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14.2　三角形全等的判定
掌握三角形全等的判定方法，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
1.掌握对三角形全等的判定以及会运用全等的条件解决简单的数学问题和实际问题.
2.根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等.
1.利用尺规作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
2.全等三角形的定义和表示方法：能够完全重合的两个三角形，叫作全等三角形，若△ABC与△A'B'C'全等，则记为△ABC≌△A'B'C'，其中点A和点A'，点B和点B'，点C和点C'分别为对应顶点.
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识点一　“SAS”基本事实
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
如图，在△ABC与△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（SAS）.
特别提示：在证明两个三角形全等时要注意书写格式：（1）明确指出需要证明的两个三角形；（2）按判定方法所需条件的顺序列出条件，注意对应的字母写在对应的位置上，并用大括号把它们括在一起.
【例1】如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.求证：∠ADB＝∠FCE.
【解析】本题考查三角形全等的判定方法，难度较小.由题知一对角、角的一边对应相等，通过证另一边相等证明两个三角形全等即可.
【解】∵BC＝DE，
∴BC＋CD＝DE＋CD，即DB＝CE.
在△ABD和△FEC中，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB＝∠FCE.
【迷津指点】对于有部分重叠的两个三角形，找出这两个三角形的对应边、角比较麻烦，这时我们可以给不同的三角形加注不同的记号以示区分，这样就不易出错了.
知识点二　“ASA”基本事实
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.如图，在△ABC与△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（ASA）.
【例2】如图所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，AB＝DE.求证：AC＝DF.
【解析】要证明AC＝DF，只要证明△ABC≌△DEF即可.先找出图中已知的对应角和对应边，再由AB∥DE，得∠B＝∠DEF，由ASA可得两个三角形全等.
【解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF.
【迷津指点】要证明两条线段相等，可以想办法证明它们所在的两个三角形全等，利用全等三角形的性质解决.
知识点三　“SSS”基本事实
三边对应相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.如图，在△ABC与△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（SSS）.
“SSS”定理说明，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.
特别提示：判断三角形全等，已知两组边相等时，可考虑使用SAS或SSS.
已知条件 想法一 想法二
AB＝ DE， BC＝ EF 首先判断∠B＝∠E，然后应用SAS判断全等 首先判断AC＝DF，然后应用SSS判断全等
　　【例3】如图，已知AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2.
【解析】要证∠1＝∠2，可证△ABO≌△DCO，但证这两个三角形全等缺少条件，故可以证△ABC≌△DCB，得到∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，这样就不难证∠1＝∠2.
【解】在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB，
即∠1＝∠2.
【迷津指点】本题若连接AD，证△ABD≌△DCA（SSS）来得更快，请大家试一试.
知识点四　“AAS”定理
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”.如图，在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
特别提示：判断三角形全等，已知两组角相等时，可考虑使用AAS或ASA.
已知条件 想法一 想法二
∠A＝∠D， ∠B＝∠E 首先判断AB＝DE，然后应用ASA判断全等 首先判断AC＝DF或者BC＝EF，然后应用AAS判断全等
　　【例4】如图所示，D是△ABC的边AB上一点，E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F.求证：AD＝CF.
【解析】由平行线的性质可得∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，根据中点的定义可求出AE＝CE，再根据AAS证明△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质推出结论.
【解】∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A.
∵E为AC的中点，∴AE＝CE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF.
【迷津指点】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质.注意：全等三角形的对应边相等.
知识点五　“HL”定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
【例5】如图所示，点C，E，B，F在同一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
【解析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），可得BC＝EF，进而求得CE＝BF.
【解】∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴BC＝EF，
∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.
【迷津指点】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形）.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去找什么条件.
知识点六　证明三角形全等的思路总结
证明三角
形全等
特别提示：（1）证明两个三角形全等的几个条件中至少要有一条边对应相等.
（2）如果图形中有对顶角、公共边或公共角，都可作为直接条件使用.
（3）判定两个三角形全等的方法有SAS，ASA，SSS，AAS，HL五种，其中HL只适用于直角三角形.在具体运用过程中，要特别注意不能将SSA以及AAA作为判定两个三角形全等的方法.如图①，在△ABC与△ABD中，AC＝AD，AB＝AB，∠B＝∠B，但从图中我们可以看出△ABC与△ABD明显不全等.如图②，当DE∥BC时，△ADE与△ABC的三个角对应相等，但△ADE是△ABC中的一部分，因此△ABC与△ADE也不全等.
