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　第11章　　　平面直角坐标系
11.1　平面内点的坐标
通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，学生认识平面直角坐标系的原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点、由点写出坐标.让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系.
1.正确认识平面直角坐标系，会准确
地由坐标描点、由点写出坐标.
2.各象限内坐标的符号及各坐标轴上点的坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系.
3.在平面内，能用方位角和距离描述两物体的相对位置.
1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
2.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上确定一个点的位置只需要一个实数.
知识点一　确定平面内点的位置
确定平面内点的位置的方法有很多，无论采用哪种方法，确定平面内点的位置都需要两个数据.
描述物体的位置，可以用含有两个数的数对来表示一个确定的位置，其中由两个有顺序的数x与y构成的数对，叫作有序实数对，记作（x，y）.
特别提示：（1）对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，（a，b）与（b，a）的顺序不同，含义就不同.当a＝b时，它们表示同一有序实数对；当a≠b时，它们表示不同的有序实数对.
（2）用有序实数对表示点的位置还体现在用经纬度来表示一个城市或国家在地球仪上的位置.
【例1－1】（1）在电影院的同一层内如何找到电影票上所指的位置？
（2）在电影票上，如果把“6排3号”简记为（6，3），那么“3排6号”如何表示？（12，8）表示什么含义？
【解析】平面内位置的确定需要两个数据，在电影院内应按电影票上的排数和号数来找位置.简记时，注意“排”数在前，“号”数在后.
【解】（1）根据“几排几号”两个数据来确定位置.
（2）“3排6号”简记为（3，6）；（12，8）表示“12排8号”.
【迷津指点】如果只有一排座位，确定每个座位的位置，如同确定一条直线上的点的位置，只需一个数据；如果是多层电影院，就是空间中的位置的确定，需要三个数据，即“层”数、“排”数和“号”数.用两个数确定平面中一点的位置时，这两个数的排列是有前后顺序的，前后两个数代表的意义通常是不同的，因此不能将前后顺序颠倒.
【例1－2】如图所示的围棋棋盘呈现的是一局围棋比赛中的几手棋.为记录棋谱方便，纵线用英文字母表示，横线用阿拉伯数字表示.这样，①的位置可记为（C，4），②的位置可记为（E，3），则⑨的位置应记为　　　　.
【解析】观察棋盘，根据①和②的位置表示方法，我们可以知道，就是把棋子所在位置的两条直线代号写出来，且英文字母写在前面，所以⑨的位置应记为（D，6）.
【解】（D，6）
【迷津指点】用同一个坐标确定某些物体所在的位置一定要有一致性，即例题中英文字母不能有时在前，有时在后，一定要统一.
知识点二　平面直角坐标系及点的坐标
1.为了确定平面内一个点的位置，我们可以先在平面内画两条互相垂直（通常一条水平，一条竖直）且原点重合的数轴，水平的数轴叫作x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫作y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为原点.这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫作坐标平面.
特别提示：（1）要弄清组成平面直角坐标系的四要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.
（2）要注意两个规定：①正方向的规定，横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度的规定，一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴的单位长度可以不同.
2.对平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫作点P的坐标.
通过平面直角坐标系的建立，我们把平面内的点与有序实数对一一对应起来，即对于坐标平面内任意一点P，都有唯一的一个有序实数对（x，y）和它对应；反之，对于任意一个有序实数对（x，y），在坐标平面内都有唯一的一点P和它对应.
特别提示：（1）用坐标表示点的时候，坐标是有序的，前面一个数字表示横坐标，后面一个数字表示纵坐标，不可颠倒.
（2）由点求坐标的方法：先由已知点向两条坐标轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数分别是a，b，则（a，b）就是该点的坐标.
（3）由点的坐标描点的方法：如果已知一点P的坐标（a，b），可分别过x轴上表示数a的点作x轴的垂线、y轴上表示数b的点作y轴的垂线，两条垂线的交点即为点P.
（4）平面内的点与有序实数对一一对应，可以和数轴上的点与实数一一对应对比起来理解.
