F的坐标及三角形EOF的面积.
【解析】根据题意画图，观察图形知四边形ABCD是梯形，由梯形面积公式可求得m的值.
【解】（1）由题意，得m＜0，点A和点B横坐标相同，点C和点D横坐标相同.由此可得，点A（1，m＋4），D（4，4m＋4），如图所示.
因为点A，D在第一象限，所以
解得m＞－1，所以－1＜m＜0，
所以CD＝4m＋4，AB＝m＋4，BC＝3.
又因为AB∥CD∥y轴，
所以四边形ABCD是直角梯形.
由梯形面积S＝（AB＋CD）·BC＝（m＋4＋4m＋4）×3＝8，解得m＝－，即一次函数表达式为y＝－x＋4.
（2）令y＝0，则－x＋4＝0，解得x＝；令x＝0，则y＝4，所以E，F（0，4），所以三角形EOF的面积为××4＝15.
【例4】请你根据图中图象所提供的信息，求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件.
【解析】求由两条直线确定的二元一次方程组的一般步骤：①观察图象确定已知点的坐标；②用待定系数法分别求出两条直线的表达式；③把两条直线的表达式写成二元一次方程的形式.
【解】设直线l1，l2所对应的函数表达式分别为y＝a1x＋b1，y＝a2x＋b2.
由题意，得
解得所以直线l1，l2所对应的函数表达式分别为y＝2x－1，y＝－x＋，
所以所求的方程组为
【例5】甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，甲车出发1h后乙车出发，并以各自的速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶.如图所示的是甲、乙两车之间的距离s与甲车出发时间t之间的函数图象，其中点D表示甲车到达B地，停止行驶.
（1）A，B两地的距离为　　　　km，乙车的速度是　　　　，a的值为　　　　；
（2）乙出发多长时间后两车相距330km？
【解析】当t＝0时，s＝560，所以A，B两地的距离为560km.甲车的速度为（560－440）÷1＝120（km/h）.设乙车的速度为xkm/h，则（120＋x）×（3－1）＝440，解得x＝100，所以乙车的速度为100km/h.相遇后甲车到达B地的时间为（3－1）×100÷120＝（h），所以a＝（120＋100）×＝.
【解】（1）560　100km/h　
（2）设直线BC的解析式为s＝k1t＋b1（k1≠0）.
将B（1，440），C（3，0）代入，得
解得所以s＝－220t＋660.
由题意，得－220t＋660＝330，解得t＝1.5，所以t－1＝1.5－1＝0.5.
设直线CD的解析式为s＝k2t＋b2（k2≠0）.
点D的横坐标为＋3＝，将C（3，0），D（，）代入，得解得
所以s＝220t－660.由220t－660＝330，解得t＝4.5.
所以t－1＝4.5－1＝3.5.
答：乙出发0.5h或3.5h后两车相距330km.
【例6】在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村民委员会主任提出了两种购买垃圾桶的方案.方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用为250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为500元.设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月.
（1）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1，y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
【解析】（1）根据总费用＝购买垃圾桶的费用＋每月的垃圾处理费用×月数，即可求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y1，y2的图象；（3）观察图象可知，当使用时间大于8个月时，方案1省钱；当使用时间小于8个月时，方案2省钱；当使用时间等于8个月时，方案1与方案2一样省钱.
【解】（1）由题意，得y1＝250x＋3000，y2＝500x＋1000.
（2）如图所示.
（3）由图象可知，①当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即方案1省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案2省钱；③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案1与方案2一样省钱.
【迷津指点】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力.解题的关键是根据题意列出函数关系式，再结合图象求解.注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力.
【例7】某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（单位：个）与甲品牌文具盒的数量x（单位：个）之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价；
（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，则该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？
【解析】（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出y与x之间的函数关系式；（2）设甲品牌的进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元.根据购进甲品牌文具盒120个可以求出乙品牌文具盒的个数，由共需7200元为等量关系建立方程求出其解即可；（3）设甲品牌的文具盒进货m个，用含m的代数式表示出乙品牌文具盒的进货个数，根据条件建立不等式组进行求解.
【解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由函数图象，得解得
所以y与x之间的函数关系式为y＝－x＋300.
（2）因为y＝－x＋300，所以当x＝120时，y＝180.
设甲品牌文具盒的进货单价是a元，则乙品牌文具盒的进货单价是2a元.由题意，得120a＋180×2a＝7200，解得a＝15，
所以2a＝30，即甲、乙两种品牌文具盒的进货单价分别为15元、30元.
（3）设甲品牌的文具盒进m个，则乙品牌的文具盒进（－m＋300）个.
由题意，得
解得180≤m≤181.
因为m为整数，所以m＝180，181，即共有两种进货方案.
方案1：甲品牌的文具盒进180个，乙品牌的文具盒进120个；
方案2：甲品牌的文具盒进181个，乙品牌的文具盒进119个.
设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元.由题意，得W＝4m＋9（－m＋300）＝－5m＋2700.
因为W随m的增大而减小，
所以当m＝180时，W最大＝－5×180＋2700＝1800（元）.故方案1获利最大，最大获利为1800元.
见课本课后练习.
　　

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