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13.2　命题与证明
1.认识推理证明的方式以及证明的必要性和证明的一般步骤.
2.掌握证明的步骤和格式.
3.掌握命题、真命题、假命题、定理、推论的概念以及基本事实与定理的区别.
4.学会确定条件和结论不明显的命题的条件和结论.
1.掌握证明的步骤和格式.
2.认识命题的条件和结论.
1.线段、射线、直线、角、相交线、平行线的概念.
2.平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
3.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角（内错角）相等或同旁内角互补，那么这两条直线平行.
4.三角形的内角和等于180°.
知识点一　定义
能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.
我们已经学过许多定义.如“由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形”“整数和分数统称有理数”.前一个定义揭示了对象的特征性质，后一个定义明确所指对象的范围.今后我们还会学习许多定义.
特别提示：定义必须是严密的，应避免使用含糊不清的术语.如“一些”“大概”“差不多”等词语不能在定义中出现.正确的定义能把被定义的事物或名词与其他事物或名词区别开来.
【例1】下列属于定义的是（　　）
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行，同旁内角互补
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
【解析】定义能把被定义的事物或名词与其他事物或名词区别开来，显然只有D选项具有这样的特点.
【答案】D
知识点二　命题
1.命题的定义
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
2.命题的结构
命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.
以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件（或题设），q是这个命题的结论（或题断）.
3.命题的分类
命题有真假之分，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题.
特别提示：（1）可以判断出它是真假的陈述语句叫作命题.疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
（2）命题的定义包含两层含义：①命题可以是一个式子或完整的句子，这个句子通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句；②命题必须对某件事情给出肯定或者否定的判断.对于一个命题，上述两点缺一不可.
【例2－1】判断下列叙述是不是命题，并说明理由.
（1）画出∠AOB的平分线OM；
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（3）直角都相等；
（4）你喜欢数学吗？
（5）潮湿的空气.
【解析】可以判断出真、假的陈述语句叫作命题.因此命题必须是一个完整的句子，并且对某一件事情作出肯定或否定的判断.
【解】（1）不是命题.理由：此句仅说出了作图的一个步骤，并没有作出任何判断.
（2）是命题.理由：此句对符合一定条件的直线作出了平行线的判断.
（3）是命题.理由：此句对符合一定条件的角作出了相等的判断.
（4）不是命题.理由：此句仅提出了一个问题，是一个疑问句，并没有作出任何判断.
（5）不是命题.理由：这仅仅是一个词组（短语），不是句子，且没有作出任何判断.
【迷津指点】要判断一个叙述是不是命题，主要注意以下两点：首先命题必须是一个完整的句子，如（5）仅仅是一个词组（短语），不是句子；其次，这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，如（1）没有作出任何判断.
【例2－2】指出下列命题的条件和结论.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）若a＞b，b＞c，则a＞c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）全等的两个三角形的面积相等；（5）对顶角相等.
【解析】第（1）（2）命题中有“如果……那么……”和“若……则……”条件和结论比较明显；第（3）（4）（5）命题中的条件和结论不明显，需要先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再找出条件和结论.
【解】（1）条件：两个角相等；结论：它们是对顶角.
（2）条件：a＞b，b＞c；结论：a＞c.
（3）改写：如果两个三角形有两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
条件：两个三角形有两角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.
（4）改写：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.
条件：两个三角形全等；结论：这两个三角形的面积相等.
（5）改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.
【迷津指点】对那些条件和结论不明显的命题，要指出其条件和结论，可先将其改写成“如果……那么……”的形式后再加以判断，在改写时要做到语句通顺，措辞准确，不改变命题的原意.
【例2－3】下列命题中，是真命题的是（　　）
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
【解析】分析命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.A选项由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，故是假命题；B选项由a·b＜0可得a，b异号，故是假命题；C选项由a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为0，故是假命题；D选项由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，故是真命题.
【答案】D
【迷津指点】根据真、假命题的定义进行判断，正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.
知识点三　原命题、逆命题、反例
1.原命题和逆命题
将命题“如果p，那么q”中的条件和结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题.
2.反例
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称这样的例子为反例.
特别提示：若原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题；若原命题是假命题，它的逆命题也不一定是假命题.
【例3－1】写出下列命题的逆命题，并判断所写逆命题的真假.
（1）若x＝y，则x2＝y2；（2）同旁内角互补.
【解析】把命题改写成“如果p，那么q”的形式，再把p与q的位置互换，就得到它的逆命题，然后判断真假即可.
【解】（1）逆命题为“如果x2＝y2，那么x＝y”，是假命题.
（2）逆命题为“如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角”，是假命题.
【例3－2】命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，可举出反例为　　　　.
【解析】当a＝2，b＝－2时，a2＝22＝4，b2＝（－2）2＝4，所以a2＝b2，但a≠b.