【例6】如图，给出五个等量关系：①AD＝BC，②AC＝BD，③CE＝DE，④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明.
【解析】所给等量关系均为等边或等角，且两边或两角均分别在两个三角形中，本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等.应有三角形全等的三个条件，而题目要求只能用所给等量关系中的两个，因此就要找出图形中隐含的等量关系（AB可作公共边，∠DEA和∠CEB是对顶角）.
【解】从AB为公共边考虑：
（1）①② ③④⑤.
证明：在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C，∠DAB＝∠CBA.
在△AED和△BEC中，
∴△AED≌△BEC（AAS），∴CE＝DE.
（2）①⑤ ②③④.
证明：在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），∴AC＝BD，∠D＝∠C.
同（1）可得CE＝DE.
（3）④⑤ ①②③.
证明：在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（AAS）.∴AD＝BC，AC＝BD.
同（1）可得CE＝DE.
从∠DEA和∠CEB为对顶角考虑：
（1）①④ ②③⑤.
证明：在△AED和△BEC中，
∴△AED≌△BEC（AAS），
∴CE＝DE，AE＝BE，
∴CE＋AE＝DE＋BE，即AC＝BD.
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠DAB＝∠CBA.
（2）③④ ①②⑤.
证明：在△AED和△BEC中，
∴△AED≌△BEC（ASA），
∴AD＝BC，AE＝BE.
同（1）可得AC＝BD，∠DAB＝∠CBA.
（3）②③ ①④⑤
证明：∵AC＝BD，CE＝DE，
∴AC－CE＝BD－DE，即AE＝BE.
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AD＝BC，∠D＝∠C.
又∵AE＝BE，∴∠DBA＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠CBA.
【迷津指点】本题集开放性和设计性于一体，其设计背景是利用三角形的全等，结合所给出的制约条件，写出正确命题.这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思想，也是近几年各类考试中常出现的新题型.
【例1】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.判断这两个三角形全等的依据是（　　）
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
【解析】由已知，得AB＝AD和BC＝DC，加上公共边AC＝AC，根据三边对应相等的两个三角形全等的判定可得△ABC≌△ADC，故判断这两个三角形全等的依据是SSS.
【答案】D
【例2】如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DC.
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数.
【解析】（1）证出∠ABE＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可；（2）先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，最后根据直角三角形两锐角互余求解即可.
【解】（1）证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°.
又∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由（1）知△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°－∠BCD＝90°－15°＝75°.
【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使DC＝BC，再过点D作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上.由此可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.斜边、直角边
【解析】由已知条件得∠ABC＝∠EDC＝90°.∵A，C，E三点在一条直线上，所以∠ACB＝∠ECD.又∵BC＝CD，∴由ASA可判定两个三角形全等.
【答案】B
【迷津指点】在选择判定三角形全等的方法时，一定要根据题中证明全等的条件来选择.同时需要注意：“SSA”和“AAA”是不能判定两个三角形全等的.
【例4】数学课上，王老师画出如图所示的图形，并写了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.
要求同学们在这四个等式中选出两个作为条件，以△ABE≌△DCE作为结论.
（1）写出一个假命题：如果　　　　，　　　　，那么△ABE≌△DCE；
（2）写出一个真命题：如果　　　　，　　　　，那么△ABE≌△DCE，并证明这个真命题.
【解析】选法有①②，①③，①④，②③，②④，③④，共6种，并一一作出判断.
【解】（1）（答案不唯一）①　②
（2）（答案不唯一）①　③
证明：在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS）.
【迷津指点】先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.
【例5】如图①，已知点C与点C1重合，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝C1D，BC＝DE.
（1）试判断AC与C1E的位置关系，并说明理由；
（2）若将C1D沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第（1）问中的结论还成立吗？请说明理由.
【解析】（1）根据“HL”判定△ABC≌△C1DE，得到∠ACB＝∠E，结合∠E＋∠EC1D＝90°，进而得到∠ACB＋∠EC1D＝90°，则可得AC⊥C1E；（2）根据（1）的解题思路，可以判断出图②③④⑤中都有AC⊥C1E.
【解】（1）AC⊥C1E.理由如下：
∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△C1DE中，
∴△ABC≌△C1DE（SAS），∴∠ACB＝∠E.
∵∠ACB＋∠EC1D＝∠E＋∠EC1D＝90°，
∴∠ACE＝180°－90°＝90°，即AC⊥C1E.
（2）图②③④⑤四种情况中，结论仍然成立，理由同（1）可证.
见课本课后练习.
　　

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