【例2】如图所示的是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和殿的点的坐标为（0，－1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列建筑的点的坐标正确的是（　　）
A.景仁宫（4，2） 　　B.养心殿（－2，3）
C.保和殿（1，0） 　　D.武英殿（－3.5，－4）
【解析】本题考查平面直角坐标系，难度较小.由图中太和殿和九龙壁的坐标可以得出坐标轴的原点是中和殿，则景仁宫的坐标应为（2，4），养心殿的坐标应为（－2，3），保和殿的坐标应为（0，1），武英殿的坐标应为（－3.5，－3）.
【答案】B
知识点三　坐标平面内图形面积的计算
1.坐标系内的点到坐标轴的距离：在平面直角坐标系中，点P（a，b）到x轴的距离为｜b｜，到y轴的距离为｜a｜.
2.图形的面积计算：利用特殊图形（如三角形、长方形、平行四边形、梯形等）的面积公式，可以计算坐标系内几何图形的面积.
（1）当图形中有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的边时，常以此边为底，再由该边上的高求面积.
（2）当图形是不规则图形时，常借助“分割”或“补形”的方法，把图形转化成几个容易求出面积的几何图形的面积的和、差来计算.
【例3】已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（6，8），D（8，0）.
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并在坐标平面内画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积.
【解析】（1）选取适当的点作为坐标原点，经过原点的两条互相垂直的直线分别作为x轴、y轴，建立坐标系，分别描出点A，B，C，D.如确定点B（3，6）的位置，先在x轴上找出表示3的点，再在y轴上找出表示6的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点即为该点的位置.（2）过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，利用四边形ABCD的面积＝S三角形ABE＋S梯形BEFC＋S三角形CFD进行求解.
【解】（1）如图所示.
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则S四边形ABCD＝S三角形ABE＋S梯形BEFC＋S三角形CFD＝AE·BE＋（BE＋CF）·EF＋FD·CF＝×3×6＋×（6＋8）×3＋×2×8＝9＋21＋8＝38.
【迷津指点】本题主要考查了平面直角坐标系的建立.在平面直角坐标系中，理解点与坐标的对应关系是解决此类问题的关键.
知识点四　坐标平面内特殊位置上点的坐标特点
如图，x轴和y轴把坐标平面分成的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，这四个部分依次叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点（也就是x轴、y轴上的点）不属于任何一个象限.
特殊位置上点的坐标特点
（1）各象限内点的坐标的符号特点
第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）.
（2）坐标轴上点的坐标特点
坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点的纵坐标为0，记作（x，0）；y轴上的点的横坐标为0，记作（0，y）；坐标原点的横坐标、纵坐标都是0，记作（0，0）.
（3）与x轴、y轴平行的直线上的点的坐标特点（如图所示）
①过点（a，b）与x轴平行的直线上的点的纵坐标都是b，这条直线可表示为y＝b；
②过点（a，b）与y轴平行的直线上的点的横坐标都是a，这条直线可表示为x＝a.
特别提示：（1）各象限的名称是一种规定，不能随意更改.
（2）以上点的坐标的特点反过来也成立.对于上面的①②可用符号表示如下：
①各象限内点的坐标的符号特点：点P（x，y）在第一象限 x＞0，y＞0；点P（x，y）在第二象限 x＜0，y＞0；点P（x，y）在第三象限 x＜0，y＜0；点P（x，y）在第四象限 x＞0，y＜0.
②坐标轴上点的坐标特点：点P（x，y）在x轴上 y＝0，x为任意实数；点P（x，y）在y轴上 x＝0，y为任意实数；点P为坐标原点，则P（0，0）.
【例4－1】指出下列各点所在象限或坐标轴：
A（－1，－2.5），B（，－4），C，D（7，9），E（－π，0），F，G（0，0）.
【解析】判断点所在象限或坐标轴，主要看这一点的横、纵坐标的符号，根据各象限内以及坐标轴上的点的坐标特点就可以知道这一点所在的象限或坐标轴.