【解】a＝2，b＝－2（答案不唯一）
【迷津指点】通过举反例来说明一个命题是假命题是数学中或日常生活中常用的思想方法，举反例只需要举出一个即可.
知识点四　定理和证明
1.定理
有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
2.证明
从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）.演绎推理的过程，就是演绎证明.
3.证明的一般步骤
（1）分清条件和结论，根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形；
（2）根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；
（3）探求证题思路，看由已知条件可以推得哪些结论，看欲证的结论需要哪些条件，两者结合寻找证题思路；
（4）写出证明过程，证明中的每一步都要有理有据.
特别提示：（1）定理是某些真命题的独立表达形式，命题与定理是一般与特殊的关系，并不是每个命题都是定理，而任何一个定理都是命题.
（2）利用定理进行证明，一般是从条件出发，通过因果关系的推理，得到最后的结论.证明要求步步有据，每步推理都要以定义、基本事实或定理作为依据.
（3）在寻求证明思路的过程中，可以从已知向求证探索，也可以倒过来，即从求证向已知追溯，还可以从已知和求证两个方向同时出发.
【例4－1】命题“对顶角相等”是（　　）
A.角的定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
【解析】“对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定作为判定其他命题真假的依据，所以它属于定理.
【答案】D
【例4－2】求证：同旁内角互补，两直线平行.
【解析】这是一道文字证明题，需要画出图形，写出已知和求证，然后进行证明.
【解】已知：如图，∠1＋∠2＝180°.
求证：a∥b.
证明：∵∠1＋∠2＝180°，（已知）
∠2＋∠3＝180°，（平角的定义）
∴∠1＝∠3，（等量代换）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
【迷津指点】证明中的每一步都要有依据，这些依据可以是已知条件，也可以是我们学过的定义、基本事实、定理等.
知识点五　三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
学习了证明的意义、证明命题的格式及步骤后，我们可以用推理的方式证明三角形内角和定理.
【例5】教材给出了三角形内角和定理的一种证明方法，你还有其他的证明方法吗？已知：如图所示的△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
【解析】教材中我们用“拼角”的作法，即把三角形的3个内角“搬”到一起，拼成一个平角，证明了定理，如图①②③所示，下面探索另外两种证明的方法.
图①　图②　图③
【解】证法1：过点A作AD∥BC，如图④所示.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠C，∠DAB＋∠B＝180°，
∴∠BAC＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠1＋∠B＝∠DAB＋∠B＝180°.
图④　　图⑤
证法2：如图⑤所示，过点A在∠BAC的内部任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.
∵BE∥AD∥CF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠EBC＋∠BCF＝180°，
∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ABC＋∠ACB＝∠EBC＋∠BCF＝180°.
【迷津指点】很多题目都具有多种解法，一题多解有利于培养思维的灵活性和广阔性，提高分析问题的能力和养成勤于思考的好习惯.
知识点六　三角形内角和定理的推论
由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.
1.三角形的外角
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角.
2.三角形内角和定理的推论
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
3.三角形的外角和为360°.
【例6－1】如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.试求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数.
【解析】（1）由题意，知∠A＝62°，∠ACD＝35°，利用三角形外角的性质，即可得出∠BDC＝∠A＋∠ACD；（2）已知∠ABE＝20°，利用三角形内角和定理，得出∠BFD＝180°－∠ABE－∠BDC.
【解】（1）∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，（已知）
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝97°.（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
（2）∵∠ABE＝20°，（已知）
∠BDC＝97°，〔由（1）知〕
∴∠BFD＝180°－∠ABE－∠BDC＝180°－20°－97°＝63°.（三角形内角和定理）
【迷津指点】利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，是求角的度数的基本方法.
【例6－2】图中的圆是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道PA和QB，要求PA与QB所在的直线互相垂直.为了检验PA与QB是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直达点P和点Q的点C，然后测得∠P＝25°，∠C＝45°，∠Q＝20°.PA与QB是否垂直？为什么？
【解析】延长PA，QB，然后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解.
【解】垂直.理由：如图所示，延长PA，QB交于点D，延长PD交CQ于点E.
由三角形外角的性质，得∠1＝∠P＋∠C＝25°＋45°＝70°，∠2＝∠Q＋∠1＝20°＋70°＝90°，所以PA⊥QB.
【迷津指点】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造出三角形是解题的关键.
【例6－3】如图，已知D是∠ACB外角的平分线与BA的延长线的交点.求证：∠BAC＞∠B.
【解析】由三角形外角的性质可知∠BAC＞∠1，∠2＞∠B，而∠1＝∠2，故问题得证.
