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第15章　　　轴对称图形与等腰三角形
15.1　轴对称图形
1.掌握轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的对称图形.
2.理解轴对称和轴对称图形的概念，弄清它们的区别和联系.
1.轴对称和轴对称图形的区别和联系.
2.轴对称的性质及画轴对称图形.
1.点的坐标：如果平面直角坐标系内点P的横坐标为x，纵坐标为y，我们就说有序实数对（x，y）是点P在平面直角坐标系中的坐标，记作P（x，y）.
2.全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形.全等形的对应边相等，对应角相等.
3.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.
4.垂直：两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
知识点一　轴对称图形
轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
特别提示：理解轴对称图形的概念要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（但其对称轴条数可能不止一条）；（3）图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合.
【例1】剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）
A　B　C　D
【解析】本题考查轴对称图形，难度较小.一个平面图形沿着某一条线折叠能够完全重合，那么它就是轴对称图形.只有D选项正确.
【答案】D
【迷津指点】解决此类问题一定要看清楚所选的是轴对称图形还是非轴对称图形，另外在判断时不要凭感觉，一定要从轴对称图形的定义出发，这样才能正确解答.
知识点二　轴对称
平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是对称轴.折叠后重合的两点叫作对应点（也叫对称点）.
特别提示：（1）和轴对称图形不同，轴对称是对两个图形而言，是指两个图形之间的一种特殊的位置关系；轴对称图形可能不止一条对称轴.
（2）一个轴对称图形，如果把它的对称轴两旁的部分看作两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；反之如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
（3）成轴对称的两个图形全等.对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段.
【例2】如图，网格中有一个四边形和两个三角形.
（1）请你画出这三个图形关于直线MN的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体，请写出这个整体图形对称轴的条数.
【解析】本题是一道轴对称图形的作图题，应先确定三个图形上的特殊点——顶点，然后根据轴对称的性质，作出这些特殊点关于直线MN对称的点，最后顺次连接即可.
【解】（1）所作的图形如图所示.
（2）观察图形可知，整个图形有四条对称轴.
【迷津指点】作一个图形关于对称轴的对称图形，关键是作出图形上特殊点的对称点，然后将对称点按原来的顺序连接起来.
知识点三　线段垂直平分线的定义及轴对称的性质
1.线段的垂直平分线
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线.如图所示，已知线段AB，MN⊥AB，且MN平分AB，则直线MN是线段AB的垂直平分线.
2.轴对称的性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形.
（2）如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（3）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
（4）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上.
特别提示：（1）线段的垂直平分线是直线，一条线段有且只有一条垂直平分线.
（2）利用轴对称的上述性质，可以作出某一个图形关于某直线的对称图形，也可以判定线段和角的相等关系.
【例3】如图所示，如果直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠BAE＝140°，∠EAC＝70°，∠B＝90°，那么∠BCD的度数等于（　　）
A.40° B.50° C.80° D.70°
【解析】由∠BAE＝140°，∠EAC＝70°，可得∠BAC＝70°.在△ABC中，可求出∠ACB＝20°.在△AEC中，∵m是对称轴，∴∠AFC＝90°，则可求出∠ACF＝20°，∴∠BCF＝40°.又∵直线m是五边形ABCDE的对称轴，得∠BCF＝∠DCF＝40°，∴∠BCD＝80°.
【答案】C
【迷津指点】轴对称的性质常用来求解某些线段长度或角度大小的问题.
知识点四　用坐标表示图形的轴对称图形
1.设P（x，y）是平面直角坐标系上任意一点，则它关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）；关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）.
2.在坐标系中作轴对称图形的方法：（1）求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的坐标；（2）求出相应对称点的坐标；（3）根据对称点的坐标描点；（4）依次连接所描各点得到对称图形.
特别提示：（1）在平面直角坐标系中，点P（x，y）与其关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P（x，y）与其关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数.
（2）点P（x，y）关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为P'（y，x）；点P（x，y）关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为P″（－y，－x）.
（3）点（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y），即若两点（x1，y1），（x2，y2）关于直线x＝m对称，则m＝，y1＝y2；点（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y），即若两点（x1，y1），（x2，y2）关于直线y＝n对称，则x1＝x2，n＝.
【例4】如图所示，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形.
【解析】先确定各顶点的对称点的坐标，然后描出这些对称点，并顺次连接即可.