【解】点A在第三象限，点B在第四象限，点C在第二象限，点D在第一象限，点E在x轴上，点F在y轴上，点G是坐标原点.
【迷津指点】点的位置确定了横、纵坐标的取值；反之，横、纵坐标的取值也就确定了点的位置.
【例4－2】已知点A（a，2）和点B（－1，b）.根据下列条件求出a，b的值或取值范围：
（1）A，B在同一个象限内；（2）A，B都在坐标轴上；（3）AB∥x轴.
【解析】（1）A，B在同一个象限内，则有a＜0，b＞0；（2）x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，所以a＝0，b＝0；（3）平行于x轴的点纵坐标相同，横坐标不相同，所以a≠－1，b＝2.
【解】（1）a＜0，b＞0.
（2）a＝0，b＝0.
（3）a≠－1，b＝2.
知识点五　用方位角和距离确定物体的位置
在日常生活中，除了用平面直角坐标系描述物体之间的位置关系外，有时还可借助方位角和距离来描述两物体的相对位置.
【例5】如图，在一次活动中，位于A处的七（1）班准备前往相距3km的B处与七（2）班会合.若用方向和距离描述七（2）班相对于七（1）班的位置，可以描述为（　　）
A.南偏西30°，3km B.南偏西50°，3km
C.北偏东40°，3km D.北偏东50°，3km
【解析】根据方位角的表示方法即可求解，方位角与距离相结合是解题关键.
【答案】A
【例1】在平面直角坐标系内，已知点A（1－2k，k－2）在第三象限，且k为整数，求k的值.
【解析】根据第三象限点的坐标特征解答.
【解】因为点A（1－2k，k－2）在第三象限，
所以1－2k＜0，且k－2＜0，解得0.5＜k＜2.
又因为k为整数，所以k＝1.
【迷津指点】解答此题需熟知第三象限点的坐标特征是（－，－）.
【例2】已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为　　　　.
【解析】因为点P到x轴的距离是2，所以点P的纵坐标为±2.又因为点P到y轴的距离是3，所以点P的横坐标为±3，所以点P的坐标为（3，2）或（－3，2）或（－3，－2）或（3，－2）.
【解】（3，2）或（－3，2）或（－3，－2）或（3，－2）
【迷津指点】点到x轴（或y轴）的距离为a，说明其纵坐标（或横坐标）为a（或－a），不能简单地认为点到x轴的距离为a，则其横坐标就为a，可画图帮助理解.
【例3】定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】如图所示，“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2.由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1，a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1，b2上，它们有4个交点，所以“距离坐标”是（1，2）的点分别是M1，M2，M3，M4，一共4个.
【答案】C
【迷津指点】理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k（k＞0）的点在与已知直线的距离为k的两条平行线上是解题的关键.
【例4】如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（　　）
A.点A　　　B.点B　　　C.点C　　　D.点D
【解析】本题考查图形的对称性，比较简单.根据图形的对称性可知，若点B是原点，则点A和点C就关于点B所在的纵向直线对称.
【答案】B
【例5】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（　　）
A.在距离学校300m处
B.在学校西北方向300m处
　　C.在西北方向300m处
D.在学校的西北方向
【解析】本题考察方位角和距离的定义，在描述物体的位置中方位角和距离缺一不可.
【答案】B
【例6】在同一平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连接起来，观察整个图形，说说它像什么.
（1）（1，1），（2，0），（7，0），（8，2），（6，1），（1，1）；
（2）（6，1），（6，8）；
（3）（5，7），（7，8），（7，3），（5，4），（5，7）；
（4）（2，1），（6，7）.
【解析】画出平面直角坐标系，描出各点，顺次连接即可.
【解】建立平面直角坐标系，通过描点、连线，可以发现，整个图案像一只帆船，如图.
【迷津指点】本题容易将顺次连接理解不正确，导致图形混乱.顺次连接，就是将每组中的各点按照题目中的顺序依次连接起来.
见课本课后练习.
　　

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