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15.4　等腰三角形
1.能说出等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理，能够灵活运用它们进行论证和计算.
2.掌握“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”，并能运用其进行论证和计算.
1.等腰、等边三角形的性质.
2.等腰、等边三角形的判定及应用.
1.三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”.
3.三角形的内角和等于180°，一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
知识点一　等腰、等边三角形的性质
1.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，简称“三线合一”.
2.等边三角形的性质：
性质1：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
性质2：等边三角形每个内角的平分线和对边上的中线、对边上的高相互重合，即“三线合一”.
特别提示：（1）等腰三角形不仅具有一般三角形的所有性质，而且它还是轴对称图形，有1条或3条对称轴，对称轴是底边中线（底边上的高、顶角平分线）所在的直线.
（2）由等腰三角形的性质可以得到相等的线段、相等的角、两线段之间的位置关系.
（3）在利用等腰三角形“三线合一”性质解题时，要学会挖掘题目中的隐含条件，即要做到“知一晓二”.具体地说，如图，在△ABC中，已知AB＝AC.若AD⊥BC于点D，则BD＝DC，AD平分∠BAC；若BD＝DC，则AD⊥BC，AD平分∠BAC；若AD平分∠BAC交BC于点D，则AD⊥BC，BD＝DC.
（4）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，其对称轴就是各边的垂直平分线.
（5）等边三角形是特殊的等腰三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
【例1－1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠A＝　　　　.
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠A＝180°－40°－40°＝100°.
【解】100°
【迷津指点】已知等腰三角形底角的度数是m°，则其顶角的度数是180°－2m°；已知等腰三角形顶角的度数是n°，则其底角的度数是（180°－n°）＝90°－n°.
【例1－2】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
【解析】本题考查等边三角形和直角三角形的性质.利用“等边三角形边上的中线、高和顶角平分线三线合一”和直角三角形的性质证明即可.
【解】∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD.
知识点二　等腰、等边三角形的判定
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”.
2.等边三角形的判定定理：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【例2】如图所示，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形　　　B.等边三角形
C.不等边三角形　　D.不能确定
【解析】本题考查等边三角形的性质和判定的综合应用.由△ABC是等边三角形可知CA＝BA，又因为∠2＝∠1，CD＝BE，所以△ACD≌△ABE（SAS），所以AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，所以△ADE是等边三角形.
【答案】B
【迷津指点】判断一个三角形为等边三角形最常用的方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点三　含30°角的直角三角形的性质定理
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
特别提示：这个定理是证明线段之间的数量关系的一种重要方法.
教材是利用构造等边三角形来证明这个定理的.该定理的证明也可以采用在AB上取一点D，使DC＝DA；或在AB上截取BD＝BC，连接CD，经过推理从而得到结论（如图），具体的证明过程希望同学们自己完成.
【例3】一艘轮船由南向北以15nmile/h的速度向前航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.已知在小岛P周围18nmile内有暗礁，若轮船仍以15nmile/h的速度向前航行，有无触礁的危险？
【解析】画出示意图，由条件可证明AB＝BP，过点P作PC⊥AB，可得PC＝PB.
【解】如图，根据题意画出图形，则AB＝15×2＝30（nmile）.
过点P作PC⊥AB的延长线于点C.
由题中分别在A，B两点测得的方位角可知，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°，
∴PB＝AB＝30（nmile）.
在Rt△BCP中，
∵∠PBC＝30°，
∴PC＝PB＝15（nmile），
即点C距小岛P的距离只有15nmile，而小岛周围18nmile内有暗礁，故该船继续向北航行有触礁的危险.
【迷津指点】解此类问题，首先应正确画出图形，构建三角形模型.然后将实际问题转化成数学问题，并运用含30°的直角三角形的性质解题.
【例1】若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为　　　　.
【解析】当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°，故其顶角为50°或80°.
【解】50°或80°
【迷津指点】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理.若题目中没有明确所给的角度是顶角还是底角的度数，则做题时要注意分情况进行讨论.
【例2】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，因此小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA＝OB＝18cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是　　　　cm.
【解析】∵OA＝OB＝18cm，图②中∠AOB＝60°，
∴此时△ABC是等边三角形.
∴此时A，B两点之间的距离是18cm.
【解】18
【例3】如图所示，AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为使钢架更坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，….若添加的钢管长度均与OE相等，则最多能添加这样的钢管　　　　根.
【解析】因为添加的钢管长度都与OE相等，所以△OEF，△EFG，△FGH，△GHM，…都是等腰三角形.因为∠AOB＝10°，利用三角形外角的性质可得上述等腰三角形的底角依次为10°，20°，30°，40°，….当钢管添加到使等腰三角形底角是80°时，便不能再添加，这样一共能添加8根钢管.
【解】8
【迷津指点】本题灵活运用三角形的外角和等腰三角形的性质，使复杂问题变得简单.找到每个等腰三角形底角的变化规律是解决本题的关键.
【例4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝　　　　cm.
【解析】如图所示，延长AD交BC于点M.由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，故EN＝BN＝BE＝6cm，∴ND＝6－2＝4（cm）.在Rt△DMN中，∵∠MDN＝30°，∴MN＝DN＝2cm，∴BM＝6－2＝4（cm），∴BC＝2BM＝8cm.
【解】8
【迷津指点】本题巧妙地将等腰三角形的性质、等边三角形的判定及含30°锐角的直角三角形的性质融为一体.作出如图所示的辅助线是解题的关键.
【例5】如图是某房子屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°.求∠B，∠C和∠BAD的度数.
【解析】由AB＝AC可知△ABC是等腰三角形，等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合.根据AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，进一步可以求到各角的度数.
【解】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×（180°－120°）＝30°.
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝60°.
【迷津指点】此题考查了等腰三角形的“三线合一”性质，在运用此性质时，只要已知等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三者中的任一条件，都可得出其他的两个结论，但千万别忘了使用“三线合一”的前提是“等腰三角形”.
【例6】如图①，O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.
（1）求∠AEB的度数；
（2）如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的度数.
【解析】等边三角形OAB和等边三角形OCD是全等三角形，可以得出相等的线段、相等的角，再结合三角形外角的性质可以求出∠AEB的大小.
【解】（1）∵△OCD和△OAB都是等边三角形，且O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，∠AOB＝∠DOC＝60°.
又∵∠OBD＋∠ODB＝∠AOB＝60°，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°.
同理可得∠OAC＝30°，
∴∠AEB＝∠OAC＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.
（2）如图，∵△OCD和△OAB都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°.
又∵OD＝OA，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7.
∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3，
∴∠DOB＝∠AOC.
∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°，
∴2∠5＝2∠6，即∠5＝∠6.
又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6，
∴∠AEB＝∠2＋∠6－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.
【迷津指点】本题在传统的已知两等边三角形中，求证由这两个等边三角形所构成的两个新三角形全等的基础上稍有变化，成为探索已知两个三角形以外两边的夹角的新题型.
见课本课后练习.
　　

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