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　 第14章　　　全等三角形
14.1　全等三角形及其性质
1.掌握全等形、全等三角形的概念，能应用符号语言表示两个三角形全等.
2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质，并解决相关简单的问题.
1.探究全等三角形的性质.
2.掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
1.构成三角形的元素：三个顶点、三条边、三个内角.
2.图形平移的特征：平移前后的图形，形状和大小没有发生改变，只改变了位置.
3.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
知识点一　全等形
1.定义
能够完全重合的两个图形叫作全等形.
能够完全重合的含义是形状相同且大小相等，其中重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角，重合的点叫作对应点.
2.全等形的判断
（1）全等形与图形的位置、方向无关，判断的标准是可以完全重合；
（2）平移、翻折或旋转前后的图形全等.
特别提示：（1）全等形的形状和大小都相同，由此可知全等形的对应边、对应角、周长、面积都分别相等.
（2）①全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形；②全等形的周长一定相等，但周长相等的两个图形不一定是全等形.
【例1】找出图中的全等形.
【解析】利用全等形的定义：“能够完全重合的两个图形是全等形”来判断.
【解】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形.
【迷津指点】运用观察法找全等形，一看形状是否相同，二看大小是否相等.
知识点二　全等三角形的定义及表示方法
1.定义
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形中互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角，互相重合的顶点叫作对应顶点.
2.表示方法
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△A'B'C'，读作“三角形ABC全等于三角形A'B'C'”.两个三角形全等时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如图所示，△ABC和△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应顶点，记作△ABC≌△DEF，其中AB与DE，AC与DF，BC与EF分别是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F分别是对应角.
特别提示：（1）找对应边、对应角通常有以下几种方法：①有公共边的，公共边一定是对应边；②有公共角的，公共角一定是对应角；③有对顶角的，对顶角一定是对应角；④两个全等三角形中一对最长的边（最大的角）是对应边（对应角），一对最短的边（最小的角）是对应边（对应角）；⑤全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；⑥全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.
（2）对应角、对应边与对角、对边不要混淆.对应角或对应边是对两个三角形来说的，是两个三角形中对应的两个角之间或两条边之间的关系，而对角与对边是对同一个三角形中边和角的关系来说的.
【例2－1】如图所示，请指出下列全等三角形的对应边和对应角.
（1）△ABE≌△ACF；
（2）△BCE≌△CBF；
（3）△BOF≌△COE.
【解析】根据全等三角形的概念，判断各全等三角形的对应边、对应角.
【解】（1）对应角是∠BAE与∠CAF，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC；对应边是AE与AF，BE与CF，AB与AC.
（2）对应角是∠BCE与∠CBF，∠BEC与∠CFB，∠CBE与∠BCF；对应边是CE与BF，BE与CF，BC与CB.
（3）对应角是∠BOF与∠COE，∠FBO与∠ECO，∠BFO与∠CEO；对应边是BF与CE，FO与EO，BO与CO.
【例2－2】如图所示，已知△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，对于以下结论：①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角.其中正确的有（　　）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
【解析】①AB与CD是对应边，故①正确；②AC与CA是对应边，故②正确；③点A与点C是对应顶点，故③错误；④点C与点A是对应顶点，故④错误；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，故⑤正确.综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个.
【答案】B
知识点三　全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的周长、面积也分别相等.
特别提示：全等三角形的性质经常用来证明三角形中的线段或角相等，也经常用来求解有关线段或角的计算问题.
【例3－1】如图所示，△ABC沿直线BC向右平移线段BC长的距离后与△ECD重合，则△ABC≌　　　　，相等的边有　　　　、　　　　、　　　　，相等的角有　　　　、　　　　、　　　　.
【解析】找出平移方向，即可找出对应顶点、对应边和对应角.
【解】△ECD　AB与EC　BC与CD　AC与ED　∠ABC与∠ECD　∠ACB与∠EDC　∠A与∠E
【迷津指点】三角形通过平移后仍与原三角形全等，根据全等三角形的性质，即可找出相等的线段和相等的角.
【例3－2】如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（　　）
A.△ABC≌△DEF B.∠DEF＝90°
C.AC＝DF D.EC＝CF
【解析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析.A.Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故不符合题意；B.因为△ABC≌△DEF，∠B＝90°，∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝90°成立，故不符合题意；C.△ABC≌△DEF，则AC＝DF成立，故不符合题意；D.EC＝CF不能成立，故符合题意.
【答案】D
【迷津指点】本题考查了平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，平移前后两个图形为全等形；（2）经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.
【例1】指出图中所列8个图形中的全等图形.
【解析】要判断某几个图形是否是全等图形，可以根据定义，看这几个图形是否能够完全重合.
【解】上面8个图形中，全等图形有①与⑥，④与⑤.
【例2】将图中的图形分成四块，使它们的大小完全相同，且形状与原图形完全相同.你会分吗？怎样分？
【解析】分割全等形，是对全等形的概念和性质的考查，这类题型开放、灵活，只需认真分析即可解决.首先以形状与原图形完全相同为突破口，还要考虑的是分成的四个图形大小相同.
【解】可首先将原图形分割成12个小正方形，再将相邻的三个小正方形组成与原图形的形状相同的图形，这样得到的每个小图形的形状都相同，如图.
【迷津指点】本题具有较强的探究性和操作性.解这道题目的关键是把原图分成12个全等的小正方形.这种化整为零的方法大家要牢记.
【例3】如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，有以下结论：①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC.其中正确的有（　　）
A.1个　　　　 B.2个
C.3个　　　　 D.4个
【解析】根据已知找准对应关系，运用全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可.∵△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，∴EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，即∠EAB＋∠BAF＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC.AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB＝∠EAB.故①②错误，③④正确.
【答案】B
【迷津指点】本题考查的是全等三角形的性质，做题时要运用全等三角形的性质，结合图形进行思考是十分必要的.
【例4】如图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，EF＝2.1cm，FH＝1.9cm，HM＝3.3cm.
（1）写出对应相等的边和角；
（2）求线段NM及线段HG的长度.
【解析】要写出对应相等的边和对应相等的角，需要确定全等三角形的对应边和对应角.根据最长边是对应边，可得FG和MH是对应边.根据对应边所对的角是对应角，可得∠E和∠N是对应角.又因为∠F和∠M是对应角，根据对应角所对的边是对应边，所以EG和NH是对应边，剩下的一组边EF和NM是对应边，则∠EGF和∠NHM是对应角.
【解】（1）对应相等的边有FG＝MH，EF＝NM，EG＝NH；
对应相等的角有∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM.
（2）根据全等三角形的性质，得NM＝EF＝2.1cm，
HG＝FG－FH＝HM－FH＝3.3－1.9＝1.4（cm）.
【迷津指点】本题的第（2）问先利用全等三角形的对应边相等求得对应边的长，然后通过线段作差计算所求线段的长度.
【例5】如图，在方格纸中三角形的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上.现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形.
（1）在图①中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图②中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.
【解析】（1）过点A作AE∥PQ，过点E作EB∥PR，再顺次连接点A，E，B，易知△EAB≌△PQR；还可以通过数小方格作△EDC，易知△EDC≌△PQR.（2）△PQR的面积是QR·PQ＝6，可以连接AB，AD，BD，△ABD的面积是6，且△PQR与△ABD不全等；也可以连接CD，AD，AC，发现△ACD的面积也是6，且△PQR与△ACD不全等.
【解】（1）如图所示.
（2）如图所示.
见课本课后练习.
　　

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