【解】△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为A（－4，1），B（－1，－1），C（－3，2），它们关于x轴的对称点分别为A'（－4，－1），B'（－1，1），C'（－3，－2）；关于y轴的对称点分别为A″（4，1），B″（1，－1），C″（3，2）.在平面直角坐标系中分别描出这些点，依次连接A'B'，B'C'，C'A'；A″B″，B″C″，C″A″，就可以得到与△ABC关于x轴和y轴对称的△A'B'C'和△A″B″C″.
【迷津指点】作关于坐标轴对称的图形，应先找出能确定图形形状和大小的关键点的坐标，然后根据关于坐标轴对称的点的坐标特点，求出这些关键点关于坐标轴对称的点的坐标，并在坐标平面内描出这些对称点，最后再把这些点依次连接起来，就得到所求作的图形.
【例1】如图所示，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD＝　　　　.
【解析】∵CF所在的直线是六边形ABCDEF的对称轴，
∴∠EFC＝∠AFC，∠DCF＝∠BCF.
∵∠AFC＋∠BCF＝150°，
∴∠AFE＋∠BCD＝2∠AFC＋2∠BCF＝2（∠AFC＋∠BCF）＝300°.
【解】300°
【迷津指点】由轴对称图形的意义，得∠AFC＝∠EFC＝∠AFE，∠BCF＝∠DCF＝∠BCD.
【例2】在如图所示的图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为（　　）
A.13 B.11 C.10 D.8
【解析】根据轴对称图形及对称轴的定义，分别找出各轴对称图形的对称轴条数，即可得出答案.第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴.故所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
【答案】B
【例3】如图是由一个圆、一个半圆和一个三角形组成的图形.请你以直线AB为对称轴，把原图补成轴对称图形.
【解析】半圆的对称图形还是半圆，三角形的对称点有两点在对称轴上，只要找到点P关于AB的对称点Q即可.
【解】以点O为圆心，OC的长为半径画半圆.
过点P作AB的垂线，垂足为D，在垂线上截取QD＝PD，连接CQ，EQ.如图即为所求.
【迷津指点】用到的知识点：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分.
【例4】如图，方格纸中有两个图形.
（1）画出图形①向右平移7个单位的图形a；
（2）画出图形a关于直线AB的轴对称图形b；
（3）将图形b与图形②看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数.
【解析】本题是一道与平移、轴对称有关的图案设计问题，解决问题需要掌握平移、轴对称的特征，注意平移、轴对称图形的作法.
【解】（1）如图所示.
（2）如图所示.
（3）所得的图形是一个长方形，有两条对称轴.
【迷津指点】设计轴对称图形的试题是中考试题中的一个亮点，这类试题具有开放性，设计的方法较多，可以考查学生的空间想象能力以及创新设计能力.
【例5】在平面直角坐标系中，已知点B（－2，0）关于y轴对称的点为B'，从点A（2，4）射入一束光线，经过y轴反射后穿过B'点，则此光线在y轴上的入射点的坐标是　　　　.
【解析】点B（－2，0）关于y轴对称的点的坐标为B'（2，0），由题意知y轴上的入射点的纵坐标应在0与4中间.∵点A与点B'应关于过入射点且垂直于y轴的直线对称，故所求入射点的坐标为（0，2）.
【解】（0，2）
【迷津指点】此题考查了根据题意构建数学模型的能力，需要掌握轴对称的性质，同时也应注意坐标知识在不同情境中与其他数学知识的综合应用.
【例6】点A，B均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得｜PA－PB｜的值最大的点，Q是y轴上使得QA＋QB的值最小的点，则OP·OQ＝　　　　.
【解析】如图所示，连接AB并延长，交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，P即为x轴上使得｜PA－PB｜的值最大的点，此时点P的坐标为（3，0），即OP＝3.作点A关于y轴对称的点A'，连接A'B交y轴于点Q，则A'B即为QA＋QB的最小值.∵A'（－1，2），B（2，1），设过点A'，B的直线方程为y＝kx＋b，则解得∴Q，即OQ＝，∴OP·OQ＝3×＝5.
【解】5
【迷津指点】本题考查的是有关轴对称的最短路径问题，根据题意得出P，Q两点的坐标是解答此题的关键.
　　【例7】如图所示，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成.
依照例图，请你为班级黑板设计一条花边，要求如下：
（1）只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需要文字；
（2）以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；
（3）图案具有美感；
（4）与例图不同.
【解析】本题主要考查根据轴对称的性质设计花边图案的能力，而且要符合题目中的四点要求，这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题.
【解】（答案不唯一）如图所示.
见课本课后练习.
　　

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