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15.2　线段的垂直平分线
证明、理解线段垂直平分线的性质，并会准确运用性质解决有关问题，能用尺规作出线段的垂直平分线.
1.线段垂直平分线的性质定理.
2.线段垂直平分线的判定.
1.尺规作图：几何中，只用没有刻度的直尺和圆规来作图，这种作图的方法叫作尺规作图.
2.线段的垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
知识点一　线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
如图所示，P是线段AB垂直平分线上的点，则PA＝PB.
特别提示：（1）线段垂直平分线上的所有点都满足到线段两个端点的距离相等.
（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴.
（3）线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依据之一，在证明线段相等时，不用再证明两个三角形全等了，简便了证明过程.
【例1】如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于点D，交AB于点E，量得△BDC的周长为17m.请你替测量人员计算BC的长.
【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.
【解】∵ED是AB的垂直平分线，∴DA＝DB.
∵△BDC的周长为17m，
∴DB＋DC＋BC＝17m，
∴DA＋DC＋BC＝17m，
即AC＋BC＝17m.
又∵AB＝AC＝10m，
∴10＋BC＝17m，∴BC＝7m.
【迷津指点】线段的垂直平分线上任意一点和线段的两个端点连接，利用线段垂直平分线的性质定理可以得到线段的相等关系.
知识点二　线段垂直平分线的判定定理
线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
特别提示：（1）此定理的作用是判定点是否在线段的垂直平分线上；
（2）若一点到一条线段AB两端点的距离相等，则这一点在线段AB的垂直平分线上，且这样的点有无数个.
【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D.求证：点D在线段AB的垂直平分线上.
【解析】要证明点D在线段AB的垂直平分线上，只需证明AD＝BD.首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义，求得∠ABD＝30°.过点D作DE⊥AB于点E，利用AAS可证明△AED≌△BED，∴AD＝BD.
【解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠A＝∠ABD.
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
在△AED与△BED中，
∴△AED≌△BED（AAS），∴DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
知识点三　垂直平分线的作法
1.用刻度尺找出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法.
2.折叠法.
3.尺规作图.用尺规作出线段AB的垂直平分线，作法如下：
（1）如图，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；
（2）过C，D两点作直线.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
特别提示：（1）用尺规作线段AB的垂直平分线时，半径是大于AB的任意长.原因：只有当半径大于AB时，两弧才能相交，否则无交点.
（2）灵活运用线段垂直平分线的尺规作图法，既可作出已知线段的中点，又可作出已知直线上一点处的垂线.
【例3】如图，一张纸上有一条线段AB.
（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）；
（2）若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法（不作图）.
【解析】（1）根据垂直平分线的作法，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，连接交点即是线段AB的垂直平分线；（2）利用对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线.
【解】（1）如图所示，MN即为所求.
（2）对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线.
【迷津指点】此题考查了有关线段垂直平分线的作图能力，属于基础题.
知识点四　三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
特别提示：（1）它的逆命题也成立，即到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.
（2）要确定到三个顶点距离相等的点，只需作出三角形任意两条边的垂直平分线即可，无需将三条边的垂直平分线均作出来.
【例4】现有不在一条直线上的A，B，C三座城市.
（1）在A，B两城市之间建一水果仓库，使其到A，B两城市的距离相等，水果仓库位置唯一吗？它们的位置有什么关系？
（2）在B，C两城市之间建一果品批发市场，使其到B，C两城市的距离相等，果品批发市场位置唯一吗？它们的位置有什么关系？
（3）为减少运费，现将果品批发市场与水果仓库建在同一位置，使其分别到三座城市的距离相等，应如何选址？画图说明.
【解析】本题可以把三座城市、水果仓库、果品批发市场分别看作A，B，C，D，E五点，这样上述问题（1）就转化为“寻找到A，B两点距离相等的点”；问题（2）就转化为“寻找到B，C两点距离相等的点”；问题（3）就转化为“寻找到A，B，C三点距离相等的点”.这样就可以用线段垂直平分线的判定定理解决问题.
【解】（1）不唯一，水果仓库在一条直线上，此直线为线段AB的垂直平分线.
（2）不唯一，果品批发市场在一条直线上，此直线为线段BC的垂直平分线.
（3）如图所示，AB，BC两线段的垂直平分线的交点D即为满足要求的位置.
【迷津指点】合理建立数学模型，充分利用转化思想是解决此类以生活实际为背景的题目的有效途径.
【例1】如图所示，在△ABC中，AB＝2AC，且∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.
【解析】证明CD⊥CA，即证∠ACD＝90°.由于∠BAD＝∠CAD，且AB＝2AC，所以若取AB的中点E，连接DE，则△ACD≌△AED.又由DE垂直平分AB，从而问题得证.
【解】如图所示，取AB中点E，连接DE.
∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，∠AED＝90°，AE＝AB.
又∵AB＝2AC，即AC＝AB，∴AC＝AE.
在△ADC和△ADE中，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠ACD＝∠AED＝90°，即CD⊥CA.
【迷津指点】本题通过判定DE垂直平分AB来证明∠AED＝90°，这比通过全等来证明更简捷.这提醒我们，能够用线段垂直平分线解决的问题，应避免利用三角形全等的方法.
【例2】如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB＋BD与DE的长度有什么关系？请加以证明.
【解析】根据线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行解答.
【解】AB＋BD＝DE.证明如下：
∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴AB＋BD＝AC＋DC.
又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝EC.
∵AC＋DC＝EC＋DC＝DE，
即AB＋BD＝DE.
【迷津指点】利用垂直平分线的性质，用已知线段等量代换证明结论.
【例3】如图，A，B两所学校在一条东西走向公路的同侧，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）.
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使点C到A，B两所学校的距离相等？如果有，请用尺规作图法找出该点，并保留作图痕迹，不求该点的坐标；
（2）要在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标.
【解析】（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，它与x轴的交点即为所求；（2）找到点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与x轴的交点即为所求.
【解】（1）存在满足条件的点C.
作出的图形如图所示.
　　
（2）如图所示，作点A关x轴对称的点A'（2，－2），连接A'B，则A'B与x轴的交点即为所求的点P.
设A'B所在直线的表达式为y＝kx＋b.
把（2，－2）和（7，3）代入y＝kx＋b，
得解得故y＝x－4.
当y＝0时，x＝4，∴点P的坐标为（4，0）.
【迷津指点】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两个点的距离相等这一性质.
【例4】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，∠B＋∠C＝45°.
（1）求证：ME与NF的交点在BC的垂直平分线上.
（2）若BC＝12，AF＝4，求EF的长.
【解析】（1）根据垂直平分线的性质与判定证明即可.（2）根据垂直平分线的性质和已知条件得到∠EAF＝90°，再根据勾股定理求解即可.
【解】（1）证明：如图，设ME与NF的交点为G，连接AG，BG，CG.
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AG＝BG.
∵NF是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴BG＝CG，∴点G在BC的垂直平分线上.
故ME与NF的交点在BC的垂直平分线上.
（2）∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F，
∴BE＝AE，AF＝FC＝4，
∴∠ABE＝∠BAE，∠ACF＝∠CAF，
∴∠AEF＝2∠ABE，∠AFE＝2∠ACF.
又∵∠ABE＋∠ACF＝45°，
∴∠AEF＋∠AFE＝2（∠ABE＋∠ACF）＝90°，
∴∠EAF＝90°.
设BE＝AE＝x.
∵BC＝12，
∴EF＝BC－BE－CF＝8－x.
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即x2＋42＝（8－x）2，解得x＝3，
∴EF＝8－3＝5.
见课本课后练习.
　　

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