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　 第13章　　三角形中的边角关系、命题与证明
13.1　三角形中的边角关系
1.认识三角形中边的关系和角的关系.
2.掌握三角形的有关概念，能初步解决三角形的有关问题.
3.学会运用三角形的三边关系，三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线、高线解决实际问题.
1.三角形中的边角关系.
2.用三角形的边角关系解决问题.
3.三角形的角平分线、中线、高线的应用.
1.两点之间的所有连线中，线段最短.
2.把线段分为两条相等线段的点，叫作这条线段的中点.
3.在角的内部，从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
知识点一　三角形的有关概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
2.构成：如图所示，三角形ABC有三条边，三个内角，三个顶点.
（1）边：组成三角形的线段叫作三角形的边.
（2）角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.
（3）顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
3.表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为“△ABC”.
顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【例1】如图所示，图中有几个三角形？分别表示出来，并写出它们的边和角.
【解析】根据三角形的定义及构成得出结论.
【解】图中有三个三角形，分别是△ABC，△ABD，△ADC.
△ABC的三边是AB，BC，AC，三个内角分别是∠BAC，∠B，∠C；
△ABD的三边是AB，BD，AD，三个内角分别是∠BAD，∠B，∠ADB；
△ADC的三边是AD，DC，AC，三个内角分别是∠ADC，∠DAC，∠C.
知识点二　三角形的三边关系
1.三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b.
三角形中任意两边的差小于第三边，用字母表示：c－b＜a，b－a＜c，c－a＜b.
2.作用：（1）利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；（2）根据所给的三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形.
“两点之间，线段最短”是三边关系得出的理论依据.
特别提示：三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立.
【例2】已知在△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是（　　）
A.11 B.5
C.2 D.1
【解析】根据三角形的三边关系，得6－4＜AC＜6＋4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.
【答案】B
知识点三　三角形的分类
1.按角分类
三角形
2.按边的相等关系分类
三角形
特别提示：等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形.
【例3－1】等腰三角形的两边长分别为6cm和9cm，则腰长为　　　　.
【解析】两种情况，一是腰长为6cm时，底边长就是9cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6cm；二是腰长为9cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9cm.故腰长为6cm或9cm.
【解】9cm或6cm
【例3－2】已知等腰三角形的周长是24cm.
（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；
（2）若其中一边长为6cm，求其他两边长.
【解析】（1）可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；（2）因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边.
【解】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm.
根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8.
故腰长为2x＝2×4.8＝9.6（cm）.
（2）当长为6cm的边为腰时，底边长为24－6×2＝12（cm）.
∵6＋6＝12，两边之和等于第三边，∴6cm长的边为腰不能组成三角形，故腰长不能为6cm.
当长为6cm的边为底边时，腰长为（24－6）÷2＝9（cm）.
∵6cm，9cm，9cm可以组成三角形，
∴等腰三角形其他两边长均为9cm.
【迷津指点】注意分情况讨论6cm为腰长和6cm为底边长两种情况，并且还要符合三角形三边关系.
知识点四　三角形内角和定理
1.定理：三角形的内角和等于180°.
2.理解与延伸：因为三角形的内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系，如：（1）一个三角形中最多只有一个钝角或直角；（2）一个三角形中最少有一个角不小于60°；（3）直角三角形两锐角互余；（4）等边三角形每个角都是60°等.
3.作用：已知两角求第三个角或已知三角关系求角的度数.三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛.
【例4】填空：
（1）在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝　　　　°；
（2）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝　　　　°；
（3）已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝　　　　°，∠C＝　　　　°.
【解析】（1）三角形内角和为180°，已知两角求第三个角；（2）可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50，所以∠C＝50°；（3）设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°.
【解】（1）80　（2）50　（3）54　90
【迷津指点】三角形内角和定理是解决三角形角度问题的常用定理，使用时要根据题意灵活运用.
知识点五　三角形的高
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
2.描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高.如图所示.
（1）AD是△ABC的高；
（2）AD⊥BC，垂足为D；
（3）点D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.
3.性质特点
（1）因为高是通过作垂线得出的，因而有高就一定有垂直和直角.用文字描述：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.
（2）三角形的三条高（所在直线）交于一点.当三角形是锐角三角形时，这点在三角形内部；当三角形是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当三角形是钝角三角形时，这点在三角形外部.如图所示.
特别提示：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上.
【例5】在△ABC中，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A　　 B
　C　　 　D
【解析】本题考查三角形高线的作法，难度中等.作BC边上的高，需要从点A作BC边的垂线，垂足在BC边所在的直线上，垂足与点A之间的线段为BC边的高，由图知A选项正确.
【答案】A
知识点六　三角形的角平分线
1.定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
2.描述方法：角平分线的描述有三种，如图.
（1）直接描述：AD是△ABC的角平分线；
（2）在△ABC中，∠1＝∠2，且点D在BC上；
（3）AD平分∠BAC，交BC于点D.
3.性质特点
（1）由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角.用文字描述：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1＝∠2（或∠1＝∠2＝∠BAC，或∠BAC＝2∠1＝2∠2）.