【解】∵CD平分∠ACE，（已知）
∴∠1＝∠2.（角平分线的定义）
∵∠BAC是△ACD中与∠1不相邻的外角，（已知）
∴∠BAC＞∠1，（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）
∴∠BAC＞∠2.（等量代换）
又∵∠2是△BDC中与∠B不相邻的外角，（已知）
∴∠2＞∠B，（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）
∴∠BAC＞∠B.（不等式的性质）
【迷津指点】在本题中∠BAC既是△ABC的内角，又是△ACD的外角，利用三角形外角的性质，进行角的转换是证题的关键.
【例1】下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假.
（1）对顶角相等；
（2）如果a是有理数，那么a2＋1＞0；
（3）若a∥c，b∥c，则a∥b；
（4）1是质数；
（5）不相交的两条线是平行线；
（6）奇数一定是质数吗？
（7）画一个半径是1cm的圆；
（8）任何数的绝对值都是正数.
【解析】真正理解命题的定义是解题的关键.
【解】（1）（2）（3）（4）（5）（8）是命题，（6）（7）不是命题，其中（1）（2）（3）是真命题，（4）（5）（8）是假命题.
【例2】将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论.
（1）直角都相等；
（2）末位数是5的整数能被5整除；
（3）三角形的内角和是180°；
（4）同角的余角相等.
【解析】一个命题包括条件和结论两个部分.若命题不易分辨出条件和结论两部分，可以将命题改写成与原命题意义不变、句子通顺的“如果……那么……”形式，使命题的条件和结论更明朗化.改写时，可以适当增删词语，使句子完整通顺.对于没有写成“如果……那么……”形式的命题，我们要找到其中表示判断的关键词，如“是”“相等”等词语，与这些词相连的一般是结论.
【解】（1）这个命题写成：“如果几个角是直角，那么这几个角都相等.”条件是“几个角是直角”，结论是“这几个角都相等”.
（2）这个命题写成：“如果一个整数的末位数是5，那么它能被5整除.”条件是“一个整数的末位数是5”，结论是“它能被5整除”.
（3）这个命题写成：“如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°.”条件是“一个图形是三角形”，结论是“它的内角和是180°”.
（4）这个命题写成：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.”条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”.
【迷津指点】添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的条件和结论更明朗，易于分辨.改写过程中可以适当增删词语，使语句更通顺，切不可生搬硬套.
【例3】写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
（1）三角形的两边之和大于第三边；
（2）若a，b都是偶数，则a＋b是偶数.
【解析】逆命题就是把原命题的条件变成新命题的结论，而将原命题的结论变成新命题的条件.（1）“三角形的两边之和大于第三边”可转换成“如果三条线段能构成三角形，那么任意两条线段之和大于第三条线段的长”的形式，这样写逆命题就方便了；（2）“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题通过交换条件和结论即可得到，可举一个反例判断其是假命题.
【解】（1）逆命题：“如果三条线段中，任意两条线段之和都大于第三条线段的长，那么这三条线段能组成三角形.”这是真命题.
（2）逆命题：“如果a＋b是偶数，那么a，b都是偶数.”这是假命题.例如：a＝3，b＝5，a＋b＝8，但a，b均不是偶数.
【迷津指点】写出一个命题的逆命题的方法：当命题的条件、结论不太分明时，可先确定结论，再确定条件，然后将命题改写成“如果……那么……”的形式，再互换条件和结论，从而得到逆命题.
【例4】求证：如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条直线也垂直.
【解析】解文字命题的证明题，首先要分清命题的题设和结论，再画出符合题意的图形.因此，先画出两条平行线，再画出一条与其中一条垂直的直线，然后结合图形写出“已知”和“求证”，并给出“证明”.
【解】已知：如图，a∥b，c⊥a.
求证：c⊥b.
证明：∵a∥b，（已知）
∴∠2＝∠1.（两直线平行，同位角相等）
∵c⊥a，（已知）
∴∠1＝90°，（垂直的定义）
∴∠2＝90°，（等量代换）
即c⊥b.（垂直的定义）
【迷津指点】仔细审题，依题意画图，然后写“已知”“求证”“证明”，这是文字命题证明的基本步骤.为了使证明过程简洁，我们可以通过各种方法简化表达过程.如：用小写字母表示直线，用阿拉伯数字表示角，等等.
【例5】如图所示，已知AB∥CD，求证：∠P＝∠A＋∠C.
【解析】只要过点P作一条与AB平行的直线，构造两组平行线，即可应用平行线的性质进行证明.
【解】证法1：如图①所示，过点P作直线PM∥AB，
∴∠A＝∠1.（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠C＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠C，
即∠APC＝∠A＋∠C.
证法2：如图②所示，连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
即∠BAP＋∠CAP＋∠ACP＋∠PCD＝180°.
又∵∠CAP＋∠ACP＋∠P＝180°，（三角形内角和定理）∴∠P＝∠BAP＋∠PCD.
见课本课后练习.
　　

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