（2）一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部.
特别提示：三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上.
【例6】下列说法正确的是（　　）
①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；
②三角形的角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条高和三条角平分线；
④三角形的角平分线是经过顶点和对边中点的直线.
A.③④　　B.③　　　C.②③　　D.①④
【解析】任何一个三角形都有三条高和三条角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确.
【答案】B
知识点七　三角形的中线
1.定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线.
2.描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图.
（1）直接描述：AD是BC边上的中线；
（2）间接描述：D是BC边上的中点.
3.性质特点
（1）由三角形中线的定义可知，有中线就有相等的线段.用文字描述：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD（或BD＝BC，DC＝BC）.
（2）如图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点.不论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点.
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
特别提示：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点.
【例7】如图，△ABC三边中线AD，BE，CF相交于点G，AG＝2GD.若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是　　　　.
【解析】如图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥.
∵△ABC三边的中线AD，BE，CF相交于点G，AG＝2GD，
∴①＝②，③＝⑥，④＝⑤，①＋②＝2③，④＋⑤＝2⑥.
∵S△ABC＝12，∴①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＝12，
∴①＋②＋＋④＋⑤＋＝12，
∴2②＋＋2⑤＋＝12，即3（②＋⑤）＝12，
∴②＋⑤＝4.故图中阴影部分面积是4.
【解】4
【例1】如图，你能从图中找出哪些三角形？将它们表示出来，并说说∠ADC是哪个三角形的内角.
【解析】图中共有A，B，C，D，E五个顶点，按照含有A，B两个顶点的三角形，含有A，D两个顶点的三角形，含有A，E两个顶点的三角形，这样的顺序进行寻找，最后去掉重复的三角形就是图中所有的三角形.
【解】图中的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△ADC，△ADE，△AEC.∠ADC是△ADE和△ADC的内角.
【迷津指点】在一个复杂的图形中，准确、快速、不重复、不遗漏地找出所有的三角形，一般是按照字母的顺序依次组合的.
【例2】下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A.1，2，6 B.2，2，4
C.1，2，3 D.2，3，4
【解析】根据三角形的三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边.计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可.A.1＋2＜6，不能组成三角形；B.2＋2＝4，不能组成三角形；C.1＋2＝3，不能组成三角形；D.2＋3＞4，能组成三角形.
【答案】D
【迷津指点】此题主要考查三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的三边关系定理.
【例3】已知三角形的三边长分别为2x，3x，10，其中x为正整数.若该三角形的周长不超过30，求x的取值范围，并写出这个三角形的三边长.
【解析】根据周长不超过30，先确定x的取值范围，再根据x为正整数，确定x的取值，最后根据三角形的三边关系求出这个三角形的三边长.
【解】根据题意，得2x＋3x＋10≤30，解得x≤4.
因为x为正整数，所以x可取1，2，3，4.
当x＝1时，三边长分别为2，3，10，构不成三角形；
当x＝2时，三边长分别为4，6，10，构不成三角形；
当x＝3时，三边长分别为6，9，10；
当x＝4时，三边长分别为8，12，10.
【迷津指点】本题主要考查三角形的三边关系和解一元一次不等式，注意三角形的任意两边之和都大于第三边.
【例4】如图，AD，BC相交于点O，∠A与∠C的和等于∠B与∠D的和吗？说明理由.
【解析】由三角形的内角和定理以及对顶角相等可得∠A＋∠C＝∠B＋∠D.
【解】∠A＋∠C＝∠B＋∠D.理由如下：
在△AOC中，∠A＋∠C＋∠AOC＝180°，
∴∠A＋∠C＝180°－∠AOC.
在△BOD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°，
∴∠B＋∠D＝180°－∠BOD.
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D.
【迷津指点】在运用所学知识进行推理时，要特别注意有条理地思考与表达.本题先在△AOC中把∠A＋∠C表示出来，然后在△BOD中把∠B＋∠D表示出来，再通过对顶角相等把两者联系起来.在这里对顶角起“桥梁”的作用，这也是推理中常用的方法.
【例5】如图，在△ABC中，AD为△ABC中BC边上的中线，E为AD的中点.若△ABC的面积为4，则△AEC的面积是　　　　.
【解析】因为△ABD和△ADC等底同高，所以它们的面积相等；同理可知△AEC和△ECD面积相等.又已知△ABC的面积，由此我们可求出△AEC的面积.
如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，则AF为△ABC，△ABD和△ACD的高.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD＝BC.
又∵S△ABD＝BD·AF，S△ACD＝CD·AF，S△ABC＝BC·AF，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC.
∵E为AD的中点，同理可知S△AEC＝S△ECD＝S△ADC，
∴S△AEC＝S△ADC＝S△ABC.
∵△ABC面积为4，∴S△AEC＝1.
【解】1
【迷津指点】本题的思路及解题过程可以归纳为一句话：三角形一边上的中线平分三角形的面积.我们在解答相关的填空题、选择题时，可以直接应用这个结论.
见课本课后练习.
　　

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